Dimostrazioni più richieste di Fondamenti di algebra lineare e geometria

9. Definire le nozioni di somma e di somma diretta di due sottospazi di uno spazio vettoriale.

Dimostrare che se U e V sono sottospazi di uno spazio vettoriale, allora la somma U + V è diretta se e solo se U ∩ V = {0}.

10. Dimostrare che se la famiglia di vettori v₁, ..., v_n è linearmente dipendente, allora uno di tali vettori si può esprimere come combinazione lineare dei rimanenti; e viceversa.

11. Enunciare e dimostrare il teorema dello scambio.

12. Enunciare e dimostrare il teorema di completamento della base.

13. Siano V e W due spazi vettoriali e L : V → W un'applicazione lineare. Dimostrare che l'applicazione L è iniettiva se e solo se ker L = {0}.

14. Descrivere una corrispondenza biunivoca tra M(mxn,K) e l'insieme di tutte le applicazioni lineari da Kⁿ a K^m. Dimostrarne la biiettività.

15. Siano V e W due spazi vettoriali e L : V → W un'applicazione lineare. Dimostrare che l'immagine di L è un sottospazio di W.

16. Enunciare e dimostrare...

Il teorema delle dimensioni (riguardante le dimensioni del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare) - 17.

Enunciare e dimostrare il teorema di Rouché-Capelli (condizione di compatibilità di un sistema lineare) - 18.

Dimostrare che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile è la varietà lineare+W, dove è una soluzione particolare e è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato - 19.

Definire il determinante di una matrice quadrata. Dimostrare che per ogni A ∈ M(nxn,K), det A = det A' - 20.

Definire la nozione di endomorfismo diagonalizzabile in uno spazio vettoriale di dimensione finita VK. Dimostrare che un endomorfismo di è diagonalizzabile se esiste una base di i cui elementi sono tutti autovettori di B - 21.

Sia un endomorfismo di uno

spazio vettoriale di dimensione nita una base diL V n, B VK KBe λ∈K. Dimostrare che λ è un autovalore sse vale det(A -λI )=0L B n22.

Siano Dimostrare che le seguenti a ermazioni sono equivalenti: (i) èA,C∈M(nxn,K). C-1invertibile e è diagonale; (ii) le colonne di sono tutte autovettori di e formano unaC AC C Anbase di K fi ff fi23.

Dimostrare che se sono due matrici simili, allora i loro polinomi caratteristiciA,B∈M(nxn,K)(t) e (t) coincidonop pA B n24.

Sia +U una varietà lineare di . Dimostrare quanto segue: (i) +U; (ii) se +U,v R v v0 0 0 1 0∈v ∈vallora +U=v +U; (iii) comunque presi due elementi e della varietà lineare, la lorov v v1 0 1 2di erenza -v appartiene av U2 1ff 25.

Enunciare e dimostrare un'equazione che sia condizione necessaria e su ciente a nché laretta dello spazio avente parametri direttori e il piano di equazionel, m, n ax+by+cz+d=0siano paralleli ffi ffi——————26.

Enunciare e dimostrare una condizione necessaria e sufficiente (espressa in termini di rango di una matrice) affinché i piani dello spazio di equazioni cartesiane eax+by+cz+d=0 siano paralleli a'x+b'y+c'z+d'=0.

Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in uno spazio vettoriale euclideo.

Enunciare e dimostrare la disuguaglianza triangolare in uno spazio vettoriale euclideo.

Esporre il procedimento di Gram-Schmidt e dimostrare il relativo teorema.

Dimostrare che se W è un sottospazio di dimensione finita di uno spazio vettoriale euclideo V, allora V = W ⊕ W⊥ e tale somma è diretta.

Siano V un SV euclideo di dimensione finita, e W un sottospazio di V. Dimostrare che in V esiste un unico vettore di modulo minimo v+W.

Definire i coseni direttori di una retta nello spazio e descriverne la relazione con gli angoli formati con gli assi cartesiani.