Statistica economica

-COEFFICIENTE DI CARRELAZIONE NON CALCOLABILE PERCHE’ MANCANNO I

VALORI y

- IPOTIZZO I DATI y PER FORMULARIO

y <-c (5,6,7,8)

-MEDIA

my< -mean (y)

-VARIANZA

Var y<z-mean ((y-my)^2)

-DEVIANZA

Dexy <- Vax y= (legth(y))

-CODEVIANZA

Cov <- mean ((x-mx) x (y-my))

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

R\\0 <- Cov / ((sqrt(var x)) * / (sqrt (vary))

Dati i seguenti valori di X(1,2,3,4) e di Y(11,9,7,5) calcolare: a) la codevianza

XY; b) la covarianza XY; c) il coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson

LEZIONE 26

Si scelgano 100 numeri casuali da una v.c. continua normale con valore atteso 2

e deviazione standard 0,2; quali linee di codice di R si utilizzano per: a) trovare

i numeri casuali; b) rappresentare lo sfondo colorato beige del grafico della

funzione di densità; c) rappresentare il grafico della funzione di densità

rnorm(100,2,0.2)##simulazione di 100 numeri casuali da una Normale

curve(dnorm(x,2,0.2),-

2,6,ylab=”Densità”,main=”Grafico della funzione di densità”)

Sia X è una v.c. continua con quali notazioni si calcolano: a) il valore atteso; b) la

varianza; c) la deviazione standard e il coefficiente di variazione

Dati i seguenti valori E(X2) =12 e [E(X)]2 =10,5 calcolare: a)il valore atteso; b)

la varianza;c) la deviazione standard e il coefficiente di variazione

LEZIONE 27

Data una v.c. continua distribuita normalmente con media pari a 2,2 anni e

varianza 0,42; in simboli X~N(2,2; 0,42) con quale script di R si calcola: a) la

probabilità che x<2; b) la probabilità che x>2,5; c) il valore atteso, la varianza,

la deviazione standard e il coefficiente di variazione

LEZIONE 28

Commentare brevemente: a) la legge debole dei grandi numeri; b) la legge forte

dei grandi numeri; c) la disuguaglianza di Markov e la diseguaglianza di

Chebyshev

Si può utilizzare la Disuguaglianza di Chebyshev per avere informazioni sulla

varianza. Essa stabilisce che, per ogni distribuzione di dati di una popolazione, la

percentuale di essi non si allontanano dalla media per una certa quantità dello scarto

quadratico medio è pari almeno a: (1-1/k2)*100%. La disuguaglianza può assumere

la notazione completa rappresentata dalla seguente disuguaglianza: |xi-ⴏ|k0≤1/k2

dove k è la quantità espressa da un numero puro positivo. Dalla diseguaglianza di

Chebyshev deriva la Legge dei grandi numeri che assume due connotazioni:quella

forte e quella debole. Legge debole: Date n variabili mutuamente indipendenti con

media e varianza2 ed un numero positivo a si può affermare che il limite per x che

tende a ∞ della probabilità della differenza tra la media delle v.c.stesse e il valore

atteso in termini assoluti sia maggiore di un valore intero positivo a è uguale a zero.

In simboli si avrà: limx→ ∞ P[l(X1+X2+…+Xn)/n]- |>a]=0 Si può dedurre che la

media converge in probabilità alla media aritmetica delle Xi per i=1,…n. Legge forte:

Date n variabili mutuamente

indipendenti con media e varianza, si può affermare che la probabilità che al limite

per n che tende a +∞

la media aritmetica delle stesse sia uguale a in valore assoluto, è pari a 1. In simboli si

avrà: lim n→∞ PX1+X2…+Xn)/n= |=1. Disuguaglianza di Markov: Nella situazione

in cui non si è a conoscenza della distribuzione della v.c., si potrebbe avere l’esigenza di

definire dei limiti alla probabilità. In questa circostanza può tornare utile, pur con

forti limiti, utilizzare la disuguaglianza di Markov dove la probabilità della v.c. X, che

deve essere maggiore o uguale alla quantità h, non deve superare il

rapporto tra la media e la stessa quantità h e quindi può essere trovata conoscendo

solo il valore atteso. La notazione è: P(Xh) ≤x/h dove X è una v.c. non negativa e x è la

media o il valore atteso.

LEZIONE 29

Data la distribuzione di probabilità Uniforme discreta con N=10 con quali script si

calcola: a) la probabilità che x=8; b) la probabilità che x< 2; c) la probabilità che x>7

e che x sia ricompreso fra 8 e 4

p(x)=1/N P81/N

a) P1<- 1/N pmin2<-p1 pmin3<-p1+p2 P9<-1/N P10<-1/N pmag7 <-p8+p9+p10

b)

c)pcomp<-p5+p6+p7

Data la distribuzione di probabilità Uniforme discreta con N=11 quali script si

implementano per calcolare: a) valore atteso; b) varianza; c) deviazione

standard e coefficiente di variazione

N<-10

a)

val_att<-(N+1)/2;val_att ## a ##

b)var<-(N^2-1)/12;var ## b ##

c)dev_std<-srt(var);dev_std ## c ##

Data la distribuzione di probabilità Uniforme discreta con N=10 calcolare: a) la

probabilità che x=8; b) la probabilità che x< 2; c) la probabilità che x> 7 e che x

sia ricompreso fra 8 e 4

Probabilita' x=8 P=(x=8)=1/10=0,1

a)

b)Probabilita' X<2 P(x<2)=P(x=1)=1/10=0,1

c)Probabilita'x>7 P(x>7)=P(x=8)+P(=10)=1/10+1/10+1/10=0,3

Probabilita' che 4<x<8 P(4<x<8)=P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)=1/10+1/10+1/10=

0,3

LEZIONE 30

Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con quali script di R si calcola:

a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata

a) qbinom(x,1,p) b) dbinom(x,1,p) c) pbinom(x,1,p)

b)

c)

Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con p=0,07 con quali script di

R si calcola: a)la probabilità che x=0; b) la probabilità che x= 1; c) il valore

atteso, la varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione

a)Probabilità x=0 q<-1-p

b) Probabilità che x=1 p<-0,07

c) Valore atteso E(x)<-p , Varianza Var(x)<-p*q

a) p(x=1)/p(x=1)=p=0,07

b)p(x=0)/p(x=0)=1-p=1-0,07=0,93

c) E(x)=p=0,07 d) Var(x)=p(1-p)=0,07(0,93)=0,0651

Dstd(X)=√p(1-p)= √0,07=0,2645

Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con p=0,07 calcolare: a)la

probabilità che x=0; b) la probabilità che x= 1; c) il valore atteso, la varianza e la

deviazione standard

a) p(x=1)/p(x=1)=p=0,07

b) p(x=0)/p(x=0)=1-p=1-0,07=0,93 c) E(x)=p=0,07 d) Var(x)=p(1-p)=

0,07(0,93)=0,0651 Dstd(X)=√p(1-

p)= √0,07=0,2645

LEZIONE 31

Dato n=11 e p=0,20 calcolare: a) il valore atteso; b) la varianza; c) la deviazione

standard, l'indice di asimmetria e di curtosi

a) E(x)=np=11*0.20=2.2

b) Var(x)=np*(1-p)=11*0.2(1-0.20)= 1.76

c) Dev.std(x)=RDQ di np(1-p)=1.33

indice di asimmetria= 1-2/RDQnp(1-p)=1-2/RDQ2.2*0.8=1-RDQ1.76=1-1,33=-0.33

indice di curtosi=(1-6p-6p^2)/np(1-p)=(1-1.2-1.44)/1.76=-0.93

Dato n=11 e p=0,20 con quali script di R si calcolano: a) il valore atteso; b) la

varianza; c) la deviazione standard, l'indice di asimmetria e di curtosi

x<-0:20

n<-11

p<-0.20

lambda<-n*p;lambda

a)

val_at<-lambda;val_at ## a ##

b)var<-lambda;var ## b ##

c)dev_std<-sqrt(lambda);dev_std ## c ##

i_as<-1/sqrt(lambda);i_as ## d ##

i_cur<-1/lambda;i_cur ## e ##

Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 con quali script di R si calcola: a)la

probabilità che x=0; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x>2 e che x sia

ricompreso fra 3 e 4

a)Probabilità x=0 →dbinom(0,11,0.07)

b)Probabilità x<3 → pbinom (2,11,0.07)

c)Probabilità x>2 → 1-pbinom(2,11,0.07) Probabilità 3<x<4 →

dbinom(3,11,0.07)+dbinom(4,11,0.07)

Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 calcolare: a) la probabilità che x=0; b) la

probabilità che x< 3;

c) la probabilità che x>2 e che x sia ricompreso fra 3 e 4

λ=3,3 con quali script di R si calcolano; a) il valore

Data una v.c. Poissoniana X con

atteso; b) la varianza; c) la deviazione standard, l’indice di asimmetria e di

curtosi?

Data una v.c. Poissoniana X con λ=3,3 calcolare; a) il valore atteso; b) la

varianza; c) la deviazione standard, l’indice di asimmetria e di curtosi?

Data la v.c. Poissoniana X con λ=3,2 con quali script di R si calcola: a) la

probabilità che x=10; b) la probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22 e

che x sia ricompreso fra 30 e 40

Probabilità x=10 →dpois(10,3.2)

Probabilità x<13 → ppois(12,3.2)

Probabilità x>22 → 1-ppois(22,3.2)

Probabilità 30<x<40→ppois(40,3.2) – ppois(30,3.2)

LEZIONE 34

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si

calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c)l’indice diasimmetria e di curtosi

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si

calcola: a) la probabilità che x=4,1; b) la probabilità che x< 3,9; c)laprobabilità che

x> 4.4 e che x sia ricompreso fra 4,2 e 4,5

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 come si calcolano: a) la

probabilità che x=4,1; b) la probabilità che x< 3,9; c)la probabilità che x> 4,4 e che x

sia ricompreso fra 4,2 e 4,5

LEZIONE 33

Data la v.c Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 calcolare: a) la

probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c) la probabilità che x> 37 e che x

sia ricompreso fra 31 e 44

a)p(X=28) =0 nelle uniformi continue la probabilità puntuale è nulla.

b)Probabilità x<32 → F(32)-F(20)=(0.0333*32)-(0.0333*20)=0.3996

c)Probabilità x<37 → 1-p(x<37)=1- [F(37)-F(20)]=1-[(0.0333*37)-(0.0333*20)=

1-0.5661=0.4339

Probabilità 31<x<44 → F(44)-F(31)= (0.0333*44)-(0.0333*31)=1.4652-1.0323=

0,4329

Dato a=10 e b= 25 con quale scrip di R si calcolano: a) il valore atteso; b) la varianza

e la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria, di curtosi e lo scostamento?

a<-10

b<-25

val_at<-a*b;val_at ## a ##

var<-a*b;var (1-b):var ## b ##

dev_std<-sqrt(a*b*(1-b);dev_std ## b##

i_as<-1-2*b/dev_std;i_as ## c ##

i_cur<-(1-6*b-6b^2)/(a*b*(1-b));i_cur ## c ##

scost<-abs(i_cur)-3;scost ## c ##

Data la v.c. Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 con quali

script si calcola: a) la probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c)la

probabilità che x> 37 e che x sia ricompreso fra 31 e 44

DATI

a<-20 ; b<-50 estremi intervallo

Probabilità x=28 → dunif (28,min=a,max=b)

Probabilità x<32 → punif(32,min=a,max=b)

Probabilità x>37 → 1-punif(37,min=a,max=b)

Probabilità 31<x<44 → punif(44,min=a,max=b)-punif