Calcolo combinatorio - Esercizi

DISPOSIZIONI

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.401 n.10

A una gara partecipano 20 concorrenti. Quante terne di primi tre classificati si possono formare

(nell'ipoptesi che non vi siano degli ex aequo)?

Soluzione: Richiedere le terne dei primi tre classificati a una gara significa dare importanza

all'ordine in cui questi sono giunti al traguardo; e ovviamente quando si parla di ordine si implica

sempre la disposizione. La precisazione "senza ex aequo", vale a dire senza piazzamenti uguali per

nessuno, suggerisce la non ripetitività. Quindi si tratta di disposizioni semplici. D20,3=6840.

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.401 n.12

In quanti modi diversi 4 persone possono occupare 4 posti fra 7 a disposizione? E se le persone

fossero 7?

Soluzione: Si tratta di banali disposizioni semplici. Nel primo caso sarà D7,4=840. Nel secondo

D7,7=5040.

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.401 n.14

a) Quante parole di 4 lettere tutte diverse (anche senza significato) si possono formare con le 21

lettere dell'alfabeto italiano? b) Quante di queste parole iniziano con una consonante? c) Quante

iniziano con la sillaba TO? d) Quante terminano con una vocale?

Soluzione: Beh, l'unica cosa che uno studente capisce subito su questo esercizio è il valore di n: 21.

Per il resto, bisogna un po' ragionare (ma mica tanto...).

Risposta (a), la più immediata: D21,4=143.640.

Risposta (b): (D21,4-D20,4)*4 = 109.440.

Risposta (c): Considerare una parola di 4 lettere che inizi sempre con TO equivale a ragionare sulle

disposizioni delle parole che hanno solo 2 lettere. Per cui, n diventa 19 (delle 21 totali ci mancano la

T e la O) e k diventa 2 (parole di due lettere perché le altre due sono fisse). Dunque sarà

D19,2=342.

Risposta (d): Semplice, se si adotta una piccola furberia. Tutte le parole di 4 lettere sono D21,4.

Quelle che iniziano con una consonante le abbiamo già calcolate e sono 109.440. Dunque la

differenza fra questi due valori ci darà le parole che iniziano con una vocale. 143.640-

109.440=34.200.

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.401 n.17

Un'urna contiene 25 palline numerate da 1 a 25. Si estraggono successivamente 3 palline (senza

rimettere le palline estratte nell'urna).

a) Quante sono le possibili terne ordinate di numeri che si ottengono?

b) Di queste, quante sono formate da numeri pari?

c) Quante terne sono formate dalle prime due palline con numeri pari e dalla terza con un numero

dispari?

Soluzione: Se teniamo presente che delle 25 palline totali, 12 sono pari e 13 sono dispari, le tre

soluzioni sono praticamente consecutive.

Risposta (a): D25,3=13.800

Risposta (b): D12,3=1320

Risposta (c): D12,2*D13,1=1716.

C'era bisogno di spiegazioni? Nooo!

Nota: se l'esercizio ponesse la reintroduzione delle palline nell'urna, si dovrebbero utilizzare le

disposizioni con ripetizioni.

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.405 n.61

Un insegnante di italiano propone agli allievi 4 temi. In quanti modi diversi i 26 allievi possono

scegliere un tema da svolgere fra i 4 proposti?

Soluzione: La maggiore difficoltà è stabilire n e k. Contrariamente a quel che appare, n=4 a k=26.

Si tratta di disposizioni con ripetizioni, giacché, ovviamente, più allievi potranno scegliere lo stesso

tema. Per cui la risposta alla domanda è 4^26.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 382 n. 8.34

Quanti numeri pari di 4 cifre si possono formare con le cifre da 1 a 9 se le cifre non possono

essere ripetute?

Soluzione: Viene suggerito un k (che è 4) diverso da n (che è 9) quindi non possono essere

permutazioni (che hanno sempre k=n). Sono disposizioni perché ha senso che le cifre occupino un

posto invece che un altro (23 è diverso da 32, o no?). E sono senza ripetizione perché è chiarito nel

testo.

Quindi, ricapitolando: k=4 (i numeri devono esser formati da 4 cifre), n=9 (da 1 a 9 sono nove

cifre), dunque D9,4=3024.

Però, attenzione!, l'esercizio parla di numeri pari; quindi dobbiamo concludere facendo

3024/2=1512.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 382 n. 8.36

Quanti numeri di 6 cifre si possono formare se le cifre possono essere ripetute e i numeri non

devono iniziare con lo zero?

Soluzione: Si tratta di disposizioni con ripetizioni (l'esercizio ci informa infatti che le cifre possono

essere ripetute). I numeri di 6 cifre che si possono formare globalmente (anche quei numeri che

iniziano con uno 0) sono perciò D'10,6=10^6=1.000.000.

Da questo milione di numeri, però, bisogna togliere quei numeri che iniziano con 0 e che là sono

compresi (tipo 015467, 099452 eccetera).

Quanti sono questi numeri? Semplice: equivalgono a quei numeri disposti (sempre ammettendo

ripetizioni e sempre su n=10 cifre) ma in gruppi da k=5 cifre perché stavolta non consideriamo la

prima cifre che è 0. Quindi, la soluzione dell'esercizio sarà: D'10,6-D'10,5 = 10^6-10^5 = 1.000.000

- 100.000 = 900.000.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 382 n. 8.38

Una cassaforte può essere aperta se viene formato un determinato numero di 5 cifre (può iniziare

con lo zero). Quanti tentativi sono necessari per essere certi di riuscire ad aprire la cassaforte?

Soluzione: E' molto semplice. Le cifre possibili sono 10 (da 0 a 9), il numero dev'essere composto

da 5 cifre, quindi giacché n=10 e k=5, avremo la soluzione D'10,5 = 10^5 = 1.000.000.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 383 n. 8.40

Quanti sono i numeri di 5 cifre tutte distinte che non contengono né lo zero, né il 2 né il 4?

Soluzione: La miscroscopica difficoltà sta nel calcolare il valore di n. Se un n completo vale 10

(cifre da 0 a 9), togliendo dal conteggio 0, 2 e 4, n diventerà 7. Semplice! Inoltre, la disposizione è

semplice; infatti l'esercizio vuole "le cifre tutte distinte" e questo significa non poter ripetere le cifre

nella composizione del numero. Per cui la soluzione sarà D7,5 = 7*6*5*4*3 = 2.520.

Nota: l'esercizio non lo dice, ma in mancanza di informazioni ho supposto - come ci insegna

Guglielmo d'Occam - la variabile più semplice, vale a dire che siano ammessi i numeri che iniziano

con la cifra 0.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 383 n. 8.44

Quante cifre sono necessarie per formare 12 numeri diversi ciascuno di 2 cifre distinte?

Soluzione: Questo è un problema che richiede, diciamo così, una formula "inversa", di quelle che

tanto odiano gli studenti.

Il testo ci informa che già abbiamo la soluzione della disposizione: 12 (i dodici numeri); e abbiamo

anche il valore k, che è 2 (due cifre distinte, dice il testo).

Quindi siamo di fronte a una formula di questo tipo: Dn,2=12.

Infatti, il testo ci chiede quante cifre (il valore n) sono necessarie...

Ragioniamo. La formula delle disposizioni semplici ci dice che Dn,2=n(n-k+1)=12 (nel nostro caso

che sappiamo già che k=2 e il risultato è 12). Proviamo prima a semplificare l'equazione n(n-

k+1)=12

n(n-2+1)=12

n(n-1)=12

poi a svilupparla

n^2-n-12=0

Siamo arrivati a un'equazione di 2° grado nell'incognita n. Svolgendola, ci troviamo con due radici:

4 e -3. Ovviamente, la radice negativa non ci interessa. Per cui n=4. Questa è la soluzione

dell'esercizio.

Per controprova, possiamo fare D4,2=4*3=12, come volevasi dimostrare.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 383 n. 8.45

Quante cifre sono necessarie per formare 16 numeri diversi ciascuno di 2 cifre se le cifre possono

essere ripetute?

Soluzione: Ancora una formula inversa. In questo caso la richiesta trasformata in formula è

D'n,2=16.

Dobbiamo, cioè, cercare il valore n. Se conosciamo la formula delle disposizioni con ripetizioni,

sappiamo che ciò equivale a n^2=16.

Da cui estraiamo n mettendo sotto radice quadrata tutti e due i membri: radq(n^2)=radq(16) e

otteniamo n = 4, che è la soluzione del problema.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 383 n. 8.47

Quante sono le possibili coppie di numeri che possono uscire in 2 lanci della roulette?

Soluzione: Le possibili uscite alla roulette sono 37 perché c'è anche lo 0. Le ripetizioni sono

ovviamente ammesse, quindi D'37,2 = 37^2 = 1369.

PERMUTAZIONI

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.401 n.11

A una gara partecipano 20 concorrenti. In quanti modi potrebbe essere formata la classifica finale

dei 20 concorrenti?

Soluzione: Si tratta di permutare i 20 concorrenti, anche perché non è richiesto k. Per cui sarà

P20=20! (Lasciamo il fattoriale perché sarebbe lungo - 18 cifre - scrivere il risultato numerico).

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.401 n.22

Calcolare quanti anagrammi (anche senza significato) si possono formare con le parole VITI,

CASSA, ITALIA, NINNOLO.

Soluzione: Di tutti gli esercizi simili in cui si deve calcolare la permutazione per formare

anagrammi, ho scelto questo perché è leggermente meno scemo. Infatti, qui si tratta di applicare le

permutazioni con elementi non tutti distinti.

Viti: P(2)4=24/2=12. Cassa: P(2,2)5=120/4=30. Italia: P(2,2)6=720/4=180. Ninnolo:

P(3,1)7=5040/12=420.

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.405 n.63

Un rappresentante di commercio deve visitare ogni settimana 10 clienti. In quanti modi può

organizzare la sua visita settimanale?

Soluzione: Si tratta di una banale permutazione, giacché n=k, quindi la risposta è P10=10! =

3.628.800

Testo: Gambotto/ Manzone/ Susara/ Longo vol.1 ed. Tramontana 1993

p.405 n.64

In quanti modi diversi si possono sistemare in una fila di sedie 5 ragazzi e 6 ragazze, con la

condizione che i ragazzi stiano tutti vicini tra loro così come anche le ragazze?

Soluzione: Si tratta di un prodotto fra due permutazioni semplici, una riferita ai 5 ragazzi e l'altra

alle 6 ragazze; per cui abbiamo P5*P6 = 5!*6! = 120*720 = 86.400.

Testo: Boggio/Borello vol.1 ed. Petrini 1996

p. 383 n. 8.50

In quanti modi 5 persone possono sedersi attorno a un tavolo rotondo? Si assuma una persona

come punto di riferimento.

Soluzione: Questo è uno dei problemi di combinatoria che gli studenti capiscono meno

velocemente. Il fatto che il tavolo sia rotondo fuorvia. Ma in realtà l'aiuto viene proprio dal testo "si

assuma una persona come punto di riferimento". Ciò significa che si deve considerare ferma una di

quelle cinque persone (una a caso, non importa quale) e far ruotare a