Appello di Probabilità 8 settembre 2016 con soluzioni

08/09/16

1) Effettuando 9 estrazioni senza reinserimento dall'urna contenente 10 palline Bianche e 7 Nere, si calcoli quanto segue:

1. a) dominio e funzione di probabilità della v.a. X contatore del numero totale di Bianche ottenute nelle 9 estrazioni;
2. b) dominio e funzione di probabilità della v.a. Y contatore del numero totale di Bianche ottenute nelle prime 5 estrazioni;
3. c) dominio e funzione di probabilità della v.a. V = Y + Z dove Y è la v.a. del punto b) e Z è la v.a. contatore del numero totale di Bianche ottenute nelle estrazioni che vanno dalla sesta alla nona.

2) Effettuando 9 estrazioni dall'urna contenente inizialmente 10 Bianche e 7 Nere, si calcoli quanto segue:

1. a) la probabilità di ottenere 7 Bianche nel totale delle 9 estrazioni e 2 Bianche complessivamente alla seconda, quarta e settima estrazione, nel caso di estrazioni con reinserimento;
2. b) la probabilità di ottenere 7 Bianche nel totale delle 9 estrazioni e Bianca alla sesta e Nera alla settima, nel caso di estrazioni senza reinserimento.

3) Effettuando 9 estrazioni senza reinserimento dall'urna contenente inizialmente 10 Bianche e 7 Nere, si calcoli quanto segue:

1. a) dominio e funzione di probabilità marginale per ciascuna delle v.a. X₃ ed X₈ contatori rispettivamente del numero di Bianche ottenute alla terza ed alla ottava estrazione;
2. b) dominio e funzione di probabilità congiunti del vettore aleatorio (X₃, X₈).

4) Assegnata la v.a. X avente densità f_X(x) = -x sull'intervallo (-1,0), f_X(x) = ¹⁄₈ sull'intervallo (1,3), f_X(x) = ^32x⁄₃₆₄ sull'intervallo (5,6) e nulla altrove, se ne calcoli la funzione di ripartizione.

5) Assegnato il vettore aleatorio (X,Y) caratterizzato dalla densità congiunta f_XY(x, y) = x sul triangolo di vertici (0,0), (0,2), (1,0), f_XY(x, y) = ¹⁄₄ sul trapezio di vertici (2,1), (4,1), (4,0), (3,0) e nulla altrove, si calcoli quanto segue:

1. a) dominio e densità per ciascuna delle marginali X ed Y;
2. b) dominio e densità per la generica v.a. condizionata X | Y = y dove y è un valore fissato nell'intervallo [0,1];
3. c) la probabilità che il vettore aleatorio (X,Y) assuma valori nel trapezio A di vertici (0,0), (0,1), (¹⁄₂,1), (1,0);
4. d) dominio e ripartizione per la v.a. Z = X + Y.

08/03/16

n ∈ ℕ

x ∈ [0,1] ∪ [2,4]

2x

n x ∈ ℝ1

1⁴/3 ∈ ℝAP

D_x = [0,1] ∪ [2,4]

f_x(u) = ‖n x u - ⌊n x u⌋/n^2-2x‖ = 2x - 2x² per 0 ≤ x ≤ 1

f_x(x) = ∫₀¹ 2x dx = 4/3

∫_1(x) = 4/3(1-3t²) = 4/3

f_x(x) = ∫₀¹ 4/3 dx = 4/3

per 0 ≤ x ≤ 1

n x ∈ ℝ1

f_x(u) = ∫₀¹ (1-x²) dx = (1-x²)(1+x)

f_x(u) = (4-x²)/2 + (4-x²)/9(1+x)

D_y = [0,2]

(I) per 0 ≤ x ≤ 1, f_y(u) = (x²)/2 + (1-x)/2

(II) per 2 < x ≤ 2

f_y(u) = n 4dx = (5-x²)/2

4)

f_X(x) =

• - x² x ∈ (-1,0)
• 8 x ∈ (1,3)
• 3x² x ∈ (5,6)

I) Ver = ≤ n ≥ 0 F_X(x) = ∫_-1ⁿ x dt = |_-1ⁿ= x² + 1/2 ∀ n ∈ [0,1]

II)

• Ver ∀ n ∈ [1,3]
• F_X(x) = 1/2 + ∫₁ⁿ 8 dt = 1/2 + 8|₁ⁿ = 1/2 + n/8 - 1/8 = 3/8 + n/8

III) F_X(x) = F_X(3) = 3/8 + 3/8 = 6/8 ∀ n ∈ [3,5]

IV)

• Ver 5 ≤ n ≤ 6
• F_X(x) = 6/8 + 3/364 ∫₅ⁿ x²dt = 6/8 + 3/364 |₅ⁿ = x³/3 15

= 6/8 + 3/364 [n³/3 - 125/3]