6 appelli di statistica

Esame di statistica laurea triennale in ingegneria gestionale

Sulla base dell’archivio storico digitale di un autovelox a postazione fissa posizionato lungo una strada con limite di velocità pari a 90 km/h, si è stimato che nelle ore di punta del traffico la velocità media di transito è pari a µ=65 km/h e deviazione standard σ=15 km/h. I dati raccolti suggeriscono che la distribuzione normale è un’assunzione ragionevole.

Calcolo della probabilità di superamento del limite di velocità

(1.1) Qual è la probabilità che un veicolo in transito nelle ore di punta possa superare il limite di velocità?

X∼N(65;15)

P(X>90)=1−P(X<90)=1−P(Z<[(90−65)/15])=1−P(Z<1.67)=1−0.9525=0.0475

Determinazione del limite di velocità per multare il 10% dei veicoli più veloci

(1.2) Se si volesse multare il 10% dei veicoli più veloci, a quale valore in km/h si dovrebbe fissare il limite di velocità?

P(X>x)=0.1 → P(X<x)=0.9

P([(X−65)/15]<[(x−65)/15])=0.9

z=+1.28 → x=65+15×1.28=84.2 km/h

Distribuzione del rapporto maschi:femmine alla nascita

In Italia, alla nascita, il rapporto M:F (Maschi:Femmine) è pari a 1.07:1. A partire dalla proporzione delle femmine (o dei maschi) rispetto al totale della popolazione, calcolare la probabilità che in una famiglia con 3 figli:

Probabilità di non avere alcuna femmina

(2.1) Non vi sia alcuna femmina.

π=1/(1+1.07)=0.483

P(X=0)=π^0×(1−π)^3=0.517^3=0.1383

Probabilità di non avere alcun maschio

(2.2) Non vi sia alcun maschio.

P(X=3)=π^3×(1−π)^0=0.483^3=0.1127

Intervallo delle probabilità calcolate

Le due probabilità P1 e P2 sono nell'intervallo:

• A. [0;0.1];
• B. [0.1;0.5];
• C. [0.5;1].

Verifica della conformità del processo produttivo di piastrelle

Un produttore di piastrelle in ceramica vuole certificare la conformità del proprio processo produttivo e a questo scopo viene misurata, in un lotto casuale di 20 piastrelle, la deviazione massima di planarità in %. La normativa prevede un valore target pari a 0% e un range di specifica pari a ±1.5%.

Rappresentazione dati e analisi statistica

(3.1) Si rappresentino i dati tramite tabella e istogramma di frequenza e si calcolino media e deviazione standard campionaria. Si commentino i risultati in funzione delle specifiche normative del processo.

FrequenzaDev.max.pl. [%] assoluta relativa

Totale 20 100.0%

Commenti:

Tendenza centrale: La classe modale, con il 45% delle osservazioni, è [-0.25;+0.25]. La media campionaria 0.08 è contenuta in questa classe e vicino al valore nominale.

Variabilità: Il range di variazione delle misure del campione di 20 unità è pari a 1.6%. Questo range risulta inferiore al range di specifica che è 3%. Lo scarto quadratico medio è pari a circa 0.41 (Range/Range specifica=0.14).

Forma della distribuzione: Il profilo dell'istogramma di frequenza configura una distribuzione approssimativamente simmetrica.

Il processo sembra essere adeguato rispetto al valore nominale e al range di specifica, infatti la distribuzione cade interamente al suo interno.

Distribuzione di frequenza rispetto al valore target

[S.2] Rispetto al valore target (VT), la distribuzione di frequenza risulta:

• A. spostata verso valori più piccoli;
• B. centrata (VT è approssimativamente al centro);
• C. spostata verso valori più grandi.

[1] Dall'ispezione visiva dell'istogramma di frequenza, si può affermare dal punto vista descrittivo che la deviazione max planare tende a distribuirsi rispetto ai limiti di specifica (estremi esclusi):

• A. totalmente all'interno;
• B. totalmente all'esterno;
• C. in parte all'interno e in parte all'esterno.

Verifica di ipotesi per la deviazione massima di planarità

(3.2) Calcolati i 5 numeri di sintesi, si rappresentino i dati tramite box-plot. Si commentino brevemente i risultati.

Tendenza centrale: La mediana è pari a 0.1, valore che risulta vicino alla media campionaria e di poco più grande del valore nominale.

Variabilità: IQR ridotto rispetto al range di specifica (IQR/range specifica=0.23).

Forma: Approssimativamente simmetrica perché la mediana è al centro della scatola e i bassi hanno circa la stessa lunghezza.

Verifica di ipotesi per il valore target della deviazione massima di planarità

(3.3) Si conduca una verifica di ipotesi (indicando assunzioni, sistema di ipotesi e statistica test) per stabilire se a livello il processo produttivo rispetta in media il valore target della deviazione massima di planarità. Si commentino i risultati.

Assunzioni: Distribuzione normale o almeno simmetrica. Campione casuale. Osservazioni indipendenti ed identicamente distribuite.

H0: µ = 0 (dove µ è il valore target che in questo caso è 0). La statistica test adatta a stabilire se il processo produttivo rispetta in media il valore target è t = (x̄−0) / (S/√n), dove S è la deviazione standard campionaria (calcolata al punto 3.1), n=20. Il valore della statistica test per il campione osservato è t = (−0.8) / (0.41/√20) = 0.88.

I valori critici fanno riferimento alla distribuzione t di Student con n-1=19 gradi di libertà (vanno recuperati dall’apposita tavola) e sono ±2.09. Poiché il t cade all’interno dell’area di accettazione al livello di significatività del 5%, accettiamo l’ipotesi nulla che il processo sia in target.

[S.3] Il valore osservato della statistica test si trova nell'intervallo:

• A. <−2;
• B. [−2;+2];
• C. >+2.

[2] Se al punto (3.3), in luogo della verifica di ipotesi si fosse stato costruito un intervallo di confidenza a livello (1−α)%, con α≠5%, a quale conclusione si sarebbe dovuti giungere?

• A. la stessa del punto (3.3);
• B. la stessa del punto (3.3);
• C. la stessa del punto (3.3).

Produzione di piastrelle di prima scelta

(3.4) Le piastrelle con planarità ∈[−0.75,0.75] vengono dette di 1a scelta: l’azienda dichiara che è in grado di produrre piastrelle di 1a scelta per una quota superiore al 85% dell’intera produzione. A livello di significatività α=0.1, si conduca una verifica di ipotesi per stabilire se il processo produttivo è coerente con la dichiarazione dell’azienda.

Sia X il numero di piastrelle con planarità ∈[−0.75,0.75]. Possiamo assumere che X~Bin(n,π) ovvero una binomiale con parametro π, dove π è il tasso di piastrelle di prima scelta.

H0: π = 0.85

H1: π > 0.85

La statistica test adatta per stabilire se il tasso di piastrelle di prima scelta prodotte dall’azienda è superiore all’85% è Z = (π̂−π₀) / √(π₀(1−π₀)/n), dove π̂ è la proporzione campionaria, π₀ = 0.85.

Il valore della statistica test sul campione osservato è Z = (0.626−0.85) / √(0.85×0.15/20) = −0.9.

Il valore critico fa riferimento alla distribuzione Normale standard (che va recuperato dall’apposita tavola) ed è z₀.1 = 1.28. Poiché Z < 1.28, al livello di significatività del 10% affermiamo che non c’è evidenza per rifiutare l’ipotesi nulla e affermare che l’azienda produca una quota di piastrelle di prima scelta superiore all’85%.

[3] Sempre a livello α=10%, è possibile affermare che la quota di piastrelle 1a scelta risulta:

• A. > 75%;
• B. > 80%;
• C. > 90%.

[S.4] Il p-value della verifica di ipotesi (3.4) si trova nell'intervallo:

• A. [0;0.1];
• B. [0.1;0.5];
• C. [0.5;1].

Prova di assorbimento su un sotto-campione di piastrelle

(4) Un sotto-campione di 12 piastrelle viene sottoposto ad una prova di assorbimento: dopo aver registrato il peso delle piastrelle a secco, cioè PRIMA della prova, queste vengono poste in un recipiente contenente acqua distillata per la bollitura, quindi lasciate in ebollizione per 2h. A conclusione della prova le STESSE piastrelle vengono pesate, una ad una, per una seconda volta.

Verifica di ipotesi per l'incremento di peso

(4.1) La normativa prevede che la quantità di acqua assorbita possa causare un incremento del peso della piastrella al più pari al 20 gr. (10% peso nominale). Fissando α=1%, applicare un metodo statistico inferenziale (indicando assunzioni, ipotesi e statistica test) per stabilire se l’incremento di peso è pari a 20 gr., contro l’alternativa che sia superiore a tale soglia. Si commentino i risultati.

Assunzioni: Distribuzione normale o almeno simmetrica. Campione casuale. Osservazioni indipendenti ed identicamente distribuite.

H0: µd = 20 (dove µd è la media delle differenza tra i pesi delle piastrelle prima e dopo).

H1: µd > 20

La statistica test adatta a stabilire se l’incremento del peso della piastrella è pari a 20gr è t = (d̄−20) / (Sd/√n), dove d̄ è la media campionaria delle differenze di peso nei due campioni (X_dopo - X_prima), ed Sd è la deviazione standard campionaria delle differenze, n=12.

Il valore della statistica test per il campione osservato è t = (22−20) / (1.41/√12) = 4.9.

Il valore critico fa riferimento alla distribuzione t di Student con n-1=11 gradi di libertà (va recuperato dall’apposita tavola) ed è 2.71. Poiché t > 2.71, allora a livello di significatività del 1%, rifiutiamo l’ipotesi nulla che l’incremento di peso sia pari a 20 in favore dell’alternativa che sia superiore a tale soglia.

[S.5] Il valore osservato della statistica test si trova nell'intervallo:

• A. [0;2];
• B. [2;4];
• C. [4;+∞].

[S.6] Il p-value della verifica di ipotesi (4.1) si trova nell'intervallo:

• A. [0;0.005];
• B. [0.005;0.05];
• C. [0.05;1].

[4] Nella risoluzione dell’esercizio (4.1), quale dei seguenti test statistici NON è corretto utilizzare?

• A. test t per campioni indipendenti;
• B. test t per campioni dipendenti;
• C. test t per misure ripetute (dati appaiati).

[5] Con riferimento al punto (4.1), quale affermazione è FALSA?

• A. L'ipotesi nulla sarebbe stata rifiutata per un livello di significatività α = 10%;
• B. α = 5%;
• C. qualsiasi α < 5%.

Intervallo di confidenza per la quantità di acqua assorbita

(4.2) Costruire un intervallo di confidenza al 99% della quantità di acqua assorbita. Si commentino i risultati.

Abbiamo fiducia del 99% che il vero valore della quantità d’acqua assorbita sia compreso tra 20.73 e 23.26.

Intervallo di confidenza:

IC = d̄ ± t_α/2 × (Sd/√n) = 22 ± 3.1 × 1.41/√12 = [20.73;23.26]

Si noti che il valore nominale non cade all’interno dell’intervallo. È quindi possibile affermare che a livello di significatività 1% l’ipotesi nulla che l’incremento di peso sia pari a 20.

[6] Nella risoluzione degli esercizi (4.1) e (4.2), quale delle seguenti distribuzioni di probabilità non è corretto utilizzare in nessun caso?

• A. t di Student;
• B. Normale;
• C. Chi-quadrato.

Prova di essicamento su piastrelle

(4.3) Dopo opportuna procedura di randomizzazione in cui le 12 piastrelle vengono suddivise in 4 gruppi di uguale numerosità, viene eseguita una prova di essicamento in cui le piastrelle restano in un forno a 50° rispettivamente per 2, 4, 6, 8 ore. Al termine della prova le piastrelle vengono nuovamente pesate e quindi calcolata la loro riduzione di peso.

Tempo essicamento [ore]: 2 4 6 8

Riduzione peso [gr]: 8.4 5.5 7.1 14.0 15.6 12.7 19.7 17.9 18.8 19.3 20.1 19.4

Verifica di ipotesi sul valore medio della riduzione di peso

Fissato il livello di significatività α=1%, e tenendo conto che SSA=301.04 e SSW=10.44, si conduca una verifica di ipotesi (indicando assunzioni, ipotesi e statistica test) per stabilire se il valore medio della riduzione di peso è uguale o diverso rispetto ai quattro tempi di essicamento. Si commentino i risultati.

Modello statistico: Y_ij = µ_j + ε_ij, j=1,2,3,4 (i C=4 livelli di tempo: 2 ore, 4 ore, 6 ore, 8 ore), i=1,...,n_j, n_j=3 per ogni j (disegno bilanciato con 3 repliche).

Assunzioni:

• ~N(0,σ²), ovvero l’errore sperimentale si assume:
• 1. Normale;
• 2. Indipendente;
• 3. Omoschedastico (con varianza costante).

H0: µ₁ = ... = µ₄

H1: ∃ j, h ≠µ_j ≠µ_h, j, h = 1,...,4

Statistica test: F = (SSA/C−1)/ (SSW/n−C)

Il valore della statistica test sui dati osservati è F = 301.04 / (4−1) / (10.44 / (12−4)) = 76.89.

Il valore critico il base alle tavole statistiche è 7.59. Poiché F >>7.59 a livello di significatività 1% l’ipotesi nulla viene rifiutata. Vuol dire che i 4 gruppi sono caratterizzati da pesi medi diversi. Per identificare quale specifica coppia differisce bisogna procedere con il metodo dei confronti a coppie (Metodo di Tukey-Cramer).

[S.7] A livello di significatività α=1%, si può affermare che la riduzione media del peso è:

• A. uguale per tutti i tempi di essicamento;
• B. diversa per tutti i tempi di essicamento;
• C. diversa per alcuni tempi di essicamento.

Confronti a coppie dei valori medi della riduzione di peso

(4.4) Applicare una procedura inferenziale (fissando α=0.01) finalizzata ai confronti a coppie dei valori medi della riduzione di peso in funzione dei quattro tempi di essicamento. Commentare i risultati ottenuti.

H0: µ_j = µ_h per j ≠ h

H1: µ_j ≠ µ_h per j ≠ h

Anziché utilizzare una statistica test si applica la seguente regola decisionale: a livello di significatività α, H0 deve essere rifiutata se |Ȳ_j - Ȳ_h| > R_U, con Q valore critico della distribuzione del range studentizzato con C e n-C gradi di libertà rispettivamente al numeratore e al denominatore.

Dalle tavole statistiche risulta che Q_α = 6.20 e quindi il range critico R_U = Q_α × √(MSW/n) = 6.20 × √(4.09/3) = 7.10.

|ȳ₂ - ȳ₄| = 11.80 > R_c

|ȳ₂ - ȳ₆| = 12.60 > R_c

|ȳ₂ - ȳ₈| = 4.70 > R_c

|ȳ₄ - ȳ₆| = 5.50 > R_c

|ȳ₄ - ȳ₈| = 0.80 < R_c

|ȳ₆ - ȳ₈| = 0.80 < R_c

Diagramma di dispersione e regressione lineare

(4.5) Sulla base dei dati forniti al punto (4.3) costruire il diagramma di dispersione del “Tempo di essicamento” vs. “Riduzione peso” e, in base ai calcoli forniti, calcolare le stime ai minimi quadrati della relazione lineare tra queste due variabili. Disegnare la retta di regressione nel grafico e commentare i risultati.

Tempo essicamento [ore]: 2, 4, 6, 8

Riduzione peso [gr]: 8.4, 5.5, 7.1, 14.0, 15.6, 12.7, 19.7, 17.9, 18.8, 19.3, 20.1, 19.4

Y X Y^2 X^2 XY

8.4 2 70.56 4 16.8

19.4 8 376.36 64 155.2

Somma 178.5 60 2966.67 360 1020

Media 14.875 5

La stima dell'intercetta si trova nell'intervallo:

• A. [0;3];
• B. [3;10];
• C. [10;20].

La stima del coefficiente angolare si trova nell'intervallo:

• A. [0;0.5];
• B. [0.5;1];
• C. [1;+∞].