Velocità finale piano inclinato

Velocità finale piano inclinato

Dato un piano inclinato di \(\alpha = 27^\circ\) e lungo \(d = 2\) m, si calcoli la velocità finale con cui finisce la discesa un punto materiale posto sulla sommità che parte da fermo. Si assuma che l'accelerazione di gravità sia costante e di modulo \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\), diretta verso il basso. Si esegua lo stesso calcolo in presenza di attrito dinamico con coefficiente \(\mu = 0.2\). Si faccia riferimento alla figura seguente:

Sistema di riferimento

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con l'asse \(x\) parallelo al piano inclinato e con l'origine posta dove inizia a scendere il punto materiale. Il punto subisce un'accelerazione totale nulla lungo l'asse \(y\) \(a_y = 0\), infatti si muove solo lungo l'asse \(x\) e lungo quest'ultimo pari a \(a_x = g \cdot \sin \alpha\).

Il moto del punto (lungo \(x\)) è uniformemente accelerato e pertanto valgono:

• Partendo da fermo, essendo \(d\) la lunghezza da percorrere e con \(v_x\) velocità finale di uscita dalla discesa.
• Combinando le due equazioni del sistema, essendo interessati a \(v_x\).

Usando l’equazione precedente si arriva a:

E, mettendo i dati forniti dal testo:

Altezza e velocità finale

In particolare si osserva che l'altezza del piano inclinato da terra è \(h = d \cdot \sin \alpha\) e quindi si può scrivere:

\(v_x = \sqrt{2gh}\)

che è la velocità finale di un corpo che cade in verticale da un'altezza \(h\). Dunque la velocità finale dopo un salto di \(h\) da terra è la stessa sia se fatto in verticale sia se lungo un piano inclinato di un qualsivoglia angolo. Tutto questo resta vero solo se non si introduce l'attrito con il piano.

Effetto dell'attrito dinamico

Introducendo un attrito dinamico \(\mu_d\) si può scrivere l'equazione del moto di Newton per il punto materiale di massa \(M\). Lungo l'asse \(y\) (come scelto sopra) la risultante delle forze è nulla e non vi è moto (a causa della reazione vincolare del piano). Lungo l'asse \(x\) si ha:

\(M a_x = Mg \sin \alpha - \mu_d F_{\perp}\)

dove \(F_{\perp}\) è il modulo della forza perpendicolare (dunque lungo l'asse \(y\)) che il punto materiale esercita sul piano e si scrive:

\(F_{\perp} = Mg \cos \alpha\)