Vettori Geometrici, Spazio Vettoriale Reale - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 18/09/2020

Vettori geometrici

VETTORI GEOMETRICI

In generale un vettore, è una classe di segmenti orientati equipollenti tra di loro.

Ciascuno di questi segmenti possiede 3 diverse proprietà:

Direzione: Ovvero la direzione della retta di cui fanno parte i due punti che

 fanno da estremi al segmento

Verso: Ovvero se il vettore va da un punto A ad un punto B, o viceversa

 Modulo / Lunghezza: Si tratta della misura della lunghezza del segmento

 rispetto ad una fissata unità di misura.

Uno stesso vettore può essere rappresentato andando ad utilizzare due segmenti

differenti: B B’

A A’

Si tratta di due segmenti diversi (AB e A’B’), ma possono essere usati per

rappresentare lo stesso vettore. Ciò è dovuto al fatto che sono collegati da una

RELAZIONE DI EQUIPOLLENZA. Questo avviene quando esiste un movimento rigido (in

cui quindi non può essere cambiata direzione, verso e modulo) e parallelo che faccia

coincidere A con A’ e B con B’. Un vettore

Da ciò possiamo ricavare la definizione di vettore geometrico:

geometrico, è una classe di equipollenza (equivalenza).

Tra l’altro sono classi di equivalenza anche la direzione (Segmenti che hanno tutti una

stessa direzione) e la lunghezza. AB NON è in relazione con

AB R(Relazione) A’B’

A’B’

Es: B

r B

B’ B’

r’ r

A A’ A’ r’

A

Inoltre questa relazione di equipollenza, essendo una relazione di uguaglianza

possiede anche le stesse proprietà di una qualsiasi altra relazione di equivalenza:

AB sovrapponibile con A’B’

 Transitiva: A’B’ sovrapponibile con A’’B’’

ALLORA

AB sovrapponibile con A’’B’’ 1

Tosetti Luca 18/09/2020

Vettori geometrici

X)

AB è sovrapponibile con sé stesso (xRx x

 

Riflessiva: ∈

AB sovrapponibile con A’B’

 Simmetrica: ALLORA

A’B’ sovrapponibile con AB

v u

Andando invece a considerare 2 vettori ( e ) è possibile andare ad effettuare la

somma tra questi due vettori attraverso la “regola del parallelogramma”.

Es: v + u = w

Una somma di vettori possiede diverse proprietà:

u v w u v w

Associatività: ( + ) + = + ( + )

 u v v u

Commutatività: + = +

 Esistenza del vettore nullo: Il vettore nullo si indica con o, e si tratta di un

 vettore in cui punto di inizio e di fine coincidono (viene appunto rappresentato

come un punto)

v o v

+ = v w

Esistenza del vettore opposto: L&rs