Velocità e accelerazione vettoriale, Fisica I

La cinematica può essere rappresentata tramite un vettore posizione oppure in modo intrinseco

quando conosco la traiettoria del mio corpo. Andiamo a vedere nello specifico alcuni moti con

rappresentazione intrinseca:

- MOTO RETTILINEO -> il moto avviene su una retta orientata definito prima un sistema di

riferimento opportuno (origine del moto e verso); come avviene il moto lo possiamo capire

attraverso il grafico orario, grafico nella quale sull’ascissa abbiamo il tempo e sull’ordinata

lo spazio percorso dal corpo

- MOTO RETTILINEO UNIFORME -> il moto avviene a velocità scalare costante

- MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO -> il moto presenta un’accelerazione di

valore scalare costante

VELOCITA’ MEDIA E ISTANTANEA VETTORIALE

Ora passiamo da un moto con rappresentazione intrinseca (moto rettilineo) ad un moto

generico rappresentato da un vettore posizione. Sappiamo che la velocità su una traiettoria

qualsiasi è data dalla derivata prima dell’ascissa curvilinea rispetto al tempo e l’accelerazione

la derivata prima della velocità rispetto al tempo ed anche dalla derivata seconda dell’ascissa

curvilinea rispetto al tempo. Con questa premessa andiamo a studiare il moto di un punto su

una traiettoria che non conosciamo individuata attraverso un vettore posizione.

Data un’origine andiamo a trovare la posizione del nostro punto ad un tempo iniziale

attraverso un vettore posizione e individuiamo la posizione del punto, sempre tramite un

vettore posizione, ad un tempo secondo. Definiamo velocità media vettoriale la rapidità con

cui varia il vettore posizione rispetto al tempo, data dal rapporto della differenza tra i due

vettori posizione considerati ai relativi tempi e dall’intervallo di tempo. Come abbiamo fatto

per definire la velocità istantanea per un moto intrinseco lo facciamo anche per il generico

moto, restringendo sempre di più l’intervallo di tempo considerato in modo che tenda a zero la

velocità media assumerà sempre più un valore identico a quella istantanea nel punto

considerato, quindi il limite per l’intervallo di tempo tendente a zero del rapporto tra la

variazione del vettore posizione e l’intervallo di tempo corrisponde alla velocità istantanea

vettoriale, ma questo limite corrisponde nient’altro che alla derivata del vettore posizione; più

l’intervallo di tempo diminuisce più il modulo della differenza tra i vettori posizione

corrisponderà sempre più al valore della differenza tra le ascisse curvilinee. Detto questo

possiamo riscrivere la derivata prima del vettore posizione rispetto al tempo come la derivata

dell’ascissa curvilinea rispetto al tempo per il versore tangente alla curva in quell’istante, ma la

derivata dell’ascissa curvilinea corrisponde al valore scalare della velocità, la velocità

istantanea vettoriale è uguale al valore scalare della velocità per il versore tangente alla curva.

L’operazione inversa per trovare il vettore posizione sapendo la velocità vettoriale è

l’operazione d’integrale:

se consideriamo tutte queste operazioni in un sistema di assi cartesiani (x; y; z) con i relativi

versori per individuare la direzioni dei tre assi, troviamo:

il vettore posizione è dato dalla somma delle componenti unidimensionali

per il loro versore relativo e la velocità è data dalla derivata prima di ogni

singola componente moltiplicata, sempre, per il versore relativo. In questo

modo posso lavorare sul moto tridimensionale tramite le sue componenti

unidimensionali.

ACCELERAZIONE MEDIA E ISTANTANEA VETTORIALE

Come per la velocità vettoriale per l’accelerazione vettoriale facciamo gli stessi tipi di

ragionamenti che abbiamo fatto per i moti intrinseci. L’accelerazione è la rapidità con cui varia

la velocità rispetto al tempo, definiamo accelerazione vettoriale media come il rapporto tra la

differenza dei vettori velocità, a tempi differenti, per l’intervallo di tempo.

Facendo sempre avvicinare l’intervallo di tempo allo zero troviamo, per ottenere

l’accelerazione vettoriale istantanea, l’operazione di limite per l’intervallo di tempo tendente

a zero del rapporto tra la differenza dei vettori velocità e dell’intervallo di tempo,

corrispondente alla derivata prima della velocità vettoriale, che essendo anch’essa derivata del

vettore posizione, possiamo dire che l’accelerazione istantanea vettoriale è anche uguale alla

derivata seconda del vettore posizione rispetto al tempo, andando a sostituire troviamo:

Arrivati a questo punto dobbiamo aprire una parentesi per il calcolo della derivata di un

versore:

La derivata di un vettore è anch’essa un vettore se consideriamo un versore qualsiasi e

facciamo il prodotto scalare per se stesso, deriviamo entrambi i membri e ci ritroviamo con il

prodotto scalare tra due volte il versore per la sua derivata uguale a zero, il prodotto scalare

non è altro che il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo che questi due