Calcolo elementare delle probabilità

Calcolo delle probabilità

(A ∩ B) ∩ (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) ∩ ∩ ∪ P (A ∩ B ∩ C) ∪ ∪ ∪ P (A ∩ B ∩ C ∩ D) = P (A) + P (B) + P (C) + P (D) ∩ ∩ ∩ ∩ P (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) ∩ (A ∩ D) ∩ ∩ ∩ ∩ P (B ∩ C) ∩ (B ∩ D) ∩ (C ∩ D) ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ D) + P (B ∩ C ∩ D) ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ P (A ∩ C ∩ D) P (A ∩ B ∩ C ∩ D)

Nel caso particolare in cui i risultati possibili di un esperimento statistico sono equiprobabili, P (ω) = 1/n, la probabilità di ogni evento A Ω è pari al rapporto tra il numero |A| degli elementi di A ed n: P (A) = |A|/n

Un concetto cruciale del calcolo delle probabilità è quello di probabilità condizionata. Dati due eventi A e B, con P (B) > 0, si chiama probabilità condizionata di A dato B il rapporto P (A ∩ B)/P (B) = P (A|B)

Due eventi si dicono indipendenti se P (A ∩ B) = P (A)P (B). Se due eventi sono indipendenti, si ha che P (A|B) = P (A) e P (B|A) = P (B)

Supponiamo di aver a che fare con un evento

A e con un insieme di eventi incompatibili ∩ ∅.B , B . . . B , B B =1 2 K h k

Un'applicazione molto importante della definizione della probabilità condizionata è il seguente risultato: la probabilità condizionata di ogni evento B dato A può essere calcolata conoscendo le probabilità condizionate e marginali degli eventi B :

P (A|B )P (B )k k|A) (Teorema di Bayes)P (B =k KP P (A|B )P (B )h hh=12

Esercizi

1. Un'urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4. La pallina numero 4 è rossa mentre le altre sono blu. Si estrae a caso una pallina dall'urna.

Calcolare la probabilità

(a) che sia blu

(b) che sia numerata con 2 o 3

(c) che si verifichino entrambi gli eventi ai punti a e b

(d) che non si verifichi nessuno degli eventi ai punti a e b

(e) che si verifichi solo uno degli eventi ai punti a e b

{1,Soluzione. Ω = 2, 3, 4} contiene 4 risultati equiprobabili. Quindi

(a) P ({1, 2, 3}) = 4/2 = 1/2

(b) P ({2, 3}) = 4/2 = 1/2

(c) P ({1, 2, 3} 3}) = P ({2, 3}) = 1/2

c∩ {2,(d) P ({1, 2, 3} 3} ) = P ({4}) = 4 1c c∩ {2, ∪ ∩ {2, ∪ ∅)(e) P [({1, 2, 3} 3} ) ({1, 2, 3} 3})] = P ({1} = 42.

Giovanni e Maria devono seguire il corso di statistica. Giovanni decide di frequentare il 40% delle lezioni, mentre Maria decide di mancare al 20% delle lezioni. Decidono inoltre di partecipare insieme al 32% delle lezioni. Si trovi la probabilità che, in una lezione,

(a) uno solo dei due sia presente in classe

(b) siano entrambi assenti.

Soluzione. Definendo i due eventi

• {GiovanniG = presente a lezione}

• {MariaM = presente a lezione}

− ∩ si ha che P (G) = 0.4, P (M ) = 1 - 0.2 = 0.8, P (M G) = 0.32 e quindi

c∩ ∪ ∩ − − −(a) P ((G M ) (G M )) = P (G M ) + P (M G) = 0.4 * 0.32 + −0.8 * 0.32 = 0.56

c c c∩ ∪ − ∪ − −(b) P (M G ) = P ((M G) ) = 1 - P (M G) = 1 - (0.4 + 0.8 * 0.32) = 0.123.

Una lista elettorale si presenta in due regioni A e B, per l’elezione del presidente di regione.

A(b) la probabilità che un elettore con almeno 25 anni non voti per A?

Soluzione. 4