Vettori (spazi e sottospazi vettoriali, insiemi di generatori, basi e spazi finitamente generati) + esercizi

SPAZI VETTORIALI

Molti concetti in fisica vengono misurati usando quantità scalari → grandezze che possono essere espresse con un singolo numero.Ci sono però quantità fisiche che non possono essere descritte da un singolo numero. Ad esempio, quando vogliamo descrivere il movimento di un corpo, non basta conoscere la velocità, ma è necessario anche conoscere in che direzione e verso si sta muovendo.

Per definire un vettore dobbiamo specificare 3 componenti:

• lunghezza;
• direzione;
• verso.

Poichè questi oggetti vengono usati per descrivere, ad esempio, degli spostamenti, delle velocità, o le forze esercitate su un corpo; abbiamo bisogno di poter svolgere alcune operazioni.

DEFINIZIONI

1. GRUPPO (G,+)

Insieme non vuoto munito di un'operazione binaria +: G × G → G che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento di G per cui valgono le seguenti proprietà:- proprietà associativa → dati 3 elementi a, b, c di G, vale la seguente identità: (abc) = a(bc).- esistenza dell'elemento neutro → esiste un elemento e in G tale per cui a+e = e+a = a per ogni elemento a di G.- esistenza dell'elemento inverso → per ogni elemento a di G, esiste un elemento a^-1 di G, detto inverso di a, tale per cui a+a^-1 = a^-1+a = e.

2. GRUPPO ABELIANO

Un gruppo (G, +) si dice abeliano quando l'operazione + soddisfa la proprietà commutativa → per ogni coppia di elementi a, b di G, a+b = b+a.Una generalizzazione del concetto di gruppo è quello di anello.

3. ANELLO (R, +, ⋅)

Insieme non vuoto munito di 2 operazioni binarie + e ⋅, tale per cui:

• (R, +) è un gruppo abeliano con e₊ = 0;
• (R, ⋅) è un moniode: l'operazione ⋅ è associativa.

Esiste e_⋅ ∈ R per cui a ⋅ e_⋅ = e_⋅ ⋅ a ⇓ a ∀ a ∈ R.La ⋅ è distributiva rispetto alla +, per ogni terna di elementi di R, valgono le seguenti identità:a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c).(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c).

Un anello si dice commutativo quando la ⋅ soddisfa la proprietà commutativa: a ⋅ b = b ⋅ a ∀ a,b ∈ R.

* | deve soddisfare la commutatività.⇓ però è possibile che non esistere.

SPAZI VETTORIALI

Molti concetti in fisica vengono misurati usando grandezze scalari: grandezze che possono essere espresse con un singolo numero.Ci sono però quantità fisiche che non possono essere descritte da un singolo numero.Ad esempio, quando vogliamo descrivere il movimento di un corpo, non basta conoscere la velocità, ma è necessario anche conoscere in che direzione e verso si sta muovendo.

Per definire un vettore dobbiamo specificare 3 componenti:

• lunghezza;
• direzione;
• verso.

Poiché questi oggetti vengono usati per descrivere, ad esempio, degli spostamenti, delle velocità, o le forze esercitate su un corpo; abbiamo bisogno di poter svolgere alcune operazioni.

DEFINIZIONI

1 - GRUPPO (G,+)Insieme non vuoto munito di un'operazione binaria +:G x G → G che ad ogni coppia di elementi a,b di G associa un elemento di G per cui valgono le seguenti proprietà:

• proprietà associativa → dati 3 elementi a,b,c ∈ G, vale la seguente identità:(a+b)+c = a+(b+c).
• esistenza dell'elemento neutro → esiste un elemento e ∈ G tale per cui a+e = e+a = a per ogni elemento a di G.
• esistenza dell'elemento inverso → per ogni elemento a di G, esiste un elemento -a di G, detto inverso di a, tale per cui a+-a = -a+a = e.

2 - GRUPPO ABELIANOUn gruppo (G,+) si dice abeliano quando l'operazione + soddisfa la proprietà commutativa → per ogni coppia di elementi a,b di G, a+b=b+a.Una generalizzazione del concetto di gruppo è quello di anello.

3 - ANELLO (R,+,∙)Insieme non vuoto munito di 2 operazioni binarie + e ∙, tale per cui:

• (R,+) è un gruppo abeliano con e₊ = 0.
• (R,∙) è un monOide: l'operazione ∙ è associativa.
• la ∙ è distributiva rispetto alla + per ogni terna di elementi di R, valgono le seguent