Calcolo numerico e software matematico - Domande e risposte

T T

Si assegnino i vettori x=[ 0 11 22 33 44 55] y=[ 8 1 1 1 7] Specificare se gli array x ed y sono righe o

colonne.

SONO array Riga ma con la funzione TRASPOSTA diventano COLONNA

X= [0 11 22 33 44 55] array RIGA

X= [0; 11; 22; 33; 44; 55] array COLONNA

Quali funzioni Matlab calcolano le dimensioni di un array ad una e a due dimensioni? Motivare la risposta con

un esempio.

L’istruzione length, quando applicata ad un array x ad una dimensione ( riga o colonna) restituisce il numero

delle componenti dell’array. Se si memorizza nella variabile n tale valore, l’istruzione è:

n=length(x);

Se si ha un array a due dimensioni, ovvero una variabile a due indici, la funzione size, se applicata ad a,

fornisce due numeri, il primo contenente il numero di righe mentre il secondo il numero di colonne di a. Si

vogliono memorizzare questi due valori nelle variabili m e n. L’istruzione per chiamare la funzione size che

restituisce due valori “in uscita” è

[m,n]=size(a);

Che cosa è la matrice di Hilbert? '&

una matrice di Hilbert è una matrice quadrata con componenti ℎ = ( + − 1)

73

La matrice di Hilbert può essere creata mediante la funzione hilb.

L’istruzione: H=hilb (10); assegna all’array H gli elementi della matrice di Hilbert di ordine 10.

Capitolo3 lezione 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------

Descrivere il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione di un sistema lineare con matrice dei

coefficienti di ordine n uguale a 4.

il metodo di risoluzione di un sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite si basa sull’applicazione ripetuta

del prodotto matrice per matrice e matrice per vettore, infine la soluzione si ottiene con l’esecuzione di

prodotti riga-colonna. (+) (2'&) (2)

Dimostrare che se i perni sono diversi da zero ed A è non singolare allora

, , … , ≠ 0

&& 22

2'&2'&

++

(+) 2'&

I perni sono gli elementi diagonali di R.

, , … ,

&& 2'&2'&

++

Essendo R una matrice triangolare, il suo determinante è dato dal prodotto degli elementi diagonali.

Analogamente, la matrice triangolare L, di elementi diagonali uguali a 1, ha determinante uguale a 1.

Per la regola di Binet, da A = LR si ha det(A) = det(L) det(R) = det(R).

+ 2'&

Se e A è non singolare, ovvero det(A) ≠0,

≠ 0, ≠ 0, … , ≠ 0

&& 2'&2'&

++ (2)

si ha che det(A) = det(R) implica det(R)≠ 0 e dunque ≠ 0.

22

(+) (2'&)

Dimostrare che se i perni sono diversi da zero allora la matrice A è non singolare

, , … ,

&& 2'&2'&

++

+ 2'&

Se si ha det(R)≠ 0 e la relazione det(A) = det(L) det(R) implica det(A)≠ 0 quindi

≠ 0, ≠ 0, … , ≠ 0

&& 2'&2'&

++

A è non singolare.

Indicare il numero di moltiplicazioni e di divisioni (complessità computazionale) per calcolare la soluzione di

un sistema lineare di n equazioni in n incognite mediante il metodo di eliminazione di Gauss.

Il numero di moltiplicazioni e divisioni che occorre eseguire per risolvere un sistema lineare di n equazioni in

n incognite è dato da: 3

moltiplicazioni e divisioni necessarie per la fattorizzazione LR : 1/3n

moltiplicazioni e divisioni necessarie per risolvere due sistemi lineari triangolari Ly = b e Rx = y :

2 2 2

1/2n + 1/2n = n . 3 2

La complessità computazionale si ottiene sommando i termini: 1/3n + n

Il “costo” maggiore nella risoluzione di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss è dovuto al

calcolo della fattorizzazione LR. 2(2?&)

2

[ La complessità computazionale in termini di operazioni moltiplicative è : ]

74& +

Indicare la complessità computazionale per il calcolo della matrice inversa di una matrice di ordine n

mediante il metodo di eliminazione di Gauss. 3

moltiplicazioni e divisioni necessarie per la fattorizzazione di A come prodotto LR : 1/3n

risolvere 2n sistemi triangolari (n triangolari sup e n triangolari inf) con il metodo di sostituzione in avanti per i

sistemi triangolari inf e all’indietro per i sistemi triangolari sup. La complessità computazionale Per risolvere

2

ciascun sistema è: 1/2n 3 2 3

La complessità computazionale si ottiene sommando i termini: 1/3n + ((2n)*(1/2n ) = 4/3n

Il “costo” maggiore nella risoluzione di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss `e dovuto al

dover risolvere 2n di calcoli per i sistemi triangolari.

Capitolo 3 lezione 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------

Definire la matrice elementare di permutazione.

La matrice elementare di permutazione è ottenuta dalla matrice identità scambiando la riga (o la colonna)

AB

r con la riga (o la colonna) s: ABC

una matrice elementare di permutazione è simmetrica: =

AB

Inoltre infatti, essendo ottenuta dalla matrice identità scambiando tra loro la riga r-esima con

∗ = ,

AB AB AB

la riga s-esima, il prodotto realizza lo scambio della r-esima riga con la s-esima riga della matrice ,

∗

AB AB AB

ripristinando la disposizione iniziale degli elementi di I (matrice identità).

Definire la matrice di permutazione

Il prodotto di due, o più, matrici elementari di permutazione, quindi per sua natura è una matrice in cui ogni

riga e colonna contiene soltanto un elemento uguale a 1 e tutti gli elementi sono 0 oppure 1

C

La matrice trasposta di una matrice di permutazione P è una matrice di permutazione.

C C

Per ogni matrice di permutazione P vale la proprietà: ∗ = ∗ = ;

'& C

ovvero: =

A cosa sono uguali la matrice simmetrica e la matrice inversa di una matrice elementare di permutazione.

La matrice simmetrica di una matrice elementare di permutazione è uguale alla matrice elementare di

AB'&

permutazione per definizione di matrice inversa: =

AB

La matrice inversa di una matrice elementare di permutazione è uguale alla matrice elementare di ABC

permutazione trasposta, perché la matrice elementare di permutazione è simmetrica (quindi )

=

AB

AB'& ABC

=

La matrice L calcolata con il metodo di Gauss con scambio di righe e perno massimo ha elementi maggiori di

1?

Nel metodo di Gauss con pivoting la ricerca dell’elemento di modulo massimo della colonna o sottocolonna

F

a partire dall’elemento assicura che gli elementi di ciascun soddisfano la condizione per la stabilità

7F F

FF

per qui, essendo L il risultato della moltiplicazione tra , anche L ha tutti gli elementi ≤1

| | ≤ 1,

7F F

Capitolo 5 lezione 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------

Indicare il numero di moltiplicazioni o divisioni e il numero di addizioni o sottrazioni necessarie per calcolare

con la regola di Ruffini-Horner il valore di un polinomio di grado n in un punto assegnato.

sono necessarie n moltiplicazioni e n addizioni. Questo metodo calcola il valore di un polinomio di grado n in

un punto con il minor numero di operazioni possibili.

Enunciare il risultato sul Wronskiano per la lineare indipendenza di funzioni;

Costruiamo la seguente matrice di ordine n + 1, dipendente dalla variabile x e denotata con W(x), mettendo

nella prima riga le funzioni assegnate, nella seconda riga le derivate prime, nella terza riga le derivate

seconde e cos`ı fino all’ultima riga (n + 1-esima) in cui sono disposte le derivate n-esime.

Il determinante della matrice W(x), det(W(x)), è noto come Wronskiano. Si può dimostrare il risultato

seguente.

Se esiste un punto x0 I tale che det(W(x0)) ≠ 0, allora le funzioni φ 0, φ 1, ..., φ n, definite in I e ivi derivabili

∈

fino all’ordine n, sono linearmente indipendenti.

La condizione sul Wronskiano è una condizione sufficiente per la lineare indipendenza delle funzioni φ 0(x),

φ 1(x), ..., φ n(x) ma non necessaria

Mostrare un caso in cui il Wronskiano è nullo ma le funzioni sono linearmente indipendenti.

Nell’esempio di Peano il Wronskiano è nullo e ciò evidenzia che la lineare dipendenza o indipendenza delle

funzioni dipende dall’intervallo I dell’asse reale in cui sono definite le funzioni.

La condizione sul Wronskiano è una condizione sufficiente per la lineare indipendenza delle funzioni φ 0(x),

φ 1(x), ..., φ n(x) ma non necessaria

Formulare il problema dell’interpolazione polinomiale.

siano dati n + 1 punti distinti, x0, x1, ..., xn con x0 < x1 < ... < xn, detti punti di osservazione o punti di

interpolazione, ed n + 1 osservazioni corrispondenti, y0, y1, ..., yn.

Si vuole calcolare una funzione φ(x) che passi per i punti (xi, yi), per i = 0, ..., n, ovvero che soddisfi le

condizioni di interpolazione

φ(xi) = yi per i = 0,...,n

se le funzioni φ 0(x), φ 1(x), ..., φ n(x), definite nell’intervallo [a, b], sono linearmente indipendenti, allora, per

ogni scelta di punti distinti x0, x1, ..., xn appartenenti ad [a,b], i vettori φ 0, φ 1, ..., φ n, che si ottengono

valutando ciascuna funzione φ j(x), j = 0, ..., n, nei punti x0, x1, ..., xn, sono vettori linearmente indipendenti.

Perché non si calcola il polinomio di interpolazione risolvendo il sistema di interpolazione con la matrice di

Vandermonde?

Il calcolo del polinomio di interpolazione, mediante l’uso dei monomi come funzioni elementari, non è di

pratico utilizzo in quanto la matrice di Vandermonde è una matrice mal condizionata. Il sistema lineare ad

essa associato è un sistema mal condizionato, ovvero se si perturbano “di poco” i dati del problema (gli

elementi della matrice dei coefficienti o del vettore dei termini noti), la soluzione è “molto” perturbata.

Definire i polinomi di Lagrange e scriverne il valore in corrispondenza dei punti di interpolazione.

i polinomi di Lagrange l0(x), l1(x),..., ln(x) sono così definiti:

(x − x1)(x − x2)(x − x3) ··· (x − )(x − xn)

2'&

=

L (x0 − x1)(x0 − x2)(x0 − x3) ··· (x0 – x )(x0 − xn)

2'&

(x − x1)(x − x2)(x − x3) ··· (x − )(x − xn)

2�