Statistica

PROPRIETA’ NUMERI INDICI ELEMENTARI

Per il modo in cui sono costruiti i numeri indici elementari presentano alcune

caratteristiche (proprietà) formali.

Condizione di identità: il numero indice calcolato per il periodo

 base è uguale a 1

x

I t =1

t t= x t

Condizione di reversibilità delle basi: l’indice calcolato per il

 tempo t con base s coincide con il reciproco dell’indice calcolato al

tempo s con base t. 63

Condizione di transitività (o circolarità):dati due o più indici rIs e

 sIt, l’indice rIt ottenuto in via diretta è uguale all’indice rIt ottenuto

“transitando” per s, ossia moltiplicando tra loro i due indici.

In virtù di questa proprietà è possibile passare da indici con

o stessa base fissa a indici con base diversa

passare da una serie a base fissa ad una serie a base mobile

o passare dalla serie di numeri indici a base mobile alla

o corrispondente serie di numeri indici a base fissa

Condizione di commensurabilità: il numero indice non deve

 variare se muta l’ordine di grandezza delle unità di misura impiegate

per esprimere il fenomeno X.

Condizione di scomposizione delle cause: in corrispondenza di un

 bene o servizio si conoscano per i tempi 0 e t il valore monetario (v0

e vt ) il prezzo unitario (p0 e pt ) e la quantità (q0 e qt ). Come il

valore monetario della merce può essere scomposto nel prodotto

delle cause o componenti elementari di prezzo e quantità ( cioè v=p

q) così il numero indice del valore monetario può essere scomposto

nel prodotto dell’indice del prezzo per l’indice delle quantità.

OPPURE

nel caso dei numeri indici semplici vale la proprietà di scomposizione

delle cause o di reversibilità dei fattori, ovvero l’indice del valore è

esprimibile come prodotto tra l’indice dei prezzi e quello delle

quantità. E quindi è possibile scomporre la variazione del valore nelle

sue due componenti, variazione dei prezzi e variazione delle quantità.

Esercizio. È rilevato il prezzo dei due beni riportati in tabella in due anni

diversi. P20 Q2016 P20 Q2017

16 gr 17 gr

Caffè 2,56 1000 2,65 750

Bisco 2,23 500 2,21 600

tti

Calcolare quanto la variazione del valore dei due beni sia dovuta al variare

dei prezzi e quanto al variare delle quantità.

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Esercizio. Considero la serie dei numeri indici a base mobile del prezzo

delle mele.

Calcolarela serie dei numeri indici a base fissa 1991=1

DAGLI INDICI ELEMENTARI AGLI INDICI SINTETICI

I numeri indici semplici sono quindi rapporti che mettono a confronto

intensità di uno stesso fenomeno in 2 o più situazioni: es. prezzo di un

pacchetto di caffè di una data marca nei vari anni..

PROPRIETA’: Essi misurano le variazioni relative, sono sempre positivi e si

configurano come numeri puri, cioè indipendenti dall’unità di misura in cui

sono espresse le grandezze considerate.

Se le componenti sono tutte della stessa specie la combinazione dei numeri

indici semplici da luogo ad un numero indice sintetico.

Vengono considerati numeri indici sintetici: gli indici dei prezzi o della

produzione industriale….

Il problema fondamentale dei numeri indici consiste nel rappresentare in

modo semplice un fenomeno di per sé complesso.

I problemi da affrontare per costruire un numero indice o una serie di numeri

indici si possono compendiare nei punti seguenti:

Scelta delle grandezze;

 Scelta della situazione base;

 Scelta del criterio di aggregazione;

 Scelta di un sistema di ponderazione.

 { }

a , a . a

Consideriamo un gruppo di n beni e/o servizi osservati in k

1 2 … n

situazioni distinte. Quando si costruiscono numeri indici dei prezzi si

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presuppone che la qualità dei dei beni resti invariata. Disponendo dei dati

come nella tabella seguente si possono calcolare le variazioni dei prezzi

quantità o valori tra 2 o più situazioni.

Schema di rappresentazione dei

prezzi e delle quantità di n

merci osservate nel tempo

base 0 di riferimento e nel

tempo t.

SCELTA DELLE GRANDEZZE

La scelta dei beni può essere campionaria ( come in genere si verifica) o

esaustiva e viene effettuata tenendo presenti soprattutto degli obiettivi

conoscitivi da perseguire. Nel primo caso l’indice si chiamerà

rappresentativo nel secondo caso completo.

Quanto alla rappresentatività l’indice dovrebbe risultare tanto più adeguato

quanto più adeguato quanto maggiore è il numero dei beni sui quali viene

calcolato. Ciò dipende dalla scelta dei beni i cui prezzi possono fornire con le

loro variazioni una indicazione fedele delle variazioni di tutti i beni scambiati

in un dato mercato (Irving Fisher).

SCELTA DELLA SITUAZIONE BASE

Il denominatore del rapporto che definisce il numero indice ne identifica la

base. Nel caso dei numero indici che misurano le variazioni temporali la

scelta della base è riferita di solito ad una unità di tempo in cui le grandezze

considerate assumono valori abbastanza normali, vale a dire non troppo alti

o bassi.

§ In una serie di numeri indici può essere fissa quando tutte le variazioni

calcolate rispetto allo stesso denominatore, oppure mobile o variabile,

quando ciascun termine della serie viene rapportato al termine precedente.

SCELTA DEL CRITERIO DI AGGREGAZIONE

Le alternative sono sostanzialmente due. Si può procedere calcolando

l’indice:

I. Come rapporto di medie a condizione di operare su grandezze

additive (sommabili perché omogenee).

II. Come media di rapporti (o indici elementari).

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Facciamo un esempio.

Quale criterio di aggregazione va scelto nella costruzione di un indice

sintetico nelle due situazioni?

a) I valori osservati nella Tabella a si riferiscono a prezzi della frutta al kg. Le

unità di misura delle grandezze che confrontiamo sono paragonabili. È

possibile utilizzare il I criterio di aggregazione un indice sintetico come

rapporto di medie a condizione di operare su grandezze addittive.

b) I valori osservati, nonostante siano entrambi dei prezzi medi, si

riferiscono a ordini di grandezza differenti: il primo è un prezzo al Kg il

secondo è un prezzo al m3. Nel caso dei dati della Tabella 2 il criterio di

aggregazione è il II, ovvero come media di rapporti.

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n ( )

1 2,03 0,221 1,157+1,145

∑

= + = =1,151

I 2 1,755 0,193 2

i=1

Esercizio. Calcolare nel caso a) e nel caso b) il numero indice SINTETICO a

base 2006 per l’anno 2009.

CASO A

1 ( )

2,125+0,666

2 1,3955

= = =0,837

I 1 1,667

( )

+0,889

2,4 s

2

CASO B

( )

1 2,125 0,243 0,867+1,18

= + = =1,0235

I 2 2,45 0,206 2

GLI INDICI SINTETICI

I confronti tra aggregati economici nel tempo e nello spazio ovviamente non

riguardano un singolo bene, ma un insieme di beni (e servizi). Ad esempio, i

beni e servizi compresi nell’aggregato consumi finali. Di conseguenza, se

vogliamo valutare l’andamento dei prezzi di un paniere di beni, non

possiamo ricorrere al calcolo degli indici semplici ma dobbiamo calcolare un

numero indice sintetico che sintetizzi l’andamento, a volte molto

differenziato, dei prezzi dei diversi beni.

2005 Prezzo Quantità 2006 Prezzo Quantità

Mele 1,50 1 kg Mele 1,55 2 kg

Olio 4,40 1 l Olio 4,53 2 l

Giornale 1,00 1 copia Gionale 1,00 1 copia

Scarpa 70,00 1 paio Scarpa 72,50 1 paio

È possibile calcolare un indice sintetico che indichi di quanto sono variati i

prezzi del paniere considerato, ma bisogna passare da una media semplice

di rapporti ad una media di rapporti pesata.

Il paniere monitorato negli anni 2005 e 2006 ha grandezze NON OMOGENEE.

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Com’è possibile sommare tra loro quantità così diverse?

Se scegliamo di ponderare con i valori, accordando la preferenza a utilizzare

coefficienti riferiti solo al tempo base o a quello corrente si ottengono 4

diverse ponderazioni:

INDICI DEI PREZZI DI LASPEYRES

INDICI DEI PREZZI DI PAASCHE

Le differenze tra i due indici:

Come si vede, entrambi gli indici complessi possono essere espressi come

medie ponderate dei numeri indici semplici dei prezzi dei singoli beni che

fanno parte dell’aggregato (pt/p0 per ciascun bene).

La differenza tra i due indici complessi sta nel fattore di ponderazione, che

nell’indice diLaspeyresè costituito dalla quota sul totale della spesa effettiva

per il bene i nell’anno base, mentre in quello di Paasche è costituito dalla

quota sul totale della spesa fittizia p0 qt.

Nel primo caso (Laspeyres) l’indice è pertanto detto a ponderazione fissa

alla base, mentre nel secondo (Paasche) è detto a ponderazione variabile.

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Esempio. La seguente tabella contiene le informazioni su prezzi e quantità

relative a tre prodotti in due periodi diversi (base:periodo 0).

Periodo 0 Periodo 1

Prez Quant Prez Quant

zo ità zo ità

Matite 1,5 10 2 25

Penne a 3 5 5 2

biro

Penne a 2,5 1 2,5 5

sfera

Calcolate l’indice dei prezzi di Laspeyres e di Paasche e fornite un

interpretazione dei risultati ottenuti.

Periodo 0 Periodo 1

Prez Quant Prez Quant p p q p p q

o t o t

zo ità zo ità q q

o t t o

Matite 1,5 10 2 25 15 50 37, 20

5

Penne a 3 5 5 2 15 10 6 25

biro

Penne a 2,5 1 2,5 5 2,5 12, 12, 2,5

sfera 5 5

32, 72, 56 47,

5 5 5

L’indice così calcolato mostra come i prezzi siano

cresciuti di circa il 46% tra il periodo 0 e il periodo 1.

L’indice di Paasche invece mostra che la variazione

percentuale dei prezzi tra un periodo e l’altro è stata

del 29% circa.

La differenza tra i due indici è imputabile alle diverse misure di

ponderazione considerate nei due indici e alla variazione delle quantità

acquistate fra i due tempi. Dalla tabella si può notare che vi è stata una

sostituzione delle penne a biro (il cui prezzo è aumentato del 67% tra il

periodo base e quello corrente) con le penne a sfera.

GLI INDICI DELLA QUANTITA’ DI LASPEYRES E PAASCHE

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INDICE DI FISHER

Il numero Indice di Fisher (dei prezzi e delle quantità) non è altro che la

media geometrica degli indici di Laspeyres e Paasche.

Esempio. La tabella seguente riporta i prezzi in euro di quattro prodotti

venduti in un supermercato nei mesi di gennaio e dicembre 2009.

Tipo di Gennaio Dicembre

prodotto Prezz Quanti Prezz Quanti

o tà o tà

A 1,45 413 1,5 40