Appello di Probabilità del 20 giugno 2016 con soluzioni

20/06/16B

1) Effettuando delle estrazioni con reinserimento dall’urna contenente palline Bianche e Nere in proporzione di p ed (1 - p) rispettivamente, si calcoli:

• a) dominio e funzione di probabilità per ciascuna delle v.a. marginali X₂ ed X₉, contatori rispettivamente del numero di estrazioni effettuate per la comparsa della seconda e della nona Bianca;
• b) dominio e funzione di probabilità della generica v.a. condizionata (X₂|X₉ = x₉);
• c) dominio e funzione di probabilità della generica condizionata (X₉|X₂ = x₂);
• d) dominio e funzione di probabilità congiunti del vettore aleatorio (X₂, X₉).

2) Effettuando 1024 estrazioni con reinserimento dall’urna contenente palline Bianche e Nere in proporzione di 1/226 e 225/226 rispettivamente, si calcoli la probabilità che il numero totale di Bianche ottenute sia compreso tra 6 e 10.

3) Effettuando 15 estrazioni senza reinserimento dall’urna contenente 18 palline Bianche e 12 Nere, si calcoli quanto segue:

• a) la probabilità di ottenere Bianca alla dodicesima estrazione;
• b) la probabilità di ottenere Bianca alla ottava ed alla decima e Nera alla terza e quattordicesima estrazione;
• c) si dimostri dettagliatamente il risultato del punto b);
• d) sapendo che si sono presentate 8 Bianche nelle 15 estrazioni, calcolare la probabilità che si sia presentata Bianca alla ottava ed alla decima e Nera alla terza e quattordicesima estrazione;
• e) calcolare la probabilità di ottenere 3 Bianche nelle prime 5 estrazioni, 5 Bianche dalla sesta alla dodicesima estrazione e 2 Bianche nelle ultime 3 estrazioni.

4) Si estraggano 7 palline senza reinserimento dall’urna 1 contenente 8 Bianche e 3 Nere e quindi, dall’urna 2 contenente 5 Bianche e 10 Nere, si effettui uno delle estrazioni con reinserimento in quantità pari al numero di Bianche estratte dall’urna 1. Si calcoli:

• a) dominio e funzione di probabilità della v.a. contatore del numero totale di Bianche estratte dall’urna 2;
• b) sapendo che dall’urna 2 sono state estratte 5 Bianche, calcolare la probabilità che siano state effettuate almeno 6 estrazioni dall’urna 2.

5) Assegnato il vettore aleatorio (X, Y) caratterizzato dalla densità congiunta f_XY(x, y) = 1/3 sul triangolo di vertici (4, 1), (5, 1), (5, 0) ed f_XY(x, y) = 4xy sul trapezio di vertici (1, 0), (1, 1), (2, 2), (2, 0) e nulla altrove, si calcoli:

• a) dominio e densità per la marginale Y;
• b) dominio e densità per la generica condizionata X|Y = y dove y è un generico punto fissato dell’intervallo (0, 1);
• c) la ripartizione della condizionata X|Y = y del punto b);
• d) dominio e ripartizione della v.a. Z = X + Y.

3)

18/30

12/30

8/30

2)

18/30

z)

1/12

2-3-2-2-2-11

16

1)

18-17-12-11

1-26

26-25-...

18-17-12-11

a)

15

141

6,5

1

2) P

19

57

P(Y=y_j) = ∑_k=yj P(X=x, Y=y_j)

P(X ≥ 8 | Y=y_j) = 0

P(X+4 ≤ 7 | Y=y_j)

∑_{n ≥ yj} P(X=n, Y=y_j)

∑_n=1 P(X=n, Y=y_j)

5) Problema nel continuo

f_X,Y(x,y) = { 4/3 [B] 4/9 x y [B][A]

P_y = [0,2]

I) Per 0 ≤ y ≤ 1 f_Y(y) = ∫₁² (4/9 x) dx + ∫_5-y⁵ (1/3) dx = 4/9 [x]²₁ +

+ 1/3 [x]⁵_5-y = 4/9 [4/2] + 1/3 [5-5+y] = 2/3 + 1/3 = 1

II) Per 1 < y ≤ 2 f_Y(y) = ∫_y³ (4/9 x) dx = 4/9 [x²/2]²_y = 4/9 [4/2 - y²/2]