Analisi matematica, Limiti prime nozioni, esercizi svolti

Analisi Matematical LimitiEsercizi svolti

•Estremi di un insieme Punti isolati

•Estremo inferiore Punti di accumulazioneo

•Estremo superioreo Definizione e significato del limite

•Massimoo Limite per eccesso e limite per difetto∞

•Minimoo per x che tende ad un valore finitoLimite

Determina alcuni elementi dell’insieme A e rappresentali sulla retta orientata. Scegli un punto dell’insiemea verifica che sia un punto isolato

Verifica che il punto scritto a fianco all’insieme dato è un punto di accumulazione per l’insieme.

Deduci i limiti indicati osservando le figure. - 1 -

Per indicare l’estremo superiore di un insieme E si usa la notazione . L’estremo superiore puòappartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche massimo e si usa la notazione. - 2 -inf

Per indicare l’estremo inferiore di un insieme E si usa la notazioneL’estremo inferiore può appartenere o

non appartenere all'insieme; nel primo caso è detto anche minimo e siusala notazione . - 3 -;; - 4 -

Come è fatto l'insieme A? È un sottoinsieme di Ogni elemento di A è uguale alla radice quadrata di un intero2, )5, 2)2, 3, … ≤ 0! ."0,1, √3,√2, √6, √7,

Sulla retta dei numeri reali abbiamo: Ogni elemento di A è un punto isolato. √3 Ad esempio è un punto isolato perché esiste almeno un suo intorno che non contiene altri elementi di A√3. oltre a - 5 -

Scriviamo come sono gli elementi dell'insieme D: 1 1 1 5 8 111 3 1,3 3 , 3 3 . 3 3 , … , , , …23 6 22, 62 3 4 2 3 4

Ogni elemento di D è sempre minore di 3 al crescere di n. 38 Rappresentiamo sulla retta dei reali alcuni elementi dell'insieme D e il punto da verificare: 3∉ 13 è un punto di accumulazione 8

Per mostrare che il punto 3 è di accumulazione per D, considero un intorno qualsiai di 3 e faccio vedere

Questo intorno contiene almeno un punto di D. (Se ne ha uno, ne ha infiniti):: ; 3 :; :<.Prendiamo un qualunque intorno di 3, di generica ampiezzaPoiché in D non vi sono elementi maggiori di 3, considerimao un’intorno sinistro:>? B= @3A ;3 3 :; 3<, : ∈ 0Avremo allora:Mostriamo che esistono infiniti valori dell’insieme D che appartengono a tale intorno.Affinché un punto di D appartenga all’intorno deve valere la relazione133: C33 C3risolvendo: 13: C 3 C01 C: - 6 -Deduci i limiti indicati osservando la figura @ ADEF→?H @ ADEF I→H @ ADEF H→ @ ADEF H→I J@ ADEF→ @ A KDEF→K J@ ADEF→ @ ADEF JJ→ @ ADEF→J @ ADEF→K @ ADEF J→H @ ADEF K→L - 7 -