Calcolo del volume di un solido di rotazione con gli integrali definiti

L’integrale definito

Calcolo del volume di un solido di rotazione

Solido generato da una rotazione intorno all’asse y

L'integrale definito

Calcolo del volume di un solido di rotazione

Solido generato da una rotazione intorno all’asse y

Calcolo del volume di un solido di rotazione

Consideriamo la regione finita di piano limitata dagli assi cartesiani e dal grafico della funzione y = √4−x. Determiniamo il volume del solido che si ottiene facendo ruotare tale regione in un giro completo intorno all’asse x.

• Il grafico della funzione y = √4−x si traccia facilmente (è un arco di parabola); interseca gli assi cartesiani nei punti A(0, 2), B(4, 0).
• Il solido di cui vogliamo calcolare il volume è quello generato dalla rotazione intorno all’asse x della parte di piano limitata dagli assi cartesiani e dall’arco AB. In base alla [9.9], il volume del solido è:

V = π ∫₀⁴(√4−x)² dx = π ∫₀⁴(4−x) dx = π[4x − x²/2]₀⁴ = 8π

Solido generato da una rotazione intorno all’asse y

Consideriamo la parte di piano limitata dal grafico della funzione y = 2 − √x e dagli assi cartesiani. Qual è il volume del solido generato dalla rotazione completa di tale regione di piano intorno all’asse y?

• La regione di piano limitata dal grafico della funzione e dagli assi cartesiani è quella colorata in figura; si genera perciò il solido rappresentato. Poiché la rotazione avviene rispetto all’asse y, occorrerà integrare rispetto alla variabile y.