Statistica

Il termine statistica

Il termine statistica deriva da "Scienza dello Stato". Il ruolo della statistica è quello di aiutare a comprendere la realtà e sostenere le scelte per migliorare la vita dei cittadini.

Statistica economica

La statistica economica ha il compito di sviluppare concetti, definizioni, classificazioni e metodi; di produrre informazioni statistiche che descrivano lo stato e l'andamento nel tempo e nello spazio dei fenomeni economici.

Matematica vs statistica

La matematica studia le quantità, ovvero i numeri, lo spazio, le strutture, i calcoli, le funzioni. La statistica è la disciplina che tratta la collezione, l’analisi, l’interpretazione, la presentazione e l’organizzazione dei dati. Utilizza la matematica, ma per un altro scopo.

Utilizzo della statistica

L'Istat rileva il numero degli occupati e dei disoccupati, per fare ciò bisogna definire precisamente chi è un occupato (caratteristiche legate all’età 16-65), secondo l'Istat sono considerati occupati coloro che hanno svolto almeno un’ora di lavoro nella settimana in cui vengono effettuate le rilevazioni, vengono inclusi i malati e le donne in maternità, che vengono retribuiti.

Utilizziamo la statistica per l’equo indennizzo, ovvero un importo di indennizzo che viene dato al lavoratore quando questo ha avuto un infortunio, anche l’autorità nazionale anticorruzione utilizza questa materia. Monitora anche l’attività giuridica in Italia, anche per confrontare le tempistiche di produzione delle sentenze. Usiamo la statistica quando abbiamo bisogno di metodi per estrarre informazioni dai dati osservati o raccolti al fine di ottenere una comprensione più profonda di tali dati sulle situazioni che essi rappresentano. La statistica e l’analisi dei dati forniscono dei metodi che possono aiutare nella comprensione di quasi tutti gli ambiti di esperienza umana.

Organizzare dati

Si definisce unità statistica un oggetto o un soggetto specifico, come una persona, un’azienda o uno stato, su cui si sono raccolte informazioni. È il soggetto su cui facciamo la rilevazione. Il carattere è la caratteristica oggetto di studio che assume valori differenti su differenti unità. Al contrario di una variabile dove le sue determinazioni non sono tutte uguali, il valore di una costante è fisso. Chiameremo osservazione o misura il valore di una variabile sull’elemento.

Variabile

• Unità statistica
• Osservazione/misura

Le variabili, i caratteri possono essere:

• Qualitativi, che vengono espressi attraverso il giudizio o la qualità, non vengono espressi attraverso il numero, come il genere, la provenienza o il livello scolare;
• Quantitativi, i quali vengono espressi attraverso un numero, come l’età, il denaro, il numero dei componenti della nostra famiglia, il numero delle nascite o il PIL.

Per i caratteri qualitativi si parla anche di mutabile e si articolano in due grandi classi:

• Nominali, per i quali le determinazioni non sono ordinabili, come il colore degli occhi, il genere, la provenienza geografica;
• Ordinali, per i quali è possibile stabilire una graduatoria tra le stesse, come il livello scolare, giudizio da scarso a ottimo.

Le variabili quantitative possono essere distinte in:

• Discrete, in cui i valori sono numerabili, non possono essere assunti valori intermedi come ad esempio per i componenti della famiglia, abbiamo 3 persone, non 3,4;
• Continue, in cui i valori possono assumere qualsiasi valore numerico in un dato intervallo, come età, peso, reddito, consumi.

Esempi di esercizi

Esercizio 2.3

• Variabile: libri letti per studente
• Unità statistica: studente
• Quantitativo discreto

Esercizio 2.4

• Variabile: cm girovita
• Unità statistica: 9 nipotini
• Collettivo: 9
• Quantitativa continua

Esercizio 2.5

• Variabile: marca: qualitativa nominale
• Condizione macchina: qualitativa ordinabile
• Cilindrata: quantitativa discreta
• Capienza bagagliaio: quantitativa continua
• Unità statistica: macchine vendute
• Collettivo: 371

Simbolo di sommatoria

L'operatoria di sommatoria ∑ è un simbolo matematico usato per indicare la somma dei valori.

Esempio:

• 5 libri il prezzo viene indicato con la XX 25€ X= prezzo Somma i prezzi 51 ∑ xX 60€ 25 + 60 +27 + 53 di tutti i libri i² i=1X 27€ + 16= 1813X 53€ X1 + x2 + x3 + x4 4X 16€ + x5=5 i1 + i2 + i3 + i4 + i5=Somma i prezzi dei primi 4 libri 165 4∑ x ii=1Somma i prezzi degli ultimi 4 libri 5∑ x156 ii=2

Esercizio 2

Somma le spese di tutti e Somma le spese deiID SPES sei primi quattro

• A X1+x2+x3+x4+x5+x6= X1+x2+x3+x4=
• 1 130 I1+i2+i3+i4+i5+i6= 407 I1+i2+i3+i3= 290
• 2 40 36 43 70 ∑ ∑x x4 50 i ii=1 i=15
• 5 326 85

Esercizio 3

Gruppo A

• ID N LIBRI
• 1 0
• 2 3
• 3 5
• 4 2
• 5 3
• 5 5∑ ∑x x13 14i ii=1 i=1

Salari giornalieri

• SALARI: 75 42 125 61 X1+X2+X3+X4=i1+i2+i3+i4=1) Scrivere la sommatoria dei 4 303 4∑ xsalari ii=1
• 2) Scrivere la sommatoria dei 242 3∑ xprimi 3 salari ii=1
• 3) Scrivere la sommatoria dei 26735 4∑ 2xquadrati dei 4 salari ii=12 2 2 2+42 +125 +61 =¿75 ( )4) Scrivere il quadrato della 91809 24∑ xsommatoria dei 4 salari ii=12 =¿303

Organizzare i dati

Quando si raccolgono i dati, le informazioni ottenute da ogni membro di una popolazione o di un campione sono codificate in sequenza. Questa sequenza di dati è chiamata dati grezzi. I dati grezzi sono dati codificati nella sequenza in cui sono raccolti. Vengono anche chiamati protocollo elementare, perché contengono informazioni individuali su ogni membro del collettivo monitorato.

Esempio: Dati grezzi - Età di 20 studenti

21 19 24 25 29 20 27 37 33 22 18 24 19 28 22 19 27 25 20 21

Genere di 20 studenti

M F F M F M M M F F M F F F M M F F F M

Distribuzione di frequenza

Quando l’obiettivo dell’analisi che vogliamo svolgere contiene molte informazioni è necessario organizzare i dati e sintetizzarli in modo esaustivo e senza perdita di informazione attraverso le tabelle statistiche di frequenza. Una tabella statistica viene definita, in maniera generica distribuzione statistica semplice o distribuzione di frequenza. Abbiamo una distribuzione di frequenza alla presenza di qualunque tabella che associa a ogni modalità del carattere una frequenza assoluta, dove per frequenza assoluta s’intende il numero delle unità statistiche che presentano la modalità.

Organizzazione e rappresentazione dei dati qualitativi

Una distribuzione di frequenza per dati qualitativi elenca tutte le modalità del carattere e il corrispondente numero di elementi che appartengono ad ogni categoria.

Variabile livello scolastico

Se le determinazioni sono qualitative si utilizza n perché non si possono sommare, dalla somma delle frequenze assolute deve corrispondere l’intero collettivo.

Esempio: Genere di 20 studenti

Distribuzioni delle frequenze relative e percentuali

La frequenza relativa di una categoria è ottenuta dividendo la frequenza di una categoria per la somma di tutte le frequenze f (frequenza relativa).

Frequenza relativa = frequenza di quella categoria / somma di tutte le frequenze

La percentuale di una categoria è ottenuta moltiplicando la frequenza relativa per 100.

Percentuale = frequenza relativa * 100

Esempio:

Somma delle frequenze relative = 1

Rappresentazione grafica di dati qualitativi

Una rappresentazione grafica può rilevare a prima vista le principali caratteristiche di un data set. Il grafico a torta e il grafico a barre sono due tipi di grafici usati per rappresentare dati qualitativi.

Grafico a torta

Si tratta di un cerchio diviso in porzioni che rappresenta le frequenze relative o percentuali di una popolazione o di un campione appartenente a categorie differenti. Da utilizzare quando il numero di modalità è contenuto. Deve essere chiaro e seguito da una leggenda.

Esempio di grafico a torta:

Grafico a barre

È un grafico composto di barre le cui altezze rappresentano le frequenze delle rispettive categorie. Le frequenze sono rappresentate sull’asse verticale delle ordinate e la loro altezza rappresenta la frequenza delle categorie corrispondenti. Le categorie sono sull’asse orizzontale delle ascisse e tutte le categorie sono rappresentate da intervalli della stessa lunghezza (c’è uno spazio tra le diverse categorie).

Grafici a barre per percentuali

I grafici a barre per distribuzioni di frequenza relative e percentuali possono essere rappresentati semplicemente riportando le frequenze relative o le percentuali, invece delle frequenze assolute sull’asse verticale.

Organizzare i dati quantitativi

Esempio: È data la distribuzione di 1863 famiglie italiane secondo il numero di componenti.

Frequenza totale = 1863

a) Indicare il numero di unità statistiche, la tipologia del carattere rilevato, il numero di modalità del carattere.

b) Calcolare per ogni classe della distribuzione le frequenze relative e percentuali.

Rappresentare i dati quantitativi

I grafici a barre possono essere utilizzati per rappresentare le frequenze relative percentuali del carattere quantitativo. Spesso per dati quantitativi con un ampio numero di valori differenti è opportuno costruire distribuzioni di frequenza basati su classi. Esempio: Guadagno settimanale di 120 impiegati di una grossa azienda.

Totale = 120

Guadagni settimanali e rispettive frequenze relative e percentuali:

Frequenza cumulata

Una frequenza cumulata è il numero totale di valori che sono inferiori a un certo valore. Per ottenere una frequenza cumulata di una classe, sommiamo la frequenza di quella classe alla frequenza di tutte le classi precedenti. Si indica con N_i.

Rappresentazione grafica dati quantitativi

I caratteri quantitativi possono essere rappresentati con il diagramma a barre e a torta, per rappresentare la frequenza percentuale di un data set rilevato ad un carattere quantitativo discreto.

Istogramma

Per rappresentare le frequenze in cui le modalità sono molto numerose e quindi intervallari, bisogna utilizzare un istogramma. La prima differenza è che le barre non sono suddivise da intervalli. Sull’asse delle ascisse vengono riportati gli intervalli o le classi, mentre sulle ordinate sono rappresentate le frequenze, frequenze relative o percentuali. In un istogramma le barre sono adiacenti l’una all’altra, per sottolineare la continuità di dati continuativi. Ogni barra possiede un’area proporzionale alla frequenza della classe.

Esempio:

Esempio di rappresentazione di età

Rileviamo l’età di un collettivo di soggetti.

Per poter riportare le modalità dello stesso valore in presenza di ampiezze delle classi diverse devo trovare la densità dividendo la frequenza per l’ampiezza.

densità = frequenza percentuale / ampiezza della classe

L’istogramma, quando le ampiezze della distribuzione non sono uguali, deve riportare la densità di frequenza. Le frequenze percentuali sono le aree di ciascun rettangolo. Lo leggo in termini di ampiezza dell’area e non di altezza.

Poligono di frequenza

Generalmente utilizzato quando abbiamo una distribuzione di frequenza intervallare e può essere disegnato unendo i punti del valore centrale dell’intervallo.

valore centrale = (valore più grande + valore più piccolo) / 2

Misure di tendenza centrale

Misure descrittive

Le distribuzioni di frequenza e i grafici possono essere considerati un primo modo di sintetizzazione dei dati. Tuttavia, essi non sono d’aiuto quando abbiamo bisogno di descrivere verbalmente le principali caratteristiche dei dati. Le misure di sintesi sono estremamente utili nel comprendere e comunicare le più importanti caratteristiche di un data set.