Calcolo delle probabilità

Y

La varianza e la covarianza sono analoghe alle variabili discrete.

Indici di forma

Asimmetria di Pearson (gamma) 3 2 3

) )

( − 3( ∗ () + 2()

() = () ∗ ()

Indice di Fischer (delta) - indice di kurtosi, misura l’appiattimento della curva di densità.

4 3 2 2 4

) ) )

( − 4 ∗ ( ∗ () + 6( − 3 ∗ ()

() = 2

()

Il valore di riferimento è 3, valore assunto dalla variabile continua gaussiana.

→

Se < 3 appiattita.

→

Se > 3 allungata. 6

Sono stati definiti alcuni modelli specifici che si applicano a particolari tipi di problemi.

Variabili discrete particolari

→

Bernoulli Esperimento con due possibili risultati: successo o insuccesso.

1−

(1

( = ) = − ) ; = 0, 1 dove p è la probabilità dell’evento “successo”.

() = () = (1 − )

→

Prove bernoulliane esperimento che comprende più variabili bernoulliane i.i.d. (indipendenti e

identicamente distribuite).

→

Binomiale si esegue un numero prefissato n di prove bernoulliane, ognuno con probabilità p.

X indica il numero di successi ottenuti.

−

(1

( = ) = ( ) − ) ; = 0, 1, … , .

Il tutto equivale a somma di n variabili bernoulliane i.i.d. perciò:

(1

() = ∗ () = ∗ ∗ − )

→

Ipergeometrica da una popolazione di N elementi se ne astraggono n in blocco.

Si ha una probabilità p di estrarre elementi positivi (e 1-p di estrarre elementi negativi).

X indica il numero di elementi positivi nel campione estratto n.

∗ ∗(1−)

)

( )∗( −

−

( )

= = (1

() = ∗ () = ∗ ∗ − ) ∗

−1

( )

→

Geometrica si eseguono delle prove bernoulliane interrompendo l’esperimento al primo

successo (p indica la probabilità di successo). X indica il numero di prove effettuate.

1 1−

( = ) = (1 − ) ; = 1, 2, 3, … () = () = 2

→ = 1) > ( = 2) > .]

NB le probabilità sono decrescenti all’aumentare di X [(

→

Pascal estende il concetto di v.a. geometrica ad un numero r di successi (con r > 1). X indica il

numero di prove effettuate. La funzione di probabilità tiene conto del fatto che, per ottenere r

successi, è necessario ottenerne r-1 nelle prime x-1 prove, e l’ultima prova deve essere un

successo. −1 −

(1

( )

( = ) = − ) ; = , + 1, + 2, …

−1

1−

() = () = ∗ 2

→

Uniforme discreta esperimento che prevede k risultati equiprobabili.

1

( = ) = ; = 1, 2, 3, … , .

2

+1 −1

() = () =

2 12

→

Poisson esperimento basato sul conteggio del numero di eventi che si verificano in un dato

periodo di tempo. Prevede un parametro λ che indica la media di eventi nell’unità di tempo.

X indica il numero di eventi che si verificano.

−

∗

( = ) = ; = 0, 1, 2, 3, …

!

() = () = 7

→

Doppie studiano l’andamento simultaneo di due v.a. ℎ = ℎ0 ∗ 0.

Le probabilità interne sono date dal prodotto delle marginali:

Se anche solo una probabilità interna Phj = 0, le due v.a. non sono indipendenti.

Variabili continue particolari →

Rettangolare (uniforme continua) definita su un supporto limitato ad un preciso intervallo [a,b].

Assegna la stessa densità ad ogni punto dell’intervallo.

0, <

1 , ≤ ≤ − , ≤ <

() ()

= { = {

−

−

0, 1, ≥

2 2 2

(

+ + + − )

2 )

() = ; ( = ; () =

2 3 12

La funzione di graduazione si ottiene ponendo la F uguale a u all’interno del suo supporto.

Y

→

Esponenziale prevede un unico parametro che rappresenta il tasso di eliminazione. Si utilizza

soprattutto nello studio della durata del funzionamento

di componenti elettriche, lampadine e macchinari.

È considerata l’estensione al continuo della v.a. di

Poisson. −

∗ , ≥ 0

() = { ,

0, <0

() = { −

1− , ≥0

1 2 1

2 )

() = ; ( = ; () =

2 2

Per determinare la funzione di graduazione si considera

ln 2

() =

la F con valori di y positivi.

Y

Il valore di va ad influenzare la forma della distribuzione; più è elevato più la distribuzione

tende a spostarsi verso sinistra.

→

Operatore Gamma associa ad un qualunque valore il risultato dell’integrale di Eulero.

+∞ −1 −

Γ() = ∫ ∗

0

Gode di una serie di proprietà:

Γ(1) = 1;

Γ( + 1) = ∗ Γ();

1

( )

Γ = √

2 (

Γ() = − 1)!;

Se n è un numero naturale = l’operatore gamma è applicabile anche a

+

numeri non interi, può quindi essere inteso come un’estensione del fattoriale a tutto R . 8

→ +

Famiglia di distribuzioni Gamma comprende distribuzioni definite nel supporto R ; si ottiene

utilizzando Gamma come costante di

normalizzazione.

−1 −

∗

() = ; ≥ 0

Γ()

(il parametro α deve essere positivo)

() = () = ;

2 )

( = ∗ ( − 1)

Si può costruire anche una funzione Gamma a due parametri (α, β):

−1 −

() = ∗ ∗ ; ≥ 0 ( > 0 > 0)

Γ()

( + 1)

2 )

() = ; ( = ; () =

2 2

Vi sono dei casi particolari di distribuzioni Gamma tra cui:

• −

= 1 → ∗ , ≥ 0 .

corrisponde ad una esponenziale di parametro

• = 1 → distribuzione Gamma ad un parametro.

1 1

• = = ( ) → distribuzione chi-quadrato con g gradi di libertà.

2 2 2

1

−1 −

() = ∗ ∗ , ≥ 0; () = ; () = 2

2 2

2 ∗ Γ ( )

2 2 :

La forma della distribuzione dipende dal valore del parametro

• →

= 1 esponenziale.

• →

> 1 unimodale.

• →

< 1 zeromodale asintotica.

→

Operatore Beta definito da due argomenti positivi (t,u). Si ottiene risolvendo un integrale

limitato [0,1]:

1 () ∗ ()

−1 −1

(1

β(, ) = ∫ ∗ − ) → (, ) = ( + )

0

Gode di una serie di proprietà:

β(t, u) = β(u, t) 1 1

β(1,1) = 1; (2,2) = ; (3,3) =

6 30

1 1 2

β(t, 1) = ; (, 2) = ; (, 3) =

( ( (

∗ + 1) ∗ + 1) ∗ + 2)

(−1)!∗(−1)!

β(t, u) =

→

Se t e u sono entrambi numeri interi (+−1)! 9

→

Famiglia di distribuzioni Beta comprende varie distribuzioni definite nell’intervallo [0,1]; si

ottiene utilizzando l’operatore Beta come costante di

normalizzazione.

( + ) −1 −1

(1

() = ∗ ∗ − ) , 0≤≤1

() ∗ ()

∗

() = ; () = 2

( (

+ + ) ∗ + + 1)

La forma della funzione di densità dipende dal valore di

entrambi i parametri: in particolare, quando t = u la

curva risulta simmetrica.

Variabile aleatoria Gaussiana

La v.a. Gaussiana (o normale) è la distribuzione più conosciuta. Essa si calcola tramite due

()

()

parametri che ne rappresentano rispettivamente la media e lo scarto.

2

1 1 − )

− ∗(

( )

= ∗ 2

√2

La curva derivante da questa funzione di densità è simmetrica. All’aumentare della media la curva

si sposta verso destra.

All’aumentare dello scarto la curva si schiaccia.

Proprietà della variabile Gaussiana

• );

Unimodale e perfettamente simmetrica (E = Me = Moda =

• (, ) = + ( ≠ 0),

Se a si applica una trasformazione lineare la v.a.

ottenuta è ancora Gaussiana;

• Se si hanno n variabili Gaussiane indipendenti a coppie, la loro combinazione lineare è

ancora una variabile gaussiana;

• [ − 1, + 1]

La probabilità nell’intervallo è sempre paria al 68,73% (con 2 = 95,45% -

con 3 = 99,73%);

• L’indice di asimmetria è sempre pari a 0;

• L’indice di kurtosi è sempre pari a 3.

→

Normale standardizzata variabile effettivamente utilizzata per la risoluzione di problemi

→

statistici. Si tratta di una Gaussiana di media 0 e scarto 1 N(0,1).

Per ottenerla si applica alla normale generica una trasformazione lineare che sottrae la media e

divide per lo scarto.

−

()

= ∗

√ 2 3

) )

() = 0, ( = 1, (

4

= 0, ( ) = 3

Tavole della distribuzione N(0,1)

L’uso delle tavole fornisce per ogni

valore z (comp