Analisi matematica le derivate esercizi svolti

Calcoliamo il rapporto incrementale nel punto c=11

ℎ 1 ℎ1 ℎ 2 1 ℎ 1 ℎ01 02 1 ℎℎ 1 1 ℎℎℎ ℎ 1 1ℎ 1 ⋅ℎ 1 ℎ ℎ 1 ℎ

Ed ora il limite: ℎ 1 1lim lim 1ℎ 1 ℎ→ →

Concludiamo che: 1 1′;

Nel punto di coordinate la retta tangente ha coefficiente angolare ’L’equazione della tangente in tale punto è: ′0 1 1: 1

La tangente t passante per il punto A(1;0) è una rettaparallela alla bisettrice del I e III quadrante conintercetta uguale a -1 35

Nel punto la funzione è definita.Infatti il suo domino è ∈ | "1

Applichiamo la definizione di derivata calcolata in un punto:5 ℎ 55 lim′ ℎ→ 5

Calcoliamo il rapporto incrementale nel punto1 15 ℎ ℎ 1 ℎ√5 √41 15 2√4 11 2 ℎ√425 ℎ 5 ℎ 2√4 ℎ√4ℎ ℎ h

Passiamo al limite5 ℎ 5lim& ℎ→2 ℎ√4 2 ℎ2 ℎ 1√4√42√4 ℎlim lim ⋅' (h ℎ2√4 ℎ 2

funzioni nei punti indicati

43→ 3 = −1

Quando consideriamo il ramo 53+ℎ − 33 = lim′3 ℎ6→1 3+ℎ −13= lim ℎ6→ ℎ1+ −1 13= lim =ℎ 36→ 7→ 3 = −3

Quando consideriamo il ramo3+ℎ − 33 = lim′7 ℎ8→ℎ= lim = 1ℎ8→ = 3.

La due derivate sono entrambe finite ma hanno valore diverso. La funzione non è derivabile in Sitratta di un punto angoloso. 6f(2)=0 → 2 27 /

Quando consideriamo il ramo che è un ramo di parabola2 ℎ 22 lim7′ ℎ→ 8 2 ℎ

Calcoliamo l’incremento2 ℎ 2 ℎ 2 2 ℎ/2 ℎ 4 4ℎ ℎ 4 2ℎ/2 ℎ 4 4ℎ ℎ 4 2ℎ/2 ℎ ℎ 2ℎ ℎ ℎ 2/

Sostituiamo e passiamo a limite:2 ℎ 2 2 ℎ/lim ℎ→ 8 ℎ ℎ 2lim ℎ→ 8lim ℎ 2→ 82 27′ → 2 2 5 23 /

Quando consideriamo il ramo che è ancora un ramo di parabola2 ℎ 22 lim3′ ℎ→ 8 2 ℎ

Calcoliamo separatamente l’incrementoℎ 2 2 ℎ 5 2 ℎ 2/2+2 ℎ 2 4 4ℎ ℎ

10 5ℎ 2/2 ℎ 8 8ℎ 2ℎ 8 5ℎ/2 ℎ 2ℎ 3ℎ ℎ 2ℎ 3/Sostituiamo e passiamo a limite2 ℎ 2lim ℎ→ 8 ℎ 2ℎ 3lim ℎ→ 8lim 2ℎ 3→ 82 37′ = 2.

La due derivate sono entrambe finite ma hanno valore diverso. La funzione non è derivabile in Sitratta di un punto angoloso. & &2 9 27 3 780 =0 3→ 0 =√Quando consideriamo il ramo0+ℎ − 00 = lim′3 ℎ6→ℎ 1√= lim = lim = +∞ℎ √ℎ6 6→ →7 /→ 0 = +Quando consideriamo il ramo0+ℎ − 00 = lim′7 ℎ8→/ℎ + ℎ= lim ℎ8→ ℎ ℎ+1= lim ℎ8→= lim ℎ + 1 = 18→ = 0.La derivata destra è un punto di infinito, la derivata sinistra è finita. La funzione non è derivabile in Sitratta di un punto angoloso. 9−2 − 1, <0=: 2 − 1, ≥00 = −1 3→ 0 =2 −1Quando consideriamo il ramo0+ℎ − 0′ 0 = lim3 ℎ6→2ℎ= lim =2ℎ6→ 7→ 0 = −2

1. Quando consideriamo il ramo ⁰⁺ℎ - 0' = lim_ℎ→0 -2ℎ = lim_ℎ→0 0
2. In la funzione non è derivabile, presenta un punto angoloso.
3. Ricordiamo che in presenza di un modulo abbiamo: 0≤ x <2/ -2 , 2≤ x < 2 , 0≤ x ≤ 2
4. Quando consideriamo il ramo 2 ℎ 0 lim_ℎ→0 6ℎ = 2ℎ/2 = 4ℎ = 2ℎ/2 = 4ℎ = 2ℎ
5. Sostituendo: 2 ℎ 2 ℎ = 2 lim_ℎ→0 6 = 2
6. Quando consideriamo il ramo 2 ℎ 2 lim_ℎ→0 8
7. Calcoliamo l'incremento: 2 2 ℎ2 ℎ = 2ℎ/2 = 4ℎ = 2ℎ/2 = 4ℎ = 2ℎ
8. Sostituiamo e passiamo al limite: 2 ℎ 2 ℎ = 2 lim_ℎ→0 8 = 2
9. Le due derivate sono finite ma diverse, in la funzione non è derivabile, presenta un punto angoloso.
10. 2 9 2
11. 3 11