Vettori Geometrici, Spazio Vettoriale Reale - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 18/09/2020 Vettori geometrici

X) AB è sovrapponibile con sé stesso (xRx x Riflessiva: ∈AB sovrapponibile con A'B' Simmetrica: ALLORA A'B' sovrapponibile con ABv u

Andando invece a considerare 2 vettori (e) è possibile andare ad effettuare la somma tra questi due vettori attraverso la "regola del parallelogramma".

Es: v + u = w

Una somma di vettori possiede diverse proprietà:

• Associatività: (u + v) + w = u + (v + w)
• Commutatività: u + v = v + u
• Esistenza del vettore nullo: Il vettore nullo si indica con o, e si tratta di un vettore in cui punto di inizio e di fine coincidono (viene appunto rappresentato come un punto) v + o = v
• Esistenza del vettore opposto: L'opposto di un vettore v, è quel vettore tale che v + (-v) = 0

Andando a considerare invece un vettore (v) e uno scalare (cioè un numero reale) non nullo è possibile andare a effettuare un

prodotto esterno che darà come risultato un altro vettore.

Tu es:

Nel caso del vettore si andrà a prendere il modulo di quest'ultimo e a moltiplicarlo per lo scalare. Nel caso invece in cui lo scalare sia negativo, si otterrà un vettore con verso opposto rispetto a quello di partenza. Infine nel caso in cui sia pari a 0, il risultato ottenuto sarà un vettore nullo.

Così come la somma, anche il prodotto esterno presenta alcune proprietà:

• Un qualsiasi vettore moltiplicato per uno scalare t pari a 1, darà come risultato il vettore stesso
• Per ogni h, k ∈ R, v ∈ V risulta h * (k * v) = (hk) * v
• Abbiamo poi anche le proprietà distributive:
• Per ogni k ∈ R, u, v ∈ V risulta k * (u + v) = k * u + k * v
• Per ogni k, h ∈ R, v ∈ V risulta (h + k) * v = h * v + k * v

2Tosetti Luca 18/09/2020

Spazio vettoriale reale

SPAZIO VETTORIALE REALE

Prende il nome di spazio vettoriale REALE perché vengono presi in

Considerazione sui numeri reali. Questo spazio consiste in:

• Un insieme V, i cui elementi sono vettori
• Un'operazione interna + : V x V -> V (v, w).
• Un'operazione che ad una coppia di vettori v, w (presi tramite il prodotto cartesiano) associa la somma v + w (vengono sommati).
• Un'operazione "esterna" * : R x V -> V (k, w).
• Un'operazione che ad ogni numero reale k e ogni vettore w, associa il prodotto kw (vengono moltiplicati).

Andando a fissare nello spazio o nel piano un punto di origine O (un punto di riferimento), e rappresentando i vettori come segmenti orientati uscenti dall'origine, possiamo stabilire una relazione biunivoca tra i vari vettori geometrici nello spazio o nel piano e i punti dello spazio o del piano (ovvero ad ogni vettore è associata una determinata coppia di punti, nel caso del piano, oppure un trio di punti nel caso dello spazio).

YB Z P PIANO

X Bv B (X, Y) -> B BYPX P Z SPAZIO

v (X, Y, Z)

P P, Pv YXC 3

Tosetti Luca 18/09/2020

Spazio

vettoriale reale

Attraverso la rappresentazione grafica su un piano cartesiano di un vettore, si è in grado di calcolare i punti sul piano associati biunivocamente con il vettore risultante di una somma tra vettori.

v = (X, Y)

u = (a, b)

u + v (w) = (X+a, Y+b)

v = b

Y v = a

u = X

Attraverso la rappresentazione grafica su un piano cartesiano di un vettore, si è in grado anche di risalire al suo modulo attraverso il teorema di Pitagora.

v + u = (3 + 1, 1 + 1) = (4, 2)

| v | = | (4, 2) | = √(4^2 + 2^2) = √20 = 4√5