Analisi matematica - tracce e soluzioni

K K

10 5 0 5 10

x

Esercizio 2: Calcolare la derivata prima della funzione seguente:

√ √

2 2

2 − x − 4 x − 4

2 +

√ √

g(x) = ln + arctan .

2 2

2 + x − 4 2 − x − 4

Facciamo le seguenti posizioni: √ 2+ v

2

u = x − 4, v = u, s = .

2 − v

Osserviamo allora che la funzione si riscrive nella maniera seguente

1

g(x) = ln + arctan(s) = − ln(s) + arctan(s).

s

Ora 0

1 x 2 − v +2+ v 4v 4x

0 0 0 0 0

√ √ √

√

u = 2x, v = , s = .

· u = v = =

2 2

(2 − v) (2 − v)

2 u 2 2 2 2

x − 4 x − 4(2 − x − 4)

Ne segue µ ¶ µ ¶

2 2 0

1 2 − v (2 − v) 2 − v (2 − v) 4v

1 0 0 0

0 · s + · s = − + · s = − + · =

g (x) = − 2 2 2 2 2

s 1 + s 2 + v (2 − v) + (2 + v) 2 + v 2(4 + v ) (2 − v)

µ ¶ 2 2 2

1 1 −8 − 2v + 4 − v −4 − 3u 1 2x

8 − 3x

0 0 0

√ √

= − + · 4v = · 4v = · ·

· u = ,

2 2 4 2 2 2

4 − v 2(4 + v ) 2(16 − v ) 16 − u x (8 − x )

u 2

x − 4

e quindi la derivata 2

2(3x − 8)

0 √ .

g (x) = 2 2

x x − 4(x − 8)

Esercizio 3: Calcolare il seguente integrale indefinito:

Z 3

x ln 2x dx.

Dalla formula di integrazione per parti, poniamo 4

1 1 x

0 3 0

f (x) = ln 2x, g (x) = x ⇒ f (x) = · 2= , g(x) = ,

2x x 4

e quindi Z Z Z

4 4 4 4 4

x x 1 x 1 x x

3 3

x ln 2x dx = · ln 2x − · dx = · ln 2x − x dx = · ln 2x − + c.

4 4 x 4 4 4 16

Esercizio 4: (Teoria) Dare la definizione di derivabilità di una funzione f : (a, b) → R in un punto x ∈ (a, b).

0

Usando la definizione, calcolare la derivata, se esiste, della funzione

2

h(x) = 3x − 2,

nel punto x = 1.

0

Sia f : (a, b) → R definita in un intorno I di un punto x ∈ (a, b). f è derivabile in x se esiste finito il limite

0 0

f (x + k) − f (x )

0 0 = ` < ∞.

lim k

k→0 0

Tale valore prende il nome di derivata di f in x e si indica con f (x ) = `.

0 0

Abbiamo per la funzione h(x) e il punto x in esame

0

2 2 2

h(1 + k) − h(1) 3(1 + k) − 2 − (3 − 2) 3 + 6k + 3k − 3 6k + 3k

= lim = lim = lim = lim (6 + 3k) = 6,

lim k k k k

k→0 k→0 k→0 k→0 k→0

0

per cui h (1) = 6. Soluzione Esame di Analisi Matematica - Facoltà di Economia

26 Febbraio 2008 - Traccia A

ESERCIZIO 1: Si consideri la funzione f : R −→ R 2

2x −3

f (x) = e .

2

x −4

(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.

La funzione è un esponenziale con esponente una funzione razionale fratta. Dobbiamo quindi imporre che il denominatore

della frazione sia non nullo, e quindi 2

x − 4 6 = 0 ⇒ x 6 = ±2.

Ne segue che il dominio è Dom(f ) = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞).

Inoltre abbiamo 2(−x)2 2

−3 2x −3

f (−x) = e = e = f (x),

(−x)2 2

−4 x −4

per cui la funzione è pari (simmetrica rispetto all’asse y).

(b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. √

(−3/−4) 4 3

La funzione, essendo un’esponenziale, è sempre POSITIVA sul suo dominio. Inoltre, poiché f (0) = e = e essa

√

4 3

interseca l’asse delle ordinate nel punto (0, e ).

(c) Calcolare i limiti e determinare il comportamento asintotico della funzione.

Dobbiamo calcolare 6 limiti. Tuttavia, per la simmetria della funzione, essi saranno uguali a due a due. Abbiamo allora

2

2x 2

lim f (x) = lim e = e ,

2

x

x→±∞ x→±∞

2

per cui la retta y = e è un asintoto orizzontale. −

5/0 −∞ +

lim f (x) = e = e = 0 = lim f (x),

− +

x→2 x→−2

+

5/0 +∞

lim f (x) = e = e = +∞ = lim f (x),

+ −

x→2 x→−2

per cui le rette x = ±2 sono asintoti verticali sinistro e destro rispettivamente.

(d) Determinare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali.

Abbiamo µ µ

¶ ¶

0

2

2x − 3 −10x

2 2

2x −3 2x −3

0

f (x) = e · = e · ≥ 0,

2 2

x −4 x −4

2 2 2

x − 4 (x − 4)

da cui, essendo l’esponenziale sempre positiva, per il numeratore si ha −10x ≥ 0 e quindi x ≤ 0, mentre il denominatore

è sempre positivo sul suo dominio. Quindi f è crescente in (−∞, −2) ∪ (−2, 0), decrescente in (0, 2) ∪ (2, +∞) e presenta

√

4 3

un massimo relativo nel punto A(0, e ).

(e) Determinare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso.

Abbiamo µ ¶ µ ¶ µ ¶

2 0 4 2

−10x −10x 10(3x + 2x − 16)

2 2

2 2x −3 2x −3

2x −3

00 · + e · = e · ≥ 0.

f (x) = e 2 2 2

x −4 x −4 x −4

2 2 2 2 2 4

(x − 4) (x − 4) (x − 4)

2 2

Ponendo nel numeratore della frazione t = x , la disequazione 3t + 2t − 16 ≥ 0 ha soluzione

t ≤ −8/3, t ≥ 2. 2

La prima soluzione va scartata, mentre la seconda conduce alla disequazione x ≥ 2 che ha soluzione

√ √

x ≤ − 2, x ≥ 2.

Dal momento che il denominatore della derivata seconda di f risulta sempre positivo sul dominio, e che l’esponenziale è

√ √ √ √

sempre positivo sul dominio, abbiamo che f è convessa su (−∞, −2)∪(−2, − 2)∪( 2, 2)∪(2, +∞), concava su (− 2, 2)

√ −1/2

e presenta due flessi nei punti B (± 2, e ).

± 1

(f ) Disegnare un grafico qualitativo della funzione.

16

14

12

10

8

y 6

4

2

K K K K

8 6 4 2 0 2 4 6 8

x

(La retta obliqua è un errore del programma nel realizzare il grafico. Tale retta è verticale ed è l’asintoto x = 2.)

Esercizio 2: Calcolare la derivata prima della funzione seguente:

√ √

2 2

2 − x + 4 2 + x + 4

√ √

g(x) = ln + arctan .

2 2

2 + x + 4 2 − x + 4

Facciamo le seguenti posizioni: √ 2+ v

2 u, s = .

u = x + 4, v = 2 − v

Osserviamo allora che la funzione si riscrive nella maniera seguente

1

g(x) = ln + arctan(s) = − ln(s) + arctan(s).

s

Ora 0

1 x 2 − v +2+ v 4v 4x

0 0 0 0 0

√ √ √ √

u = 2x, v = · u = , s = v = = .

2 2

(2 − v) (2 − v)

2 u 2 2 2 2

x +4 x + 4(2 − x + 4)

Ne segue µ ¶ µ ¶

2 2 0

1 2 − v (2 − v) 2 − v (2 − v) 4v

1 0 0 0

0 · s + · s = − + · s = − + · =

g (x) = − 2 2 2 2 2

s 1+ s 2 + v (2 − v) + (2 + v) 2 + v 2(4 + v ) (2 − v)

µ ¶ 2 2 2

1 1 −8 − 2v + 4 − v −4 − 3u 1 −16 − 3x 2x

0 0 0

√ √

= − + · 4v = · 4v = · · u = · ,

2 2 4 2 2 2

4 − v 2(4 + v ) 2(16 − v ) 16 − u x (−8 − x )

u 2

x + 4

e quindi la derivata 2

2(3x + 16)

0 √

g (x) = .

2 2

x x + 4(x + 8)

Esercizio 3: Calcolare il seguente integrale indefinito:

Z 4

x ln 4x dx.

Dalla formula di integrazione per parti, poniamo 5

1 1 x

0 4 0

f (x) = ln 4x, g (x) = x ⇒ f (x) = · 4= , g(x) = ,

4x x 5

e quindi Z Z Z

5 5 5 5 5

x x 1 x 1 x x

4 4

x ln 4x dx = · ln 4x − · dx = · ln 4x − x dx = · ln 4x − + c.

5 5 x 5 5 5 25

Esercizio 4: (Teoria) Dare la definizione di derivabilità di una funzione f : (a, b) → R in un punto x ∈ (a, b).

0

Usando la definizione, calcolare la derivata, se esiste, della funzione

2

h(x) = 3x + 2,

nel punto x = −1.

0

Sia f : (a, b) → R definita in un intorno I di un punto x ∈ (a, b). f è derivabile in x se esiste finito il limite

0 0

f (x + k) − f (x )

0 0 = ` < ∞.

lim k

k→0 0

Tale valore prende il nome di derivata di f in x e si indica con f (x ) = `.

0 0

Abbiamo per la funzione h(x) e il punto x in esame

0

2 2 2

h(−1 + k) − h(−1) 3(−1 + k) + 2 − (3 + 2) 3 − 6k + 3k − 3 −6k + 3k

= lim = lim = lim = lim (−6 + 3k) = −6,

lim k k k k

k→0 k→0 k→0 k→0 k→0

0

per cui h (−1) = −6. Soluzione Esame di Analisi Matematica - Facoltà di Economia

26 Febbraio 2008 - Traccia A

ESERCIZIO 1: Si consideri la funzione f : R −→ R 2

2x −5

f (x) = e .

2

x −4

(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.

La funzione è un esponenziale con esponente una funzione razionale fratta. Dobbiamo quindi imporre che il denominatore

della frazione sia non nullo, e quindi 2

x − 4 6 = 0 ⇒ x 6 = ±2.

Ne segue che il dominio è Dom(f ) = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞).

Inoltre abbiamo 2(−x)2 2

−5 2x −5

f (−x) = e = f (x),

= e

(−x)2 2

−4 x −4

per cui la funzione è pari (simmetrica rispetto all’asse y).

(b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. √

(−5/−4) 4 5

La funzione, essendo un’esponenziale, è sempre POSITIVA sul suo dominio. Inoltre, poiché f (0) = e = e essa

√

4 5

interseca l’asse delle ordinate nel punto (0, e ).

(c) Calcolare i limiti e determinare il comportamento asintotico della funzione.

Dobbiamo calcolare 6 limiti. Tuttavia, per la simmetria della funzione, essi saranno uguali a due a due. Abbiamo allora

2

2x 2

lim f (x) = lim e = e ,

2

x

x→±∞ x→±∞

2

per cui la retta y = e è un asintoto orizzontale. −

3/0 −∞ +

lim f (x) = e = e = 0 = lim f (x),

− +

x→2 x→−2

+

3/0 +∞

lim f (x) = e = e = +∞ = lim f (x),

+ −

x→2 x→−2

per cui le rette x = ±2 sono asintoti verticali sinistro e des