Statistica economica

N N

B) DIFFERENZA TRA MEDIE

2 σ

Varianza nota oppure

σ

2

N x́ , z

σ oppure σ    /2 

, , 1- ¿2

1 1

1 1

2

N x́ , z

σ oppure σ    /2 

, , 1- ¿2

2 2

2 2 √ √

2 2 2 2

σ σ σ σ

x́ x́

x́ x́

1 2 1 2



IC: – ) – ; – ) + ]

1 1

∗ + ∗ +

z z

2 2

¿ ¿

❑ ❑

N N N N

2 2

1 2 1 2

2 ≥30

S

Varianza ignota oppure S ed N (campionario, corretto, stimato)

2

N x́ , z

S oppure S    /2 

, , 1- ¿2

1 1

1 1

2

N x́ , z

S oppure S    /2 

, , 1- ¿2

2 2

2 2 √ √

2 2 2 2

S S S S

x́ x́

x́ x́

1 2 1 2



IC: – ) – ; – ) + ]

1 1

∗ + ∗ +

z z

2 2

¿ ¿

❑ ❑

N N N N

2 2

1 2 1 2

<30

N che N

2

S

Varianza ignota oppure S e sia (t-student)

1 2

2

N x́ ,

S oppure S

, ,

1 1

1 1

2

N x́ ,

S oppure S

, ,

2 2

2 2 ❑ ¿

; GL

t

   /2 

1- = t(

¿ 2

2

−2

N N

G.L. = +

1 2 + −2

N N

1 1

¿

Varianza congiunta: 2 2

( ) ( )

−1 ∗S + −1 ∗S

N N

2 1 1 2 2

=

S ¿

√ √

1 1 1 1

x́ 2 2

x́ x́ x́

∗ ∗( + ) ∗ ∗( + )

t S t S



IC: – ) – ; ( – ) + ]

1 ❑ ❑

2 1 2

¿ N N N N

2 2

1 2 1 2

Proporzione X 1

N x =

p̂̂

, ,

1 1 1 N 1

X 2

N x =

p̂̂

, ,

2 2 2 N 2

z

   /2 

1- ❑

2 √ ̂̂ ∗(1− )

p p̂̂

^ ^ ∗¿ ∗¿

z z

1 1

( − ) ^

p p p



IC: - ; +

¿2 ¿2

1 2 N 1

√ ̂̂ ∗(1− )

p p̂̂

2 2 

N 2

C) INTERVALLI DI CONFIDENZA PER LA VARIANZA 2

2 (no

x́ media) , (chi

χ quadro)

   /2 

N, , 1-

S  /2

 

1-  /2

1-

N−1

G.L. = 2

χ

2

χ = ❑

( ;G . L .)

¿2 2 2

χ

2

χ = ❑

(1− ;G . L.)

1−¿2 2

2 2

( )∗S ( )∗S

−1 −1

N N

IC: [ ; ]

2 2

χ χ

¿2 1−¿ 2

D) DIMENSIONE CAMPIONARIA

2 σ

Varianza nota oppure

σ

E = errore campionario

2

∗σ

Z /2

α

[ ]

N= E 2 ≥30

S

Varianza ignota oppure S ed N

E = errore campionario

2

∗S

Z /2

α

[ ]

N= E ¿

2 30

Varianza ignota oppure S ed N

S

E = errore campionario

2

∗S

t /

α 2

[ ]

N= E

Proporzione

E = errore campionario

2

1 z α/ 2

[ ]

N= 4 E

3. STATISTICA ECONOMICA IN SENSO STRETTO

A) INDICI SEMPLICI

Da Base Fissa Vs Base Mobile

La Base Fissa ha tante tabulazioni quanti elementi della tabella. Sulla sinistra si mette il primo

elemento e sulla destra si riportano gli elementi successivi cominciando sempre dal primo.

La Base Mobile ha una tabulazione in meno rispetto al numero di elementi della tabella. Sulla sinistra si

riporta il primo, sulla destra progressivamente i successivi al primo.

Nel rapporto al numeratore si mette il valore corrispondente all’elemento di destra e al denominatore

quello corrispondente all’elemento di sinistra.

Dalla base Fissa si passa alla Base Mobile con una frazione che ha al numeratore il corrispondente

tabulatore della base fissa precedentemente calcolata e al denominatore il rapporto della base fissa

prima calcolata che lo precede. E così via fino alla fine.

Da Base Mobile Vs Base Fissa

Si calcola la Base Mobile facendo una tabulazione in meno del numero di elementi da tabulare. Sulla

sinistra si riporta il primo elemento e a destra il successivo e così via progressivamente fino alla fine.

Nel rapporto al numeratore si mette il valore corrispondente all’elemento di destra e al denominatore

quello corrispondente all’elemento di sinistra

Dalla Base Mobile si passa alla corrispondente Base Fissa grazie alla proprietà transitiva delle basi:

ossia si moltiplica progressivamente (partendo dal valore 1 per la medesima frazione) il risultato della

frazione della Base Mobile per tutti i valori che lo precedono (compreso 1).

Variante calcola indice a Base Fissa da anno X

Si creano tante tabulazioni quanti sono gli elementi considerati. A sinistra si riporta il valore

considerato come base (per esempio l’anno) e a destra progressivamente tutti gli altri valori da tabulare

partendo dal primo. Si realizza una frazione che ha al numeratore il valore corrispondente all’elemento

di destra e al denominatore il valore dell’elemento preso come base. Quindi al denominatore avremo

sempre lo stesso valore, quello corrispondente all’elemento preso come base.

Attenzione: in questo caso non è possibile passare alla Base Mobile agendo sui risultati.

Variante calcola indice a Base Mobile da anno X

Prima bisogna calcolare la Base Mobile normalmente.

Si creano poi tante tabulazioni quanti sono gli elementi considerati. A sinistra si riporta il valore

considerato come base (per esempio l’anno) e a destra progressivamente tutti gli altri valori da tabulare

partendo dal primo. Spostandoci verso il basso si moltiplicherà pertanto il valore 1 (corrispondente al

risultato della frazione del valore preso come base) per i risultati corrispondenti della Base Mobile

−1

(x∗y∗…)

normale. Spostandoci verso l’alto si eleverà alla potenza -1 [ ] il prodotto dei risultati

corrispondenti della Base Mobile normale.

B) INDICI COMPLESSI (PIU’ BENI CONTEMPORANEAMENTE)

Strumenti: =tempo

t iniziale

0

Beni (paniere) Anni t = tempo finale

1

Prezzi (P) Quantità (Q) Σ( Pi ,n∗Qi , 0)

L, P

I

Laspeyres = =

0 n Σ( Pi ,0∗Qi , 0)

Variazione Prezzi

∆ = in %

P Σ(Pi ,n∗Qi , n)

P, P

I

Paasche = =

0 n Σ(Pi ,0∗Qi , n)

Σ( Pi ,0∗Qi , n)

L, Q

I

Laspeyres = =

0 n Σ( Pi ,0∗Qi , 0)

Variazione Quantità

∆ = in %

Q Σ( Pi ,n∗Qi , n)

P ,Q

I

Paasche = =

0 n Σ( Pi ,n∗Qi , 0) t

Attenzione: se vengono indicati tre anni è necessario che venga comunque definito il tempo e

0

t

quello 1

C) TREND

Bisogna rappresentare graficamente con una spezzata tutte le coppie di valori (x,y) attraverso un grafico

cartesiano in cui sull’asse delle x poniamo gli anni e sull’asse delle y i prezzi. Bisogna poi descrivere

l’andamento storico (trend): valore massimo, minimo, media, varianza…

D) TREND CON MINIMI QUADRATI (O RETTA DI REGRESSIONE)

i) Sia data una tabella di dati X e Y, realizzo una tabella del genere: x

y x́

( - )* (

( - 2

i

x i

x́ (x − x́)

x y ( - )

i y i

ý ý

) - )

i

0

1

2

…

TOT X TOT Y ////// ////// TOT TOT

Attenzione: gli anni o i valori della tabella X sono delle etichette. Comincio dal numerare con 0,1,2,3,

ecc. Mentre i valori di y sono quelli dati.

ii) Calcolo la RETTA:

y = A * x + B

− )∗( − )

Σ(x x́ y ý

i i

A = 2

−x́)

Σ(x i

Σ x Σ y

i i

x́= ý=

n n

x y

ý− A∗x́

B =

iii) Trovata la y calcolo il primo e il secondo punto della retta di regressione:

x y

0 A*x + B

−B 0

A

Attenzione: ricordarsi di cambiare il segno del secondo punto (se viene positivo, considero negativo; se

viene negativo lo considero positivo!

iv) Disegno la retta di regressione e poi riporto la nuvola die punti (quelli dati nella tabella)

y retta di regressione

B

−B

A

E) MEDIA MOBILE Pari: K = 4 (si salta il primo valore e gli ultimi due)

Il raggruppamento “K” può essere: K = 3 (si salta il primo valore e l’ultimo)

Dispari K = 5 (si saltano i primi due e gli ultimi due valori)

i) Si sommano i valori raggruppati in 3 (K=3), 5 (K=5) o 4 (K=4) sulla base dei salti di valori

di cui sopra.

ii) Si considera il valore mediano e lì si scrive la somma dei valori suddetti.

iii) Si calcola la media mobile dividendo il totale per 3 (K=3), 5 (k=5) p 4 (K=4).

MM

ANNI PREZZI K = 3 MM3 K=5 K=4 MM4

5

2000 2 - - - - - -

2001 4 11 11/3 - - 12 12/4

2002 5 10 10/3 15 15/5 13 13/4

2003 1 9 9/3 19 19/5 15 15/4

2004 3 10 10/3 17 17/5 12 12/4

2005 6 11 11/3 19 19/5 18 18/4

2006 2 15 15/3 - - - -

2007 7 - - - - - -

4. PROBABILITÀ

A) MODELLO DI BERNOULLI

0 ≤ p ≤ 1

p = probabilità sempre 0 (collegata a prove e successi)

N = numero di prove

X = numero di successi

! = fattoriale (produttoria del numero e di tutti i suoi precedenti (es. 5! = 5*4*3*2*1)

1! = 1

0! = 1 ( )

nx n−x

x (1− p)

p

P(x=x) = * *

( ) n!

nx si scompone in !∗( )

x n−x !

CONGIUNZIONI DELLE PROBABILITA’

Almeno o maggiore di o al minimo:

¿ ¿ ¿

≥ Almeno Almeno

P(x oppure 1 – [P(x ]

Al più o minore di o al massimo: ¿ ¿

≤ Al più¿ Al più

P(x oppure 1 – [P(x ]

Più di:

¿ ¿

Più di ≤ più di¿

P(x oppure 1 – [P(x ]

Meno di:

¿ ¿

Meno di ≥ Meno di¿

P(x oppure 1 – [P(x ]

Compreso tra: ¿

≤x ≤N

P(N ]

ESERCIZIO:

Nel caso di un esercizio dove si chiedano le seguenti cose:

a) Distribuzione di probabilità

b) Funzione di ripartizione

c) Media e varianza

Per il punto a) occorre creare un grafico a tre colonne: nella prima si riportano i successi, nella seconda la

distribuzione di probabilità che è semplicemente la probabilità di Bernoulli calcolata per i singoli successi

corrispondenti e nella terza colonna si calcola la frequenza cumulata [F(x)] co