Segnali e sistemi

Descrivere e dare una definizione formale del concetto di indipendenza tra un numero generico n di eventi.

(|)=()

Se I due eventi A e B si dicono indipendenti . L’osservazione che B si realizza non cambia la probabilità di

(|)= ()=

osservazione di A. Inoltre essendo P(AB)/P(B) osserviamo che A e B sono indipendenti se e solo se

2… n)

P(A)P(B). In generale gli eventi (1 sono indipendenti se, per ogni sottosequenza di lunghezza

: Usando il calcolo combinatorio sappiamo

che il numero di sequenze di r eventi è (nr). Quindi la verifica sull’indipendenza di n eventi richiede l’analisi di un

numero di sequenze pari a

Descrivere il concetto di spazio uniforme continuo

Gli spazi campione con un numero di elementi infinito non numerabile si dicono continui. Il calcolo delle probabilità in

tali spazi non è sostanzialmente differente da quello negli spazi discreti.

Consideriamo la scelta casuale di un numero reale nell’intervallo [0,10] Lo spazio campione è quindi l’intervallo

S=[0,10]

le probabilità possono essere calcolate

Un dispositivo elettronico è caratterizzato da un tempo di vita con funzione densità di probabilità uniforme tra 1 e 5

anni. Mostrare quanto vale la probabilità che il dispositivo resti in funzione per almeno 3 anni?

Descrivere come sia possibile interpretare uno spazio campione discreto come continuo

Si consideri un esperimento aleatorio consistente nella scelta tra due numeri, diciamo tra 0 e 1. Lo spazio campione è

S={1,0}. Supponiamo che la funzione probabilità sia tale che P{0}=p e P{1}=1-p con p noto. Possiamo pensare tale

esperimento eseguito sullo spazio discreto con i soli punti 0 e 1, come se la scelta fosse estesa a tutto l’asse reale, ma

con una funzione probabilità che concentri tutto il “peso” cioè tutta la massa di probabilità sui punti ‘0 e 1’.

Si descriva come una variabile aleatoria trasforma un evento in un intervallo dell’asse reale.

Il concetto di variabile aleatoria è fondamentale nello studio della probabilità, in quanto consente di associare ad ogni

risultato di un esperimento un numero reale e quindi di trasformare lo spazio campione in un insieme di numeri reali.

Il vantaggio è quello di poter applicare alla risoluzione dei problemi di probabilità i potenti strumenti dell’analisi

Ω

matematica. Per un dato esperimento una variabile aleatoria X e una funzione costruita su e che assume valori

nell’insieme

Dove ho denotato con Xconrsivo il codominio della funzione X, ovvero l’insieme dei possibili valori assunti da X.

Una VA X è una funzione X:SR che associa un numero reale x=X(r) a ciascun punto dello spazio campione r€S. Inoltre

ciascun intervallo di R è immagine, attraverso X di un evento in S.

Sia data la variabile aleatoria X con la seguente funzione di distribuzione comulativa (CDF)…

Fornire una classificazione delle variabili aleatorie sulla base della loro funzione di distribuzione cumulativa CDF

Una variabile aleatoria di si dice:

- Continua se F(x) è continua per tutti i valori x € R

- Discreta se F(x) è costante a tratti

- Mista se Fx (x) non è continua ma neanche costante a tratti

Enunciare e dimostrare le proprietà della funzione densità di probabilità(PDF) di una variabile aleatoria.

La funzione densità di probabilità PDF di una variabile aletaria X è la derivata della CDF F(x)

1 Essendo f(x) una funzione non decrescente, essa non può essere negativa

2 La CDF è una primitiva della PDF DIM

Essendo la PDF la derivata della CDF si ha

Fissati x2=x e x1=-∞ ed essendo F(-∞) = 0, si ottiene il risultato desiderato.

3 Normalizzazione Dalla seconda proprietà, fissato x=∞, si ottiene il risultato F(∞)=1

4

Date x1 exp(1) e x2 exp(2) con rispettive fuonzione di densità di probabilità PDF …. Spiegare se tale funzione è una

PDF corretta o meno.

Esempio degli esempi di variabili aleatorie discrete. Per ognuna di esse, disegnare la funzione massa di pro PMF

Utilizzando le delta di Dirac, la PFD di una variabile aleatoria discreta può essere scritta come

In questo caso si può limitare la definizione di X ai soli punto {X1} in cui si

concentra la massa di probabilità. Si ottiene quindi un equivalente spazio campione discreto S’{x1,x2…} con probabilità

Definire e fornire un esempio di trasformazione di variabile aleatoria.

Sia x una variabile aleatoria definita sullo spazio di probabilità (Ω, S,P) e g(x) una funzione definita in R e a valori in R,

tale che l’insieme di definizione di g(x) continua il codominio Xcorsivo della funzione X(w).La trasformazione Y=g(X)

definisce una nuova variabile aleatoria ottenuta associando a w € Ω il valore Y(w)=g[X(w)]€R.

Enunciare il teorema Fondamentale per le trasformazioni di variabili aleatorie.

1 per ogni valore di y che non è soluzione di y=g(x) cioè fuori dal condominio di g(x) si ha fy(y)=0

Se g(x) ha tratti orizzontali, allora Y può avere delle delta di Dirac in loro corrispondenza.

2. Per ogni valore di y nel codominio di g(x) (non orizzontale), indichiamo cin x1,…,xN le soluzioni di y=g(x). La PDF di Y

3.

vale dove

Calcolare il valor medio della variabile aleatoria indicatore di un evento.

Enunciare e dimostrare la proprietà del valor medio di una variabile aleatoria.

Date due VA Y=g(X) e Z=h(X), entrambe funzione di X, allora per ogni possibile coppia di valori reali (c,d) si ha

Si definisca il momento di ordine n di una variabile aleatoria X.

Data una VA X, si definisce momento di ordine n della VA la quantità (con n intero positivo)

L’uguaglianza è dovuta al teorema dell’aspettazione

Enunciare e commentare la disuguaglianza di Chebychev.

Enunciare e commentare il teorema della probabilità totale per variabili aleatorie

Definire la funzione di distribuzione comulativa (CDF) congiunta di una coppia di variabili aleatorie continue

Date le variabili aleatorie X e Y costruite su uno stesso spazio di probabilità (Ω, S,P) la loro CDF congiunta è

La CDF congiunta è chiaramente una funzione reale di due

variabili reali a valori [0,1]. Essendo una funzione di due variabili, essa risulta piu difficile da interpretare e manipolare

matematicamente rispetto alla CDF Fx(x) ed Fy(y).

Si considerino due variabili casuali X e Y con la seguente funzione densità di probabilità PDF congiunta. Det. La PDF

marginale fY(y).

Dimostrare che se due vabiabili aleatorie VA XeY sono indipendenti, allora per qualsiasi coppia di funzioni g(.) e h(.)

la VA Z=G(x) e W …..

Dimostrare il teorema della media condizionata nel caso di X continua e Y discreta.

Enunciare e dimostrare la formula di Bayes per coppie di variabili aleatorie continue.

Definire il concetto di MEDIA CAMPIONE e spiegarne un possibile utilizzo applicativo

Discutere attraverso l’utilizzo di un esempio illustrativo la relazione tra indipendenza e incorrelazione di due

variabili aleatorie

Enunciare la legge dei grandi numeri e darne un’interpretazione.

Partendo dalla definizione di covarianza di due variabili aleatorie, discutere il concetto di diagramma di dispersione.

Supponiamo di effettuare n volte un esperimento con spazio campione S e di ottenere le uscite r1,r2,…ru € S.

Definiamo due VA Xe Y, tali per cui ogni ri corrisponde ad una coppia come coordinate di (X(ri), Y(ri). Se consideriamo

queste coppie come coordinate di punti, otteniamo una “ nuvola” di punti maggiormente concentrata dove la PDF

congiunta f XY(x,y) è piu elevata. Tale grafico è noto come diagramma di dispersione.

Dovete aprire una porta e ci sono 5 chiavi, ci cui solo una è quella effettivamente funzionante. Scegliete a caso una

chiave e la provate:… qual è il numero medio di tentativi che dovete fare?

Si considerino una variabile aleatoria VA X unif [0,1] e la trasformazione g(x)…

Venite chiusi in una stanza e vi vengono date n chiavi (n>1). Solamente una di queste chiavi apre la porta…

Definire Energia e POTENZA di un SEGNALE

Definire la serie di FOURIER per un generico segnale x(t)

Definire i segnali GRADINO e IMPULSO e discuterne le relazioni reciproche.

Illustrare le principali operazioni sui segnali: scalatura, ritardo e finestratura.

RITARDO : se un generico segnale x(t) viene traslato rigidamente nel tempo a destra di Ts, si dice che viene ritardato di

Ts e viene indicato x(t-T)

SCALATURA: un segnale continuo x(t) può essere dilatato o contratto linearmente nel tempo, ottenendo x(at). Queste

operazioni sono dette scalatura ed il segnale x(at) risulta contratto o dilatato a seconda che il valore di a sia maggiore

o minore di 1.

FINESTRATURA: con il termine finestratura di un segnale continuo x(t) si intende la moltiplicazione di x(t) per un altro

segnale w(t), detto finestra.

Enunciare le pricipali propiretà di un sistema.

Casuale : un sistema è casuale se l’uscita dipende dall’ingresso passato ed attuale, ma non da quello futuro.

Anticasuale un sistema è anticasuale se l’uscita dipende solo dall’ingresso futuro.

Lineare: un sistema si dice lineare se l’uscita in corrispondenza di una combinazione lineare degli ingressi è la

medesima combinazione della singola uscita

Tempoinvariante: un sistema è tempo invariante se l’uscita in corrispondenza di un ingresso ritardato, è ritardato

della medisima quantità.

Stabile: un sistema si dice stabile se l’uscita, in corrispondenza di un ingresso limitato, è limitata anchessa.

Discutere le principali proprietà della trasformata di Fourier di segnali tempo-continui

Linearità

Simmetria Dove * indica il complesso coniugato

Scalatura

Integrazione

Dualità: se X(f) è la trasformata di Fourier del segnale x(t), allora x(-f) è la trasformata di Fourier del segnale X(-t)

Traslazione

Convoluzione:

Modulazione di ampiezza

Derivata e integrale:

Integrale (dimostrazione)

Enunciare la proprietà di convulzione della trasformata di Fourier e fornire un esempio.

Dimostrare che la trasformata di Fourier di sequenze (DTFT) è una funzione periodica con perdiodi 1/T

Enunciare il teorema di Parseval e discuterne le conseguenze nel calcolo dell’energia di una sequenza x[n]

Elencare le propiretà di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) rispetto alla sua risposta in frequenza

Definire la trasformata di Fourier (DFT) di una sequenza x[n] e fornire una relazione rispetto alla trasformata di Fourier

(DTFT) della stessa sequenza.

Enunciare il teorema del campionamento ed accennare al problema dell’aliasing in frequenza.

Un caso tipico nell’elaborazione dei segnali è quello in cui il segn