Calcolo Combinatorio

Calcolo Combinatorio

Considerazioni: Il calcolo combinatorio riguarda lo studio o la ricerca di quello che può succedere quando si hanno a disposizione un certo numero di oggetti, che chiameremo elementi e il loro numero m.

In generale chiamerò

1. Gli oggetti -> Elementi
2. Il loro numero -> m
3. Il loro gruppo -> Classe k

Esempio:

Supponiamo di avere 10 libri e li prendiamo a quattro a quattro.

Domanda: Quanti gruppi di quattro si possono formare? Cioè quanti gruppi presi a quattro a quattro si possono formare?

In conclusione per dare risposta a quello che può' accadere con m elementi bisogna studiare:

1. Le disposizioni semplici
2. Le disposizioni con ripetizione
3. Le permutazioni semplici
4. Le permutazioni con ripetizione
5. Le combinazioni semplici
6. Le combinazioni con ripetizione

Calcolo Combinatorio

Considerazioni: Il calcolo combinatorio riguarda lo studio o laricerca di quello che può succedere quando si hanno a disposizione desi_un certo numero dioggetti che chiameremo elementi e il loro numero m.

In generale chiameremo:

1. Gli oggetti -------> elementi
2. Il loro numero ---> n
3. Il loro gruppo ---> classe k

Esempio:

Es Supponiamo di avere 20 libri e li prendiamo a quattro a quattro.

Domanda:

Quanti gruppi di quattro si possono formare?, cioè quanti gruppi presi a quattro a quattro si possono formare?

In conclusione per dare risposta a quello che può accadere con m elementi bisogna studiare:

1. Le disposizioni semplici
2. Le disposizioni con ripetizione
3. Le permutazioni semplici
4. Le permutazioni con ripetizione
5. Le combinazioni semplici
6. Le combinazioni con ripetizione

DISPOSIZIONI SEMPLICI

DEF:

SUPPONIAMO DI AVERE n OGGETTI DISTINTI E SUPPONIAMO DI PRENDERLI A GRUPPI CHE CHIAMEREMO DI CLASSE K

CON K ≤ n

ALLORA

CHIAMEREMO DISPOSIZIONE SEMPLICE DI CLASSE K TUTTI I POSSIBILI GRUPPI CHE SI POSSONO FORMARE CON K DEGLI n OGGETTI,

CONSIDERANDO DISTINTI I DUE GRUPPI CHE DIFFERISCONO FRA LORO:

1. O PER L'ORDINE ABC OPP. BCA
2. O PER QUALCHE ELEMENTO ABD

RISPOSTA

PER CALCOLARE LE DISPOSIZIONI SEMPLICI BASTA APPLICARE LA FORMULA CHE PROVIENE DAL SEGUENTE TEOREMA

TEOREMA: IL NUMERO DELLE DISPOSIZIONI SEMPLICI DI n OGGETTI DI CLASSE K È DATA DALLA SEGUENTE FORMULA

D_n,k = n(n - 1)(n - 2) ... (n - K + 1)

Esempio

Supponiamo di avere 7 colori diversi. Fra di loro ci vogliamo fare bandiere di 4 colori.

Quante bandiere si possono fare?

• n = 7
• k = 4

D_{n, k} = D_{7, 4} = 7⁶ · 5 · 4 = 840 p!

Permutazioni Semplici

Def. Le permutazioni semplici posssono dire che sono le stesse disposizioni semplici nel senso che avendo n oggetti la classe dei gruppi coincide con m cioè k = m

Formula

In questo caso avremo

^D_n,m = ^P_m = n_f

NB. n_f è il simbolo fattoriale di un numero n

n_f = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) ... 3 . 2 . 1

=

Es. 7_f = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

=

Si tratta l'esempio di quante bandiere si possono fare disponendo i 7 colori ed usarli tutti e 7, cioè ad esempio

Con i colori dell'arcobaleno quante bandiere si possono fare utilizzando tutti i suoi colori?

Risposta

Poiché l'arcobaleno ha 7 colori si possono fare

^P₇ = 7_f = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 Permutazioni

NB. Nelle permutazioni cambia soltanto il posto ma non gli elementi

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Kⁿ

CONSIDERAZIONI:

1. SUPPONIAMO DI AVERE m ELEMENTI DISTINTI
2. SUPPONIAMO DI VOLER FORMARE CON ESSA UN GRUPPO DI K ELEMENTI, PERÒ CONK > m

ALLORA È OVVIO CHE QUALCHE ELEMENTO DOVRÀ ESSERE RIPETUTO

ES. È IL CASO DEL GIOCO DEL TOTOCALCIO IN CUI:

1. GLI UNO DEGLI ELEMENTI È n = 3 (1, X, 2)
2. IL n° DEI GRUPPI È K = 13

K > n

13 > 3

VOL DIRE CHE ALCUNI ELEMENTI SI POSSONO RIPETERE

PERTANTO

DEFINIZIONE:

• SI DICONO DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE DI m ELEMENTI PRESTI AK A K (O DI CLASSE K CON K > m), TUTTI I POSSIBILI GRUPPI CHE L SI POSSONOFORMARE PRENDENDO K ELEMENTI, CON LA RIPETIZIONE DI QUALC