Analisi matematica, Limiti prime nozioni, esercizi svolti

Analisi Matematica

l Limiti

Esercizi svolti

• •

Estremi di un insieme Punti isolati

•

Estremo inferiore Punti di accumulazione

o •

Estremo superiore

o Definizione e significato del limite

•

Massimo

o Limite per eccesso e limite per difetto

∞

•

Minimo

o per x che tende ad un valore finito

Limite

Determina alcuni elementi dell’insieme A e rappresentali sulla retta orientata. Scegli un punto dell’insieme

a verifica che sia un punto isolato

Verifica che il punto scritto a fianco all’insieme dato è un punto di accumulazione per l’insieme.

Deduci i limiti indicati osservando le figure. - 1 -

Per indicare l’estremo superiore di un insieme E si usa la notazione . L’estremo superiore può

appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche massimo e si usa la notazione

. - 2 -

inf

Per indicare l’estremo inferiore di un insieme E si usa la notazione

L’estremo inferiore può appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche minimo e si

usala notazione . - 3 -

;

; - 4 -

Come è fatto l’insieme A? ∈

Ogni elemento di A è uguale alla radice quadrata di un intero

2, )5, 2)2, 3, … ⊆ 0

! .

"0,1, √3,

√2, √6, √7,

Sulla retta dei numeri reali abbiamo:

Ogni elemento di A è un punto isolato.

√3

Ad esempio è un punto isolato perché esiste almeno un suo intorno che non contiene altri elementi di A

√3.

oltre a - 5 -

Scriviamo come sono gli elementi dell’insieme D:

1 1 1 5 8 11

1 3 1,3 3 , 3 3 . 3 3 , … , , , …

23 6 22, 6

2 3 4 2 3 4

Ogni elemento di D è sempre minore di 3 al crescere di n. 3

8

Rappresentiamo sulla retta dei reali alcuni elementi dell’insieme D e il punto da verificare:

3∉ 1

3 è un punto di accumulazione

8

Per mostrare che il punto 3 è di accumulazione per D, considero un intorno qualsiai di 3 e faccio vedere che

questo intono contiene almeno un punto di D. (Se ne ha uno, ne ha infiniti)

:: ; 3 :; :<.

Prendiamo un qualunque intorno di 3, di generica ampiezza

Poiché in D non vi sono elementi maggiori di 3, considerimao un’intorno sinistro:

>? B

= @3A ;3 3 :; 3<, : ∈ 0

Avremo allora:

Mostriamo che esistono infiniti valori dell’insieme D che appartengono a tale intorno.

Affinché un punto di D appartenga all’intorno deve valere la relazione

1

33: C33 C3

risolvendo: 1

3: C 3 C0

1 C: - 6 -

De