Paniere di Progettazione funzionale (2025) - Risposte aperte

Perché i vettori colonna sono i coseni direttori degli assi della terna ruotata rispetto alla terna

di partenza lOMoARcPSD|48367791

09. Perché la matrice di rotazione è detta essere ortonormale? Cosa comporta tale

affermazione?

In quanto le righe sono costituite dai versori di {A} espressi in {B}. Ciò comporta che la

descrizione della terna {A} relativamente a {B} è data dalla trasposta della matrice precedente.

10. La matrice di rotazione fra due sistemi di riferimento non varia al variare del sistema di

riferimento scelto per scrivere le sue componenti. Giustificare questa affermazione.

Non è importante il sistema di riferimento in cui vengono espressi i versori coinvolti perchè il

prodotto scalare non varia rispetto al sistema di riferimento scelto.

06. Definita una matrice di rotazione determinarne l'inversa.



L'inversa di una rotazione di ampiezza e centro O è la rotazione avente lo stesso centro ed

ampiezza -.

08. Quale vantaggio comporta l'utilizzo della notazione omogenea?

Il vantaggio della notazione omogena sta nel fatto che consentono di esprimere tutte le

trasformazioni di coordinate in forma matriciale e inoltre, poiché sia le rotazioni che gli

spostamenti rigidi si possono comporre, consentono la rappresentazione compatta di catene

di sistemi di riferimento in relazione l’uno con l’altro

09. Quali sono le differenti interpretazioni di una trasformazione omogenea?

Una trasformazione omogenea T può avere tre interpretazioni differenti: 1. descrizione di una

terna 2. applicazione di una trasformazione di coordinate 3. operatore di trasformazione.

08. Qual è il numero minimo di parametri necessari a definire l'orientamento relativo tra

terne? Motivare la risposta.

Un numero pari a tre parametri indipendenti. Sono possibili alcune diverse rappresentazioni

minime, tra cui le piu frequentemente utilizzate sono quelle degli angoli di Eulero

09. Definire la regola di composizione delle rotazioni successive rispetto ad assi mobili e

fissi.

Le rotazioni rigide di un corpo si compongono per premoltiplicazione delle matrici di rotazione

scritte in assi fissi, cioe in termini della terna iniziale. Rotazioni successive intorno agli assi

della terna mobile si compongono post-moltiplicando le relative matrici di rotazione

10. Descrivere alcune tipiche rappresentazioni dell'orientamento (angoli aeronautici, angoli

di Eulero,).

Gli angoli di Eulero forniscono una rappresentazione minima dell’orientamento componendo

tre rotazioni elementari espresse rispetto ad assi di terna corrente. La sequenza degli assi

attorno a cui si ruota determina il particolare tipo di rappresentazione.

La pi`u comune `e la sequenza Z-Y-Z. La rappresentazione degli angoli aeronautici è basata

sull’uso di tre angoli di rollio, beccheggio e imbardata

08. Dimostrare la proprietà commutativa delle rotazioni infinitesime.

Nel calcolo del vettore velocità angolare attraverso l’utilizzo di una matrice di rotazione

relativa ad una rotazione infinitesimale si può vedere come invertendo l'ordine con cui

calcolare il prodotto matriciale, l'espressione finale non cambia.

09. Come è definita la matrice velocità angolare e come è legata al vettore velocità

angolare?

SAB=RAB*RABT lOMoARcPSD|48367791

10. Scrivere la formula di Eulero

vB=wB^(B-O)

15. Come si calcola il momento di inerzia rispetto ad una generica retta r utilizzando la

matrice di inerzia?

la retta r di versore u passante per O centro del sistema di riferimento u =α i + β j+ γ k

Data

con α, β e γ coseni direttori di r e i, j, k versori degli assi cartesiani. Il momento di inerzia

rispetto all’asse r è definito come I11a^2+I22b^2+I33y^2+2I12ab+2I23by

16. Che cosa sono gli assi principali di inerzia?

Dato un sistema di masse, si dicono assi principali d'inerzia quella coppia di assi ortogonali

baricentrici rispetto ai quali il prodotto d'inerzia risulta nullo mentre i momenti d'inerzia assiali

sono uno massimo e l'altro minimo.

17. Dare la definizione di momento di inerzia polare di un sistema a massa distribuita.

Per un sistema continuo che occupa una regione t dello spazio, si definisce momento polare

l’integrale attraverso t del prodotto tra la densità k ed il quadrato del valore assoluto della

distanza tra il punto P ed il polo O

18. Definire la matrice di inerzia di un corpo.

19. Che cosa rappresenta e come è definito l'ellissoide di inerzia?

Il momento d'inerzia rispetto a un qualunque asse passante per il centro di massa si esprime

come la distanza dal centro alla quale tale asse interseca la superficie di un ellissoide, detto

ellissoide di inerzia, i cui semiassi, orientati lungo gli assi principali, hanno dimensione pari al

reciproco delle radici quadrate dei momenti principali di inerzia.

20. Spiegare il significato del raggio giratore.

raggio giratore o raggio d’inerzia è la

Il distanza alla quale occorre concentrare una massa

puntiforme pari a quella del sistema affinché il suo momento di inerzia rispetto all'asse eguagli

il momento d'inerzia del sistema

21. Calcolare il momento di inerzia di un'asta rispetto ad un asse perpendicolare all'asta e

passante 1) per il centro, 2) per un'estremità dell'asta.

22. Dare la definizione di centro di massa di un sistema a massa distribuita.

23. Dare la definizione di momento di inerzia assiale di un sistema a massa distribuita.

24. Calcolare il momento di inerzia di un disco rispetto all'asse di simmetria.

I=mR^2/2

06. Esprimere il th. del momento della quantità di moto rispetto ad una terna baricentrica

e principale di inerzia solidale al corpo (eq. Di Eulero).

07. Dare la definizione della quantità di moto e del momento della quantità di moto di un

corpo rigido.

Per un punto materiale P, dotato di velocità v e massa m, la quantità di moto Q è il prodotto

tra v ed m, mentre il momento della quantità di moto K relativo al polo O è dato da K=(P-

O)^mv

08. Enunciare e spiegare il teorema della quantità di moto.

la risultante R di tutte le forze attive e reattive esterne al sistema uguaglia la derivata

temporale della quantità di moto del sistema lOMoARcPSD|48367791

09. Come si può esprimere il momento della quantità mi moto rispetto al baricentro in

funzione della matrice di inerzia?

10. Enunciare e spiegare il teorema del momento della quantità di moto. Scrivere la

relativa equazione per i seguenti casi: polo generico, polo fisso, polo coincidente con il

baricentro.

la risultante rispetto ad un generico polo dei momenti di tutte le forze attive e reattive esterne

al sistema uguaglia la derivata temporale del momento della quantità di moto rispetto allo

stesso polo sommato al prodotto esterno della velocità assoluta del polo per la quantità di

moto.

11. Esprimere il th. del momento della quantità di moto rispetto ad una terna baricentrica

solidale al corpo

Il momento della quantità di moto calcolato rispetto ad un sistema inerziale assoluto centrato

nel baricentro G del corpo è pari alla derivata temporale del momento della quantità di moto

05. Dare la definizione di rendimento di un sistema meccanico e spiegarne il significato

fisico.

Per una macchina si definisce rendimento il rapporto tra il lavoro delle forze resistenti e la

somma del lavoro delle forze resistenti con il lavoro delle forze interne dissipato nelle

resistenze passive, il rapporto quindi fra l'energia utilizzata e l'energia messa a disposizione.

Esso è un valore inferiore a 1. Il rendimento di un sistema di macchine disposte in serie

composto da n elementi è uguale al prodotto dei rendimenti degli n componenti parziali, Il

rendimento di un sistema di macchine disposte in parallelo composto da n elementi è uguale

alla

media ponderata del rendimento dei singoli elementi

06. Esprimere il teorema dell'energia cinetica nella forma tipica dei sistemi meccanici

spiegando il significato fisico di ogni termine.

il lavoro compiuto da tutte le forze che agiscono su un sistema in un intervallo di tempo Δt

uguaglia la variazione di energia cinetica, Per sistemi meccanici costituiti da membri solidi è

pari a Lm-Lr-Lp con Lm pari al lavoro delle forze motrici, Lr il lavoro delle forze resistenti ed Lp

il lavoro delle forze interne dissipato nelle resistenze passive.

07. Enunciare e dimostrare il th. di Konig sull'energia cinetica di un corpo rigido in moto

generale.

l’energia somma dell’energia cinetica dovuta al moto del

cinetica di un sistema è pari alla

centro di massa e di quella rispetto ad esso

08. Esprimere il lavoro e la potenza rispettivamente di una forza F e di un momento M.

Il lavoro eseguito da una forza F è pari all’integrale della forza tangenziale sullo spazio, Il

lavoro può essere espresso anche in funzione della potenza dove P è pari a Mw

09. Enunciare e dimostrare il th. dell'energia cinetica.

In assenza di forze dissipative il lavoro totale compiuto dalle forze applicate a un corpo è pari

alla variazione di energia cinetica del corpo

10. Scrivere il bilancio di potenze di un sistema meccanico.

Pm-Pr-Pp=dT/dt

05. Quali sono le condizioni per cui due corpi rigidi sono dinamicamente equivalenti?

lOMoARcPSD|48367791

Due corpi rigidi sono dinamicamente equivalenti quando si comportano in modo identico se

soggetti all’applicazione di uno stesso sistema di forze. L’equivalenza implica stessa massa

stessa posizione del baricentro e stessa matrice d’inerzia

06. Come si semplificano le condizioni di equivalenza dinamica nel piano?

stessa massa, stessa coordinata x del baricentro, stessa coordinata y del baricentro, stesso

momento di inerzia

07. Che cosa si intende per momento e momento di inerzia ridotti all'albero motore?

03. Ricavare la legge della dinamica del moto dei sistemi ad un grado di libertà nel caso in

cui l'inerzia ridotta non sia costante.

04. Dare la definizione di velocità angolare media (caso esatto e approssimato) per il

calcolo del grado di irregolarità del moto.

05. Dare la definizione di grado di irregolarità del moto.

Il grado di irregolarità è dato dalla differenza delle velocità angolare massima e minima fratto

la velocità angolare media

06. Dare la definizione di regime di moto periodico.

07. Ricavare la precedente formulazione per il manovellismo ordinario

02. Scrivere l'equazione per il calcolo della tensione circonferenziale in un volano.

È dato dal prodotto tra la densità del materiale ed il quadrato della velocità periferica del

volano

03. Ricavare tramite l'approssimazione del Tretgold la relazione per il