Applicazioni dei principi della Dinamica moto del proiettile - Problema svolto

Fisica applicazioni dei principi della dinamica

Moto del proiettile

Problema svolto novembre 2021

Problema 1

Un cannone può sparare proiettili con angolo di alzo e velocità regolabile a scelta. Un bersaglio viene posizionato a distanza L = 100 m dal cannone ed altezza h = 20 m dal suolo. Calcolare:

• Il valore di θ tale che il proiettile colpisca il bersaglio.
• La massima quota (H) raggiunta durante il moto.
• Il modulo della velocità del proiettile al momento dell'impatto col bersaglio.
• L'angolo che il vettore velocità forma con l'asse orizzontale al momento dell'impatto.

Richiami teorici sul moto parabolico del proiettile

Un grave lanciato obliquamente rispetto al piano orizzontale compie una traiettoria parabolica sotto l'azione della sola forza di gravità. Tale moto è bidimensionale ed è chiamato moto parabolico, o moto di un proiettile. L'esperienza dimostra che il grave, mentre si muove orizzontalmente con velocità costante uguale alla componente orizzontale della velocità di lancio, accelera verticalmente verso il basso con accelerazione uguale a quella di gravità. I due moti si svolgono indipendentemente l'uno dall'altro.

Per lo studio del moto si sceglie un sistema cartesiano Oxy, y diretto verticalmente verso l'alto, l'asse x diretto orizzontalmente e l'origine O nel punto di lancio:

• Lungo x, il moto è rettilineo uniforme, la componente della velocità si mantiene costantemente uguale al valore iniziale: v_x0.
• Il moto verticale è un moto uniformemente accelerato che si svolge con le stesse modalità di quello di un grave gettato verticalmente verso l'alto con velocità di lancio v_y0, componente y della velocità iniziale.

In ogni istante t le componenti cartesiane della velocità sono quindi:

• v_x(t) = v_x0
• v_y(t) = v_y0 - g · t

Per la posizione del corpo valgono le seguenti leggi orarie:

• x(t) = x₀ + v_x0 ⋅ t (x₀ = 0)
• y(t) = y₀ + v_y0 ⋅ t - ½ ⋅ g ⋅ t² (y₀ = 0)

Le relazioni (*) rappresentano le equazioni parametriche della traiettoria. Combinandole in modo da eliminare il tempo t, da esse otteniamo l'equazione cartesiana della traiettoria stessa, cioè la relazione fra le coordinate.