Analisi Matematica - 9/06/2006

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA INFORMATICA

ANALISI MATEMATICA II

II Prova in itinere (A) Docente A. Alberico 9 Giugno 2006

COGNOME: NOME: MATRICOLA: ORALE: Giugno ☐ Luglio ☐

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy

   { y'' + y' + y = x sin x y(0) = 0 y'(0) = 0 }

2. Determinare, se esistono, i valori α ∈ ℝ tali che la forma differenziale

   ω = (αx log(1 + y) + x²) dx + _{(1 + y + x²)}/^{(1 + y)} dy

   sia chiusa nel suo insieme di definizione. Per tali α, ω è esatta? In caso affermativo, determinare la primitiva che nel punto (1, 2) vale log 3.
3. Calcolare l'integrale doppio

   ∬_D log(xy) dxdy,

   dove D = {(x, y) ∈ ℝ²: y ≤ 2, y ≥ x², y ≥ 1/x}.
4. Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x, y) = (x² - y, xz) uscente dalla frontiera del dominio D = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² + z² ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
5. Calcolare l'area della superficie Σ definita dalle equazioni parametriche

   x = u + v y = u - v z = v² (u, v) ∈ K

   dove K = {(u, v) ∈ ℝ²: 1 ≤ v ≤ 2, 0 ≤ u ≤ 1/v}.