Come trovare l'incentro di un triangolo noti i suoi vertici

Problemi svolti di Geometria Analitica

Determinare l'incentro di un triangolo ABC di cui sono noti i vertici A(0;0), B(-4;0) C(0;-3).

Svolgimento

Definizioni di base

Incentro: punto d'incontro delle bisettrici di un triangolo. La bisettrice è a sua volta il luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo.

Ci servono le equazioni di due bisettrici, poi ne facciamo l'intersezione e quindi abbiamo le coordinate dell'incentro.

Mettiamo i punti nel piano cartesiano e verifichiamo innanzitutto che sono i vertici di un triangolo:

A quanto pare si.

Il triangolo ABC è anche rettangolo in A. L'angolo retto in A ha per bisettrice la retta che in forma implicita è:

0

Scegliamone un'altra. Ad esempio quella dell'angolo .

Scriviamo le equazioni che contengono i lati dell'angolo:

0

AB si trova sull'asse x, a cui l'equazione è:

Scriviamo l'equazione della retta per B e C:

+4+434 3 +43 + 4 + 12 0

Per trovare la bisettrice di

imponiamo che i suoi punti siano equidistanti dai lati dell'angolo:

Detta la distanza di un punto della bisettrice e note le equazioni delle rette dei due lati dell'angolo nella forma deve essere:

|x + y + d1| = |x - y + d2|

Avremo allora:

|3x + 4y + 12| = √9 + √16

|3x + 4y + 12| = √25

Osserviamo che l'incentro ha entrambe le coordinate negative, perché appartiene al III quadrante:

3x + 4y + 12 = 0

L'equazione della bisettrice è:

3x + 9y + 12 = 0

Mettiamo a sistema con l'altra:

3x + 9y + 12 = 0

12x + 12y = 0

E risolviamo:

3x + 12 = 0

x = -1

7√2y = 0

y = -1

Le coordinate sono allora: I=(-1;-1)