Campi d'esistenza per studenti d'ingegneria

Campi d'esistenza

Disequazioni: prodotto e quoziente

1. P(x) > 0 / Q(x) > 0 (P(x) · Q(x)) > 0

   • {P(x) > 0Q(x) > 0}
   • oppure
   • {P(x) < 0Q(x) < 0}

2. P(x) < 0 / Q(x) < 0 (P(x) · Q(x)) < 0

   • {P(x) > 0Q(x) < 0}
   • oppure
   • {P(x) < 0Q(x) > 0}

Esercizi:

1) (x-1)(x+3) < 0

• x < -3

  • x + 1 < 0
  • x + 3 > 0

• x > 1

  • x + 3 > 0

oppure

• x < -3
• x > 3

oppure

• x < 1
• x > 3

2) ^x-5/_x+4 > 0

• x - 5 > 0
• x + 4 > 0

frase: x > 5

frase: x > -4

3) (3x + 4)(5x + 2) < 0

• 3x + 4 < 0
• 5x + 2 > 0

• x < -4/3
• x > -2/5

Disuguaglianze con funzioni di radice (Disuguaglianze irrazionali)

• m dispari: √x < a ⇒ x < a^m
• m dispari: √x > a ⇒ x > a^m
• m pari, a ≥ 0: √x < a ⇒ 0 ≤ x < a^m
• m pari, a ≥ 0: √x > a ⇒ x > a^m
• m pari: √x < a ⇒ 0 ≤ x < a^m
• m pari, a ≥ 0: √x ≤ a ⇒ 0 ≤ x ≤ a^m
• m pari, a ≥ 0: √x < a ⇒ ≠

Esercizi

1. √x < 3 ⇔ √x < 3 ⇒ x < 3² ⇒ x < 27
2. √x + 1 > 2 ⇒ √x > -4⁵ ⇒ x > -1
3. √x - 2 ≥ 0 ⇒ √x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2⁴ ⇒ x ≥ 1 6

3. x - 3√x - 4 ≥ 0

Posto √x = y ⇒ y² - 3y - 4 ≥ 0

Δ = b² - 4ac = 9 + 16 = 25 > 0 ⇒ 2 radici reali

x₁ = -(-5 - √25)/2 = 3 - (-5)/2 = -1 ; x₂ = -(-b ±√Δ)/2a = 3 ± √25/2 = 3+5/2 = 4

x < -1 x > 4

x² - 3|x| - 4 ≤ 0

a)

{ x ≥ 0

{ -x ≥ 0

{ x² - 3x - 4 ≤ 0

⇒

X { x ≥ 0

8 ≤ x ≤ 4

⇒ { x ≥ 0

x₁ = 3 - √25

x = -1 ; x₂ = 4

⇒

{ -1 ≤ x ≤ 4

⊠

{ x ≤ 0

{x ≤ 0

⇒

x₁ = -4 ; x₂ = 4

-4 ≤ x ≤ 4

Caso a)

Soluzione per 0 ≤ x ≤ 4

Caso b)

Soluzione per -4 ≤ x ≤ 0

L'insieme delle soluzioni è -4 ≤ x ≤ 4 (il valore cresce sotto alla x al di fuori dell'intervallo e si verifica il fatto che lo step di 2° grado ≤ 0)

1 - 3|x|_{3 - 4|x|} ≥ 0

log_3/2 2x ≥ log_2/3 4x - 1

|x| < 1

x ≥ -3/4, 3/4 ≥ x ≥ 0

-2 < x < 1/4, x > 1

x ≥ -3/4, 3/4 ≥ x ≥ 0

tg x - 2, tg x > 0

x ≠ π/2, x ≠ 3/2π

tg 3x - 2, tg x

x ≠ π/2, x ≠ 3/2π

0 < x < π/4, x ≠ 3/2π, 0 ≤ x < π/4 e 3/2π ≤ x < 2π