Wims-Algebra simulazione e esercizi

PROGRAMMA

• FIBRILLONE
• VISUAL GAUSS
• COMBINAZIONE LINEARE
• SOTTOSPAZIO GENERATO
• IMMAGINE LINEARE
• DIAGONALIZZARE UNA MATRICE
• FORME BILINEARI
• FORME BILINEARI E MATRICI
• FORME QUADRATICHE EQUIVALENTI
• GRAN-SCHMIDT
• BASE DEL NUCLEO
• INJECTIVE, SUBJECTIVE: QMC1
• LINEARITÀ: QGLH1
• DET 2X2 SOLO DETERMINATE
• ALGEBRIC OPERATIONS
• MATRICE DIAGONALIZZABILE (DIM4)
• DIAGONALIZZAZIONE SU RC(1)
• TROVARE UN AUTOVETTORE (III)
• BASIS CHANGE
• VETTORI DI R^3
• VISUAL GAUSS
• ARGOMENTO DELLA SOMMA
• ENDOMORFISMO DELLO SPAZIO
• DEF APPLICAZIONI LINEARI
• DEF DIAGONALISATION
• MATRICE DIAGONALIZZABILI DIM5
• BASE DELL’IMMAGINE
• ALGEBRIC OPERATIONS
• INJITTIVA/SURJITTIVA: ECM
• RANK FILLER
• FORMA ESPONENZIALE -> FORMA CARTESIANA

1. FRAZIONE

3 + 6i10 + 10i

= 3 + 6i . (10 - 10i) = 30 - 30i + 60i - 60i² 10 + 10i . (10 - 10i) = 100 + 100

= 30 - 30i + 60i + 60 = 90 + 30i 200 200

parte reale = 9/20parte imm. = 3i/20

-8 - 4i5 - 7i

= -8 - 4i . (5 + 7i) = -40 - 56i - 20i + 28 = 5 - 7i 5 + 7i 25 + 49

= -12 - 76i = 12 76i 74 74 74

-6 + 6i-7 + 5i

= -6 + 6i . (-7 - 5i) = 42 + 30i - 42i + 30 = -7 + 5i (-7 - 5i) + 49 + 25

= 72 - 12i 74

ex 5

f(v1,v2) = (-2z1z2) - 2y1z2 + 3x1z2 - 2y2z1 + 3x2z1 + x1y2 + y1z2 + y1z1 + y2z1

- 3x1x2

forma bilineare simmetrica? NO

perché? NON BILINEARE

ex 6

f(v1,v2) = (-3z1z2) - y1z2 - 3x1z2 - y2z1 + 3x2z1 - 2y1y2 + 2x1y2 + 2x2y1

+ 3x1x2

f. bilineare simmetrica? NO

perché? NON SIMMETRICA

ex 7

Tutto x1y2 completo con segni uguali

2z2 + 2x1z2 + 2x2z2 - 2y1y2 - 3x1y4y2 - 3x2y1 - 2x1x2 + 6x2 - 6x1

NO, NON BILINEARE

Tutto x1y2 completo con segni uguali

-2z1z2 + 2y1z2 + 2x1z2 + 2y2z1 + 2x2z1 + 2x2y1 + x1y2 - x1x2

NO, NE BILINEARE NÉ SIMM

segni diversi

-2z2 + y1z2 + y2z1 - 3x1y2 + 3x2y4 - 3x1x2 - 4x2 - 4x1

NO, NE BILINEARE NÉ SIMMETRICA

f.lin? NO

perché? ne bilineare ne simm, se x2y e segni ≠ non bilineare

segni =

FORME QUADRATICHE

Q(v) = (-3x²) - 2yx + 22x - y² - 62y + z²

[-3-λ   1    1][-1  -1-λ  -3] [1    1    3-λ]

(-3-λ)(-1-λ)(1-λ) + 3 + 3 - (-1-λ) - 9(-3-λ) - (1-λ)

(-3-λ)(-1-λ)(1-λ) [1 - 9 - 1] + 6

-3 - λ = 0 ⇒ λ = -3

-1 - λ = 0 ⇒ λ = -1

1 - λ = 0 ⇒ λ = 1

risposta-x²-4y²+z²

FORME QUADRATICHE

Q(v) = -2x² + y² + 22y + 3z²

[2+λ   0    0][0    1-λ    0][1    0     3-λ]

(-2-λ)(1-λ)(3-λ) + 0 + 0 - (1-λ) + 0 + 0

-2 - λ = 0 ⇒ λ = -2

1 - λ = 0 ⇒ λ = 1

3 - λ = 0 ⇒ λ = 3

x²-2y + 3z²

BASE DEL NUCLEO

• 2 1 0
• -6 -3 0
• 6 3 0

rango = 1

dimker = 2

• +2x₁ + x₂ = 0
• -6x₁ - 3x₂ = 0
• 6x₁ + 3x₂ = 0

x₂ = -2x₁

x₁ = -¹⁄₂ x₂

( -¹⁄₂, 1, 0 ) (0, 0, 1)

BASE DEL NUCLEO

• 3 -1 2
• 0 0 0
• -6 2 -4

rango = 1

dimker = 2

• 3x - y + 2z = 0
• -6x + 2y - 4z = 0

y = 3x + 2z

x = ¹⁄₃ y - ²⁄₃ z

(¹⁄₃, 1, 0) ( -²⁄₃, 0, 1)

BASE DEL NUCLEO

• -1 -1 -3
• 1 1 4
• 1 1 2

rg = 2

dim = 1

• x - y - 3z = 0
• -x + y + 4z = 0
• x + y + 2z = 0

x = -y - 3z

z = 0

( -1, 1, 0 )

15. ALGEBRIC OPERATION

VERA SEMPRE

• det(A⁴) = det(A)⁴
• A non invertibile → det(A) = 0
• det(AB) = det(A) det(B)
• det(AB) = det(BA)
• det(A)^-1 = 1/det(A)
• det(A) = 0 → A non invertibile
• det(AB) = 0 → det(A) = 0 or det(B) = 0
• A = B → det(A) = det(B)
• A = 0 → det(A) = 0

NON SEMPRE VERO

• det(A) = 0 → A = 0
• det(AB) = 1 → A = B = I₄
• det(A) = 1 → A = I₆
• det(AB) = 1 → B = A^-1
• det(2A) = 2 det(A)
• det(A^-1) = -det(A)
• det(A + I₃) = det(A) + 1
• A ≠ 0 → det(A) ≠ 0
• det(AB) = det(BA) → AB = BA FALSO
• det(AB) = 0 → A = 0 or B = 0
• det(A - B) = det(A) - det(B)
• A ≠ I₇ → det(A) ≠ 1
• det(A) = det(B) → A = B

La matrice seguente è diagonalizzabile su ℝ?

• Sì
• No

(

1 -2 0 0 0 0 0

0 5 0 0 0 0 0

0 0 5 -4 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -3 2 0

0 0 0 0 0 4 0

0 0 0 0 0 0 0

)

La somma delle dimensioni degli autospazi è:

7

( -3 2 ) ( 2 )

( 4 0 ) -0 ( 0 -1 )

( -3 - λ )( -λ ) = 8 = 0 = 3 ±√2 = 1

λ² -3λ + 2

Δ =

= 9 + 13 1 = √

-3 ± √(7)

2

gradi | radianti | tangente

• 0° | 0 | 0
• 30° | π/6 | √3/3
• 45° | π/4 | 1
• 60° | π/3 | √3
• 90° | π/2 | ±∞
• 120° | 2π/3 | -√3
• 135° | 3π/4 | -1
• 150° | 5π/6 | -√3/3
• 180° | π | 0
• 210° | 7π/6 | √3/3
• 225° | 5π/4 | 1
• 240° | 4π/3 | √3
• 270° | 3π/2 | ±∞
• 300° | 5π/3 | -√3
• 315° | 7π/4 | -1
• 330° | 11π/6 | -√3/3
• 360° | 2π | 0

Question 3

Sia u e v due vettori distinti di R² e sia f una funzione lineare R² → R³ tale che f(1,0)=u e f(0,1)=v allora f è iniettiva

NON ABBASTANZA DATI / VERA

Question 2

Esiste una f lineare iniettiva F da R⁵ a vettori in R³ t.c. ker f ⊂ Im F

VERA

Question

Sia 0: R³→R⁵ una f. lineare t.c. Im f ∩ ker F = 0 allora la restrizione f|ker della funzione è suriettiva

FALSO

Quest

Siano E e F 2 s.p.v. sui num. reali di dim finita dimE > dimF, allora esiste una f. lineare suriettiva F da E da valori in F

VERA

Quest

Sia f una f. lineare da R³ a valori in R il nucleo di f è un piano

NON ABB. DATI / FALSO

Quest

Sia f una f. lineare non nulla da R³ a valori in R il nucleo di f è una retta

FALSO

Quest

Sia f una funzione lineare non nulla da R³ a valori in R il nucleo di f è un piano

FALSO

Sia una funzione lineare non nulla da R² a valori in R, il nucleo di f è una retta

VERO

Sia f una funzione lineare da R² a valori in R, il nucleo di f è R

NON ABBASTANZA DATI