Calcolo elementare delle probabilità - II

Risultati exit-poll

candidato A B C D% dipendenti 30 40 20 10

Intervistando con un exit-poll gli elettori che escono dal seggio, e sapendo che solo 500 elettori sono andati a votare,

(a) calcolare la probabilità che i primi due intervistati abbiano votato per il candidato A

(b) calcolare la probabilità che uno solo di essi abbia votato per il candidato A

(c) calcolare la probabilità che nessuno di essi abbia votato per il candidato A

(d) sapendo che i due primi intervistati hanno votato per il candidato A, qual’è la probabilità che

i. il terzo intervistato abbia votato per lo stesso candidato

ii. il terzo candidato abbia votato per un candidato differente

Soluzione.

150·149(a) = 0.09

500·499

150·350· = 0.42

(b) 2 500·499

(c) 1-0.09-0.42=0.44

(d) i. 148/498

ii. 350/498

10. In un’indagine sull’alcolismo, si sa che il 5% di una popolazione ha la pressione alta e che il 75% delle persone con pressione alta è alcolista, mentre solo il 50% delle persone con pressione

normale è alcolista.(a) Si calcoli la probabilità che, estraendo casualmente un individuo dalla popolazione, egli sia un alcolista con la pressione alta

(b) Si calcoli la probabilità che, estraendo casualmente un individuo tra gli alcolisti, egli abbia la pressione alta.

Soluzione.

∩ ·(a) P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = 0.75 * 0.05 = 0.0375

P (B ∩ A) = 0.0375 / 0.0375 = 1

(b) P (B|A) = P (A ∩ B) / P (A) = 0.0375 / (0.0375 + 0.5 * 0.9551)

1. Si supponga che il tasso di incidenza di una malattia rara in una popolazione sia di un caso su 5000. Si consideri ora un test clinico che riconosce la presenza della malattia con probabilità pari a 0.9, e sia 0.005 la probabilità che il test produca un "falso positivo", indichi cioè la presenza di una malattia in una persona sana. Si calcoli la probabilità che una persona sia effettivamente affetta dalla malattia in questione se ha risposto positivamente al test.

P (B|A)P (A) = 0.9 * 1/5000

Soluzione. P (A|B) =

cP (B|A)P (A)+P (B|A )P (A ) 0.9·1/5000+0.005·4999/50000.0312.

Abbiamo acquistato un prodotto difettoso che sappiamo provenire daun magazzino che si rifornisce da tre aziende, diciamo x, y, z. Il mag-azziniere ci informa che il 50% dei prodotti proviene dall’azienda x eil 30% dalla y. Da un colloquio con i responsabili della qualità delletre aziende, scopriamo che la percentuale dei pezzi difettosi sulla pro-duzione totale delle tre aziende x, y, z è rispettivamente data da 0.4%,0.6% e 1.2%. Da quale azienda è più probabile che provenga il prodottoda noi acquistato?

Soluzione. Dall’azienda z, infattiP (D|x)P (x) 0.002P (x|D) = = = 0.323P (D|x)P (x) + P (D|y)P (y) + P (D|x)P (z) 0.00620.0018P (D|y)P (y) = = 0.290P (y|D) = P (D|x)P (x) + P (D|y)P (y) + P (D|x)P (z) 0.00620.0024P (D|z)P (z) = = 0.387P (z|D) = P (D|x)P (x) + P (D|y)P (y) + P (D|x)P (z) 0.006213.

Dopo aver provocato un tamponamento notturno, il conducente di untaxi è fuggito senza

Prestare soccorso. Due compagnie di taxi operano in città: la Green e la Blue. Sono noti i seguenti fatti: l'85% dei taxi sono della compagnia Green e il 15% della compagnia Blue; un testimone dichiara di aver visto che il taxi coinvolto nell'incidente era della compagnia Blue. Durante il processo, il testimone è stato sottoposto ad un test dove gli si chiedeva di riconoscere la compagnia di appartenenza di un taxi in condizioni di bassa luminosità. Il test è stato ripetuto 30 volte portando ai seguenti risultati: