Esercizi e quiz sulle matrici - Geometria

Quiz 1

Una matrice può avere più di un'inversa

• vero
• ✗ falso

Quiz 2

La matrice nulla 2 x 2 è invertibile

• vero
• ✗ falso

Quiz 3

Una matrice invertibile è necessariamente quadrata

• ✗ vero
• falso

Quiz 4

Ogni matrice non nulla è invertibile

• vero
• ✗ falso

Quiz 5

Una matrice m x n ha n righe e m colonne

• vero
• ✗ falso

Quiz 6

L'insieme delle matrici n x n a coefficienti in un campo è un gruppo con l'operazione di prodotto righe per colonne

• vero
• ✗ falso

Quiz 7

Tutte le matrici unitarie sono simmetriche

• ✗ vero
• falso

ESERCIZI

ESERCIZIO 1

Si determini la matrice 2 x 1 a coefficienti reali data dal seguente prodotto righe per colonne:

• (¹⁄₂ 0) (2 0) (^√2⁄_π)
• (2 3) (3 4) (5)
• (3 4) (0 1) (^π⁄₆)

=

• (¹⁄₂ 0) (^√2⁄_π)
• (2 3 2) (3 2) (4) (5) (7 4) (^π⁄₆)
• (3 4 7) (0 1) (^π)

=

• (²⁄₆√2
• 6√7
• 3√2
• 7π -4

ESERCIZIO 2

Sia A ∈ M_n(K) una matrice quadrata di ordine n. Per ogni k ∈ N definiamo A^K = A••A se K ≠ 0 ed A ≠ 0 definiamo A⁰ = I_n. Si calcoli la matrice 2 x 2 a coefficienti complessi data dalla seguente espressione:

• 1 (t + i ²⁄₂ i) + I₂

=

• 1 (¹⁄₂ (t : i ²⁄₂) + I₂)
• = 1 (^{t : i 2⁄₁) (t : i 2⁄_o) + I₂}

=

• ¹⁄₂ (^{t : i 2⁄_{4 : i2}) = I₂}

cof (a₁₁) = (-1)¹⁺¹ det ( 2 0 0 3 ) = 6

cof (a₁₂) = (-1)¹⁺² det ( 0 0 0 3 ) = 0

cof (a₁₃) = (-1)¹⁺³ det ( 0 2 0 0 ) = 0

cof (a₂₁) = (-1)²⁺¹ det ( 0 0 0 3 ) = 0

cof (a₂₂) = (-1)²⁺² det ( 1 0 0 3 ) = 3

cof (a₂₃) = (-1)²⁺³ det ( 1 0 0 2 ) = 0

cof (a₃₁) = (-1)³⁺¹ det ( 0 0 2 0 ) = 0

cof (a₃₂) = (-1)³⁺² det ( 1 0 2 0 ) = 0

cof (a₃₃) = (-1)³⁺³ det ( 1 0 0 2 ) = 2

^tcof (A) = ( 6 0 0 0 3 0 0 0 2 )^t = ( 6 0 0 0 3 0 0 0 2 )

1/6 ( 6 0 0 0 3 0 0 0 2 ) = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 )

La matrice inversa di: ( 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ) è ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 )

( 1 -2 -1 0 2 2 1 -2 0 )

det ( 1 -2 -1 0 2 2 1 -2 0 ) = [ 1 . 2 . 0 + (-2) . 2 . 1 + 0 . (-2) . (-1) ] +

-( -1 . 2 . 1 + 2 . (-2) . 1 + (-2) . 0 . 0 ) = 2