Domande di Teoria Calcolo numerico (Syllabus Dimostrazioni Irrinunciabili)

Unicità

Supponiamo che esistano due polinomi che interpolano, cioè tali che. Allora il polinomio (ricordando che è uno spazio vettoriale, quindi ) e si ha cioè avrebbe n+1 zeri distinti. Ma per il teorema fondamentale dell'algebra, può avere al massimo n zeri distinti a meno che non sia il polinomio nullo, cioè dev'essere.

Esistenza

Dati gli n+1 nodi distinti consideriamo per ogni nodo fissato (cioè per ogni fissato) il "polinomio elementare di Lagrange" così definito:

Si osservi che è un polinomio di grado effettivo n, infatti si ha, mentre è un numero ≠ 0. Quindi e ha grado effettivo n, . Inoltre e per k ≠ cioè contiene un fattore nullo che annulla il prodotto. Possiamo allora definire f polinomio interpolatore di Lagrange e (combinazione lineare di polinomi di grado n).

Verifichiamo che interpola: perché .

Convergenza Uniforme

Dell'Interpolazione Polinomiale A Tratti Siano n+1 nodi distinti, con n multiplo di s. Dimostriamo il teorema per l'interpolazione lineare a tratti. Osserviamo che f(x) è il massimo su tutto [a,b] ed è il massimo dei massimi sui singoli intervallini. Inoltre, in [x_i-1, x_i] è il polinomio interpolatore locale di grado 1 su (x_i-1, y_i-1) e (x_i, y_i). Ricordando la stima dell'errore di interpolazione polinomiale a grado s valida per f(x) e f'(x), e applicandola per f(x) e f'(x), otteniamo:

|f(x) - p(x)| ≤ M_s+1 * h^s+1 / (s+1)!

con M_s+1 il massimo di |f^(s+1)(x)| su [a,b] e h la lunghezza massima degli intervallini. Quanto fatto per s=1 si può adattare per s>1 nel caso di nodi equispaziati, ottenendo:

|f(x) - p(x)| ≤ M_s+1 * h^s+1 * (n+1)^s / (s+1)!

Convergenza Globale Del Metodo Di Newton In Ipotei Di Convessità/Concavità Stretta Sia f(x) una funzione continua e derivabile due volte in (a,b), e sia f''(x) non nulla su tutto (a,b). Inoltre, il metodo di Newton è ben definito (cioè f'(x) non è mai zero) e converge all'unico zero di f(x) in (a,b). Considero i 4 casi possibili in base al segno di f''(x): Consideriamo il caso 1: Dimostro che se anche f''(x) è positiva su tutto (a,b), allora il metodo di Newton converge all'unico zero di f(x) in (a,b).

Inoltre, infatti. Ma se allora e, quindi. D'altra parte è strettamente convessa, ovvero la tangente sta "sotto al grafico". Ma allora la tangente in un punto interseca l'asse x a destra di , cioè sex anche x .n n+1 La successione è quindi decrescente e . Dall'analisi matematica è noto che una successione monotona e limitata halimite e tale limite è se crescente e se decrescente. Quindi con Quindi, ma quindi dev'essere per forzae perché lo zero è unico. Anche nel caso (3) si ottiene mentre in (2) e (4) si ottiene.