Applicazioni dei principi della Dinamica moto del proiettile - Problema svolto

Fisica

Applicazioni dei principi della Dinamica

Moto del proiettile

Problema svolto Novembre 2021

Problema 1

Un cannone può sparare proiettili con angolo di alzo e velocità regolabile a scelta. Un bersaglio viene

= 60°

posizionato a distanza L=100m dal cannone ed altezza h=20m dal suolo. Calcolare:

• il valore di tale che il proiettile colpisa il besaglio;

0

• la massima quota (H) raggiunta durante il moto;

• il moduolo della velocità del proiettile al momento dell’impatto col bersaglio;

( )

1

• l’angolo che il vettore velocità forma con l’asse orizzonatle al momento dell’impatto

Richiami teorici sul moto parabolico del proiettile

Un grave lanciato obliquamente rispetto al piano orizzontale compie una traiettoria parabolica sotto l’azione

della sola forza di gravità. Tale moto è bidimensionale ed è chiamato moto parabolico, o moto di un

L’esperienza dimostra che il grave, mentre si muove orizzontalmente con

proiettile. velocità costante

uguale alla componente orizzontale della velocità di lancio, accelera verticalmente verso il basso con

indipendentemente l’uno dall’altro.

accelerazione uguale a quella di gravità. I due moti si svolgono

con l’asse l’alto,

Per lo studio del moto si sceglie un sistema cartesiano Oxy, y diretto verticalmente verso

l’asse diretto orizzontalmente e l’origine

x O nel punto di lancio:

l’asse

Lungo x, il moto è rettilineo uniforme, la componente della velocità si mantiene costantemente

=

uguale al valore iniziale: .

0

Il moto verticale è un moto uniformemente accelerato che si svolge con le stesse modalità di quello di un

verso l’alto con velocità di lancio

grave gettato verticalmente , componente y della velocità iniziale.

0

In ogni istante t le componenti cartesiane della velocità sono quindi:

()

=

0

{ ()

= −

Per la posizione del corpo valgono le seguenti leggi orarie:

() = + ⋅ (0) = ⋅ =0

0 0 0 0

→{ {

(*){ con

1 1

2 2 = 0

() = + ⋅ − (0) = ⋅ − 0

0

2 2

Le relazioni (*) rappresentano le equazioni parametriche della traiettoria. Combinandole in modo da

l’equazione

eliminare il tempo t, da esse otteniamo cartesiana della traiettoria stessa, cioè la relazione fra le

coordinate x e y. all’istante iniziale

Ricaviamo dunque t dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione, nella

seconda.

= ⋅ → =

0

0 2

1

= ⋅ − ( )

2

0 0

Otteniamo l’equazione che descrive la traiettoria parabolica: 2

1

= − 2

2

0 0

Esplicitando le componenti in funzione dell’angolo di lancio :

=

0 0

=

0 0

possiamo riscrivere l’equazione anche tan :

in funzione della

sin

0 2

= −

2

cos 2 cos

2

0 0

in virtù delle relazioni: sin 1

2

(tan

tan = + 1) = 2

cos cos

abbiamo: 2

(tan + 1) 2

(1) = tan −

2 2

0

Se poniamo: 2

(tan + 1)

{ = − < 0 2

→ = +

2 2

0

=

è proprio l’equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso come quella in figura.

Le altre grandezze rilevanti del moto sono:

• gittata (G)

• massima altezza (H)

• ( )

tempo di volo grave. Dall’equazione

La gittata è distanza fra il punto di lancio (da terra) e il punto di caduta a terra del

tenendo conto che l’ordinata del grave è zero sia nell’istante di

cartesiana (1) della traiettoria, y lancio sia in

quello di caduta a terra, troviamo che la gittata è: 2

0 0

=

che può essere riscritta anche come segue, utilizzando alcune formule goniometriche

02

2 ⋅ sin(2)

0 0

= =

con: 2 ⋅ = (2)

Per ricavare la massima altezza H si pone la condizione di annullamento della componente y della velocità:

ottenendo: 2

= 2

Inizia poi la fase discendente e la componente verticale della velocità

riprende ad aumentare perché g adesso (pur mantenendo il segno negativo)

ha lo stesso verso del vettore velocità (negativo perché discorde con il verso

positivo dell’asse y). Si tratta di un moto uniformemente accelerato.

Il tempo di volo è:

= 2

tempo necessario per compiere le due fasi salita e discesa.