Calcolo numerico

Reali in base b

b=2 → base del calcolatore

Ogni x ∈ R si può scrivere come x = sign(x) {Σ_j=0^m c_ibⁱ + Σ_i=1^∞ c_ib^-i}

• Parte intera ∈ N
• Parte frazionaria ∈ [0,1]

Qual e' l'errore dell'approssimazione ?

Dato x = sign(x) {Σ_j=0^m c_jbⁱ + Σ_i=1^∞ c_jb^-i}

definiamo x_~n = sign(x) {Σ_j=0^m c_ibⁱ + Σ_i=1ⁿ c_jb^-i}

x_~n = parte frazionaria troncata a n cifre - TRONCAMENTO A n CIFRE

Definiamo errore_~ = |a-ā| = | 5_-ō| errore assoluto

Stimiamo |x - x_~n|

|x - x_~n| = Σ_j=n+1^∞ c_ib^-i → l'errore di troncamento è il resto della serie che definisce la parte frazionaria

da stima dell'errore è, |x - x_~n| < b^-n

Quante cifre dopo la virgola per garantire che l'errore non superi un tolleranza ε>0 ?

|x - x_~n| < b^-n < ε → log b^-n < log ε → n > _{log ε}^{log b}

ERRORE PER ARROTONDAMENTO

Definiamo x_~n = sign(x) {Σ _j=0^m c_jbⁱ + 0. c^_' c₂ ... c_n ? dove c_n-DIFETTO c_n+'_EXCESSO

Nel caso di basi pari, l'errore di arrotondamento è : |x - x_~n| < b^-n / 2 moltip del max err di troncamento

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Reali in base b

b=2 → base del calcolatore

Ogni x ∈ ℜ si può scrivere come

x = sign(x) {Σ_j=0^m c_jb^j + Σ_i=1^&#8734; c_ib^-i}

• Parte intera   N

• Parte frazionaria ∈ [0,1]

Quel'è l'errore dell'approssimazione?

Dato   x=sign(x) {Σ_j=0^m c_j b^j + Σ_i=1^&#8734; c_i b^-i}

Definiamo   ◯_n = sign(x){Σ_j=0^m c_j b^j + Σ_i=1ⁿ c_j b^-i}^*

◯_n = parte frazionaria tagliata a n cifre - TRONCAMENTO A n CIFRE

Definiamo errore:

errore = |a - â| = |î - î| errore assoluto

Stimiamo |x - ◯_n|

|x - ◯_n| = Σ_i=n+1^&#8734; c_i b^-i →

l'errore di troncamento è il resto delle cifre che definisce la parte frazionaria

da stima dell'errore è,

|x - ◯_n| < b^-n

Quante cifre dopo la virgola per garantire che l'errore non superi una tolleranza ε>0?

|x - ◯_n| < b^-n < ε → log b^-n < log ε →

–n log b < log ε

⇒   n > — ↓

— log ε

ERRORE PER ARROTONDAMENTO

Definiamo   ◯_n = sign(x) Σ_j=0^m c_j b^j + â.â,â,â... } }

Nel caso di basi pari, l'errore di arrotondamento è:

|x - ◯_n| < ¹/₂ b^-n

molto del max err di troncamento

Floating-Point, Precisione di Macchina

x ∈ ℝ in base b : x = sign(x)(0.d₁d₂...d_t...)b^p , p ∈

• d₁ ≠ 0
• d_j con 1 ≤ j < ∞ sono le cifre di mantissa

La mantissa NON è la parte frazionale.

L'insieme di REALI-MACCHINA F è un insieme definito da 4 parametri:

1. b = BASE
2. t = n° cifre di mantissa
3. L = LOWER
4. U = UPPER

→ F (b,t,L,U)

Le macchine lavorano in 64 bit in base 2 → b = 2, t = 53, L = -1023, U = 1023

Errore di approssimazione da ℝ a F (assoluto)

x = sign(x)(0.d₁d₂d₃...d_t...)b^p

fl^t(x) = sign(x)(0.d₁d₂...d_t)b^p

d_t = d_t DETTO d_t + 1 = GIUSTO

→ Errore = |x - fl^t