Calcolo delle probabilità

32827 Brizzi - Calcolo delle probabilità Dalle Fabbriche Sofia - CLASFA

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Si parla di esperimenti aleatori ogni volta che si effettua una prova di cui non si conosce a priori il

risultato; ogni possibile risultato è detto evento:

→

- Elementare singolo risultato di un esperimento.

→

- Composto insieme di eventi elementari (vi sono diverse soluzioni possibili che

soddisfano il criterio richiesto).

Al termine dell’esperimento ogni evento risulta VERO o FALSO.

Con gli eventi possono essere effettuate operazioni logiche:

̅

→ E

- Negazione (o evento contrario) l’evento risulta vero se l’evento E risulta falso e

viceversa.

→ ∪

- Unione E F è vera quando è vero almeno uno dei due eventi.

→

- Intersezione E ∩ F è vero se sono veri entrambi gli eventi.

→

- Differenza logica E – F è vero se il primo evento è vero mentre il secondo è falso.

Eventi estremi →

- Certo Ω si verifica sempre. Non basta che l’evento sia molto probabile.

→

∅

- Impossibile non si verifica mai.

Tali eventi sono l’uno il contrario dell’altro. Inoltre:

∪ ∅ ∅

- E Ω = Ω - Ω ∩ =

̅

∪ ∅ E

- E = E - Ω – E =

∅

- E ∩ Ω = E - E - = E

∅ ∅

- E ∩ =

Relazioni tra eventi

→

- Esaustivi la loro unione è un evento certo; uno di loro è necessariamente vero.

→

- Incompatibili la loro intersezione è impossibile; non possono risultare entrambi veri (ma

possono essere entrambi falsi). Se si considerano più di due eventi essi sono spesso

incompatibili a due a due.

→

- Implicazione E F quando la veridicità di E comporta la veridicità di F; la condizione

→

imposta da E è quella maggiormente stringente. Se due eventi si implicano a vicenda, si

dicono equivalenti.

→

- Indipendenza il verificarsi o meno di un evento A non è influenzato dal verificarsi o

meno di un altro evento B.

L’insieme complessivo degli eventi elementari costituisce lo spazio degli eventi:

→

- Finito numero preciso di eventi.

→

- Numerabile infiniti eventi numerabili.

→

- Continuo infinità continua di eventi (misurazioni, variabili monetarie).

Tale spazio può essere suddiviso tramite un insieme di eventi esaustivi e incompatibili a coppie (si

tratta della suddivisione in classi dei valori durante un’analisi statistica). Una partizione può essere

costituita dall’insieme composto da un evento e dal suo contrario.

14/02/2023 1

Il coefficiente binomiale Proprietà di simmetria:

!

( )= ≤ ( )=( )

−

(

! − )! Casi particolari:

Il calcolo combinatorio

Consente di stabilire quanti gruppi si possono ottenere ( ) = ( ) = 1 ∀ > 0

0

da un certo insieme di elementi.

→

1. Permutazioni tutti i possibili ordinamenti degli

( ) + ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) = 2

0

1 2

elementi dell’insieme; → = !

In un insieme di elementi distinti (senza ripetizioni)

!

→ =

Se vi sono delle ripetizioni dove il denominatore indica il numero di

! !… !

1 2

ripetizioni di ogni elemento.

→

2. Disposizioni raggruppamenti in insiemi con un numero di membri k inferiore ad n.

Possono essere semplici, se non si ripetono gli stessi elementi all’interno del gruppo,

oppure possono ammettere le ripetizioni. !

= ≤

Per le disposizioni semplici si usa: , (−)!

= (ℎ > )

Per le disposizioni con ripetizioni si usa: ,

→

3. Combinazioni l’ordine non ha importanza oppure vi è un solo ordinamento possibile.

Possono essere semplici o ammettere le ripetizioni.

→ = ( ) ≤ → .

Semplici , +−1 (+−1)!

()

→ = ( ) = ℎ >

Con ripetizioni , !(−1)!

Definizioni di probabilità

→

Classica (Laplace) La probabilità di un evento E è data dal rapporto tra casi favorevoli e casi

possibili, purché essi siano tutti ugualmente possibili ovvero non vi sono ragioni per ritenere che

uno di essi si verifichi più facilmente degli altri.

→

Frequentista (Von Mises) La probabilità di un evento E è il limite della frequenza relativa

dell'evento al crescere del numero di osservazioni. La frequenza relativa dell'evento è data dal

rapporto tra il numero di volte in cui l'evento è stato osservato e il numero di occasioni che

avrebbe avuto per verificarsi. →

Soggettivista (Ramsey e Finetti) La probabilità di un evento E è il grado di fiducia che un

soggetto valutatore ha nel verificarsi dell'evento in questione. Si basa sul meccanismo della

scommessa, esso è pari al rapporto s/S tra la somma massima (s) che egli è disposto a

scommettere, e la somma (S) che riceverebbe al verificarsi dell'evento (perdendo invece tale

̅

E

somma al verificarsi di ). Questa definizione permette a soggetti diversi di attribuire probabilità

differenti allo stesso evento E.

Assiomi di probabilità (Kolmógorov)

Si tratta di tre leggi di base della probabilità che qualunque definizione deve rispettare:

→ (≥ 0);

1. Non negatività P(E) non può essere negativa

→

2. Unitarietà P(Ω) dell’intero spazio degli eventi è sempre uguale a 1;

→ ( ∪ ) = () + ().

3. Additività semplice dati due eventi incompatibili, è vero che

Questo assioma è estendibile ad una quantità numerabile di eventi (additività completa). 2

Dagli assiomi è possibile ricavare che: ̅

E

- Dato un evento E, la probabilità di è pari al complemento a 1 della probabilità di E.

̅)

P(E = 1 − P(E)

- La probabilità di un evento impossibile P(Ø) è sempre pari a 0.

( − ) = () − ( ∩ )

- La probabilità della differenza A-B è pari a

- La probabilità dell’unione di due eventi generici (non incompatibili) è pari a:

( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

Probabilità condizionata

Essa considera per verificato un evento A, detto condizionante. La probabilità che si verifichi

l’evento B, dato che si è verificato l’evento A è definita: probabilità di B dato A.

( ∩ )

(|) = ()

La probabilità che si verifichi l’evento B, dato che si è verificato l’evento A può aumentare

(positivamente correlati), diminuire (negativamente correlati) o restare invariata (indipendenza).

La probabilità condizionata può essere riferita anche alla stessa variabile:

( ≥ 9| < 25)

Esempio: ( ∩ ) = () ∗ ().

Quando due eventi sono indipendenti vale la regola del prodotto:

Tale regola è valida per un numero qualunque di eventi indipendenti.

Calcolo operazioni tra eventi

- Unione di eventi incompatibili vale la regola della somma (aumenta la probabilità).

- Intersezione tra eventi indipendenti vale la regola del prodotto (scende la probabilità).

≠

Indipendenti Incompatibili

L’incompatibilità di due eventi è il più forte legame di dipendenza che due eventi possano avere;

essi si escludono, influenzandosi reciprocamente. Il verificarsi di uno dei due ci dà informazioni

precise sul verificarsi dell’altro. Due eventi indipendenti sono, invece, sempre compatibili tra loro.

Probabilità dell’evento contrario ̅

E

Nella risoluzione di problemi può risultare più utile e veloce il calcolo della probabilità di .

Si applica soprattutto in situazioni in cui si cerchi un risultato che si sia verificato “almeno una

volta”, perché l’evento contrario (“mai verificato”) risulta più semplice da calcolare.

Teorema di Bayes

Criterio matematico che rappresenta la modifica delle proprie opinioni in base a quello che si

osserva. Si parte da un insieme di k ipotesi, esaustive e incompatibili a coppie (partizione dello

spazio degli eventi) in modo che una sola risulti vera.

A ciascuna ipotesi si associa un valore di probabilità iniziale, con somma pari a 1 (se non si hanno

elementi per definire tali valori, essi possono essere anche uguali). Si suppone di aver osservato un

evento E. La probabilità che una ipotesi si verifichi è calcolata così:

( ) ∗ (| )

( |) =

∑ )

( ∗ (| )

=1

La P(E|Hj) è detta verosimiglianza, è la probabilità che l’evento E si verifichi se Hj risulta vera.

Se si attribuisce una probabilità iniziale nulla, essa resterà nulla.

Se si attribuisce una probabilità iniziale pari a 1, tutte le altre ipotesi avranno P=0.

Solitamente le probabilità iniziali devono essere comprese tra 0 e 1. 3

Quando le probabilità iniziali sono uniformi tra loro esse possono essere omesse dalla formula e il

risultato finale dipenderà solamente dalle verosimiglianze.

La variabile aleatoria (v.a.)

Una varabile aleatoria reale è una grandezza che nel corso di un esperimento può assumere

diversi valori e non è possibile determinare a priori quale. Se lo spazio degli eventi è finito o

numerabile, la v.a. è discreta (numeri interi); se, invece, lo spazio degli eventi è continuo, anche la

v.a. è continua. Vengono indicate con qualunque lettera maiuscola (es. T, U, ecc.); in generale, la X

per v.a. discrete e la Y per v.a. continue.

Variabili aleatorie discrete

Anche se non si può determinare quale valore assumerà la variabile, essa si può conoscere

sapendo determinare tutti i possibili valori che essa può assumere e associando ad ogni valore la

relativa probabilità.

Una generica v.a. discreta X è definita da:

→

- Supporto insieme dei valori di X con P>0.

→

- Funzione di probabilità funzione che permette di attribuire una probabilità ad ogni

valore del supporto. Somma totale = 1.

→

- Distribuzione della v.a. meccanismo che associa ad ogni valore del supporto la

probabilità corrispondente.

La funzione di ripartizione permette di rappresentare graficamente la probabilità che X non superi

un valore generico ; si utilizza soprattutto per la rappresentazione grafica di variabili con infiniti

0

valori possibili, ai quali è difficile assegnare la rispettiva probabilità.

) ),

( = ( ≤ ∀ ∈

0 0

Essa è definibile per ogni x appartenente a R; è non decrescente e continua a destra.

Quando rappresenta una v.a. discreta si tratta di una funzione a gradini dove ogni gradino

rappresenta un punto del supporto e le altezze rappresentano la rispettiva probabilità.

Mediana, quartili e centili

La mediana Me(X) di una v.a. è il valore che divide in due la distribuzione: ogni punto (valore del

supporto) in cui la F.d.R. vale 0,5 può essere considerato un punto mediano.

Se vi è un intero intervallo di punti mediani, si considera come mediana il punto centrale

dell’intervallo stesso.

Inoltre, è possibile individuare i vari quantili che suddividono la distribuzione: si considera come

quantile il valore del supporto per cui il corrispondente valore delle F.d.R. supera il valore del

quantile cercato.

( = ) = ; = 1, 2, 3, 4.

Esempio: 10

(1)

= 0,1

→

(2)

= 0,3 deriva dal valore della F.d.R fino al punto precedente + il valore del punto attuale.

ecc.

Per trovare il primo quartile considero il valore di X in cui la F.d.R. supera 0,25.

Se un valore coincide esattamente con il valore del quantile, si considera la semisomma tra il

valore prima e quello dopo

1

( = ) = ; = 1, 2, 3, 4.

Es. 4

(1) = 0,25 4

→

(2) = 0,50 la F.d.R vale esattamente 0,50 (mediana)

(3) = 0,75

ecc. La mediana si ottiene come media del valore che corrisponde al quantile e di quello

2+3

() = = 2,5

successivo. 2

Valore atteso

Il valore atteso di una v.a. generica è dato dalla media dei valori del supporto ponderata con le

rispettive probabilità e si indica con E(X). Si trova sempre compresa tra il min e il max valore del

supporto. Il valore atteso di una costante è pari alla costante. Può assumere valore negativo.

- La somma degli scarti tra la media e i valori del supporto è pari a 0.

- La somma degli scarti al quadrato è un minimo (gli scarti dati da un qualunque altro valore

restituiscono un risultato finale maggiore).

Trasformata

Una trasformata si ottiene applicando ad ogni valore del supporto una funzione g(x).

Quando si tratta di una funzione lineare, si ottiene una trasformazione lineare e il valore atteso

E(X) subisce la stessa modifica.

I momenti di una v.a. sono dati dai valori attesi di particolari trasformate che corrispondono alle

2

potenze di X. In particola si utilizza E(X ) ottenuto elevando alla seconda i valori di X.

Varianza

La varianza di una v.a. indica quanto i valori della distribuzione si allontanano dalla media.

2 2

() = ( ) − [()]

Per calcolarla si utilizza una formula semplificata

La varianza non è mai negativa e per una costante è sempre uguale a 0.

Lo scarto S(X) equivale alla radice della varianza.

Nelle trasformazioni lineari le costanti moltiplicate vanno elevate al quadrato me