Calcolo combinatorio, Teoria dei fenomeni aleatori 1

Richiami di calcolo combinatorio

• Le disposizioni (permutazioni) => D_m^N

Via disposizione di N oggetti presi "a" di "m" damo i gruppi ordinati ottenuti prestendo un m dato ordine

m oggetti se a = N

Esempio 1

Se N = 3 {a, b, e}

• m = 1
• m = 2
• m = 3

potrai pesondere = a, b, e e => D_m^N = 3

= ab, ba, ea, eb, eb => D_m^N = 6

= abe, ea, aeb

eee => D_m^m = 6

Espressione general

D_m^N = N!

Buellar N

D_m^N = N (N - 1) ··· (N - m + 1)

Combinazioni => C_m^N

Sono gruppi non assicurati di m oggetti presi die un musione du N oggett

Riferences rel ecombo 1

Se m = 1

m = 2

m = 3

a, b, c

ab, ac, be

abe

e^N_m = 3

e^N_m = 3

e^N_m = 1

• per m = 2 normale m = 3 => ab = ba
• e eos via.

Deleraziore =>

R_m^N = m! e^N_m

e

C_m^N 2^N - (N)

m (N-m)

2 gruppi di 10

Le combinazioni delle 26 lettere dell'alfabeto sono:

₂₆C₂₆ = 261 ... 5 311 735

cioè! (26-10)!

Le permutazioni invece:

N = 10!

D_m = 10^{5 311 735 * 4 1026}

Questa differenza nel risultato è chiamata "Esplosione Combinatoria"

Esperimenti ed Eventi

Def. Esperimento Casuale - Fenomeno di osservazione dello stato attuale del sistema sotto esame

Se è un processo ripetuto più volte lo stato iniziale del sistema viene chiamato Risultato dell'esperimento.

L'insieme di tutti i risultati costituisce S¹

Ogni esecuzione dell'esperimento viene detta Prova

Un Evento è un insieme di risultati, quindi è un sottoinsieme di S¹

_ir Evento

(A∩B = ∅)

Numero di eventi definibili

Def. Evento Definibile - Sottoinsieme di S¹ realistico

Probabilità Condizionata

→ data un'evento A, la probabilità condizionata di A è data la seguente

P(A|B)=...P(B|A)=...

Eventi Disgiunti

A e B ed un terzo evento Y:A ∩ B = Φ → P(A+B|X) = P(A|X) + P(B|X)

Fattorizzazione delle Probabilità Condizionate

P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)

e con 3 eventi:P(A∩B|C) = P(B|C)·P(A|BC) = P(C|A∩B)·P(B|A)·P(A)

Eventi Indipendenti

→ A e B lo sono → la P(A∩B) si fattorizza nel prodotto delle loro probabilità:P(A∩B) = P(A) P(B)

Indipendenza di Eventi e Prole Complementari

Se A e B sono indipendenti → P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)

Quindi il condensamento diB su A è inverso ma la dimostrazione

Proprietà Relative Sui Eventi Indipendenti

• P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B)
• Sia A e B lo sono, in quanto A =(1 - A)
• P(A - B) = P(CS - A, B) - (not in due righi)
• P(A - B) = P(B) - P(A∩B), P(CS) =→ (1 - P(A))P(B) - P(A)P(B) == P(C)P(3)
• A, B e indipendenti
• = ancora A e BE lo sonoP(A −(B e)) = P(A − B e) − P(A) When P(3) P(3)
• = P(A)P(B) e)

P = Σ

_{i = 1}ⁿ

Pi = 1 ==> A e B disgiunti ok!

• Calcolo unico: Noi vogliamo calcolare A∪B e sono due eventi disgiunti (A∩B = ϕ)
• P(A∪B) = P(A) + P(B)
• = 11,9% + 13,1% = 25%

Se due eventi sono:

• Indipendenti => P(A∩B) = A∪B -> P(A) + P(B)
• Intersezione -> P(A∩B) = ϕ -> A∩B = ϕ

Se due eventi sono:

• Statisticamente indipendenti => P(A∩B) = P(A) * P(B)

Indipendenza di A e B

• completa P(A|B) - P(A)
• P(B|A) - P(B)
• P(A∩B) = P(A) * P(B)

Esercizio:

Ho una cottura m, palline b e m₂ u R₂

• m₁ + m₂ = M
• Quando estraggo la prima: Se è R₁, la reintroduco; Se è B₁, immetto k R₂

P₁ Se 1° B devo immettere k R ->

• _kt
• ^{= m₂ + k}

totale

P₁ = P(E|A) = ^{(m₁ _1)}_{(m-2 + k)}

• Ω₃* ^{= m₂ + k}_{(m-1 + k)}

A) 10 palline verdi

B) 20 palline azzurre

C) 30 palline viola

M = 10 + 20 + 30 = 60 palline totali

NO! Quanti modi ho di scegliere 2 palline su 60

(60 sopra 2)

Se le pesco dello stesso colore:

p = ¹⁰/₆₀ * ⁹/₅₉ + ²⁰/₆₀ * ¹⁹/₅₉ + ³⁰/₆₀ * ²⁹/₅₉ = ¹³⁴⁰/_60.59

= ⁶⁷/₁₇₇

Ora, la p che le due palline siano di colori diversi è

p (complementare) di quelle appena calcolate:

p(complementare) = 1 - p = 1 - ⁶⁷/₁₇₇ = ¹¹⁰/₁₇₇

oppure

ES: Che l'evento sia dato, estrarre 7 può es-

re multiplo di 3?

sono compatibili

Se lesto 6 sono tutti 3

A: 2 1 5 3 6

B: Tutti ? 3

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

oppure casi favorevoli (2, 3, 4, 6) =

Es.: (1, 2, 3, 4, 5, 6) =

Es: che rel'unito 2? es-se sempre un 6?

P che esage 6 in un tutto

1 2 dati → 1 1

A: con 1 lesto

B: con 1 tuto

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) =

≡≡≡≡≡≡

dipendenti

indipendenti

che l'efficaci (male) del primo alteza la p del

verticati del secondo.

se vere l'ificali (o meta) del primo non

alterato la probabilita che si verticali

seme.

→ Livio lesto Latte e marruce

p

1 o l

2 T

3 T

4 4 T

P = Autotle 1 P (Testa = 1

50

1 su 6 face

eventi indipendenti

P (A ∩ B) = P(A) P(B)

P(A|B) = P(A) P(B|A) - 0,2 0,4

P(B|A)P(A) + P(A’)(0,1+0,9) = 0,9 (0,96)

P(B|A)

1. Siano A e B due eventi dello stesso esperimento casuale:
• P(A) = 0,7
• P(A’) = 0,9

P(B) = ₀

2. A e B sono incompatibili
3. A e B indipendenti
4. P(A | B) = 0,6

2) Se • A e B sono incompatibili P(A∩B) = 0 =>

P(A∪B) = P(A) + P(B) - ϕ =>

P(6) = 0,9 + 0,1 = ok 1

b) Sono indipendenti => P(A∩B) = P(A)∙P(B)

P(B) = P(A∪B) / P(A) = 9% / % - ok 1,1 NO!

P(A∩B) = P(A)∙P(B)

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(A∪B) - P(A) + (B) - P(A∩B) =

3) 4 cifre ➔ 2, 3, 4

Det. quanti # di 2 cifre si possono det. a partire da esse.

SE NON INTERESSA L'ORDINE ➔ C_n^m

Disposizione con ripetizione ⁴⁄₂=16

4) 4 alberi devono essere posti in ordine in unico scaffale con 4

posti solo per 3 sezioni senza ripetizione dei coloro in cui vengono posti.

Det. in quanti modi liberi possono essere messi in ordine.

(⁴⁄₃) = ⁴⁄_3! = ²⁴⁄₆ = 4

5) 4 oggetti ➔ 2A uguali

➔ 2B uguali

Det. il # di permutazioni distinti di 4 oggetti

^4!⁄_2!2! = 6