Analisi 1 - Integrali indefiniti e definiti - esercizi

Calcolo integrale

Esercizio 9.1

Utilizzando le opportune sostituzioni, calcolare i seguenti integrali:

• a) ∫∫²₀ √x / (3x² + 1) dx
• b) ∫∫^π₀ x / √(1 + x) dx
• c) ∫∫⁴₂ x sin(x) dx
• d) ∫∫¹₀ x + 1 dx

Esercizio 9.2

Utilizzando la tecnica di integrazione per parti, calcolare i seguenti integrali:

• a) ∫∫¹₀ (x + 1)e^-x dx
• b) ∫∫²₀ x ln(x - 5) dx
• c) ∫∫^π_-π/2 x sin(x) dx
• d) ∫∫¹_-π/2 x arctan(x) dx

Esercizio 9.3

Calcolare i seguenti integrali:

• a) ∫∫ √x / (2x + 1) dx
• b) ∫∫ 1 / √x dx
• c) ∫∫ x³ e^x dx
• d) ∫∫³_-3 arctan(|x|) dx
• e) ∫∫¹₄ 1 / (x + 1) dx
• f) ∫∫¹₁₁ |x + 2| dx

Esercizio 9.4

Calcolare i seguenti integrali impropri:

• a) ∫^+∞_-∞ 1 / (x² + 2) dx
• b) ∫^+∞₀ 1 / √(x + 4) dx
• c) ∫^+∞₁ 1 / (3(x + 5)) dx
• d) ∫^+∞₀ e^-x / √(x + 1) dx
• e) ∫^+∞₁ x ln(x) dx
• f) ∫^+∞₂ 1 / x dx

Esercizio 9.5

Calcolare le aree delle seguenti figure piane:

• a) {(x, y) : y ≤ x, y ≥ x} ∪ {(x, y) : y ≤ e^x, y ≥ 1, x ≤ 2}
• b) {(x, y) : y ≤ x³ + 3, y ≥ e^x}
• c) {(x, y) : 1 ≤ y ≤ x} ∪ {(x, y) : 1 ≤ y ≤ arctan(x)}
• d) {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x² + 1}
• e) {(x, y) : y ≤ 1, x ≥ 0}
• f) {(x, y) : x ≤ 2, y ≥ x / (1 + x²)}

Esercizio 9.6

Stabilire per quali valori di α la funzione F(x) = (2 ln x - α)x è una primitiva della funzione f(x) = 4x ln x.