Tutti i possibili esercizi dell'esame di Algebra lineare e geometria

ESERCIZIO 1

1. Trovare eq cartesiana di P span (¹⁄₂¹⁄_-1)
2. Det eq cartesiana di R L P passante per (1⁴⁄₈)
3. Det proiez ortog di P ⁽³⁄₃⁵⁄₁) su P
4. Det la distanza tra P₂⁽¹⁄_-1) e P

1. Fai matrice con i vettori, poi A^T e inserisci a b c

a = |2   0  1| = 2   b = |1   0  | = +1   c = |1   2| = -3

→ 2x + 3y + 3z = 0

2. Formula

|x - 1   y   z = -2|3x - 3 = -6y 6y = 2z

(x 1 2y = 3 1 3y + z = 0)

3. SISTEMA CON P ⁽³⁄₃⁵⁄₁) E LE SOLUZ PRECEDENTI

{2x - 4y + 2 = 0x + 2y = 13x + z = 0

→

(y = 1/7  x = 5/7  z = -3/7)

4. |1    1    1|x_p    y_p    z_p - |a x_p + b y_p + c z_p + d|

Formula:

⁄ √a² + b² + c²

a = 2b = -1c = 3d = 0

ESERCIZIO 1

1. Trovare eq cartesiana di II span
   • (¹/₂)
   • (-¹/₁)
2. Det eq cartesiana di RL II passante per
   • (¹/₂)
3. Det proiez ortog di
   • p(³/₁)
   su II
4. Det la distanze tra
   • p₂(¹/₁)
   e II

1. Fai matrice con i vettori, poi A^T e inserisci a,b,c |1 1| |1 4 | |a b c| |1 0 0| |2 0| —› ora|1 0 | —› ora calcola DET|0 2 c| |-1 1| |1 1 | |-1 1 1|

   a = 2011 = 2; b = 10-11 = +1; c = 12-11 = -3

   → 2x + ³/ ₂y + 3z - 0

2. |1 x_p| |1| |0 y_p| |0| |0 z_p| |0|

   Formula

   x-x_pabc

   x - 1 y z = ²/₃ --- = --- ³/₂ - ⁶/₁

   3x - 3 = ^-6y₂z 3x - 3 = 0 -6y + 2 = 0

3. SISTEMA CON p(³/₁) E LE SOLUZ. PRECEDENTI |2x - y + z = 0| y =¹/₇ |⁵/₇| |x + 2y - 1| —› x =⁵/₇ —› |¹/₇| |3x + z = 0| z =^-3/7 |^-3/₇|
4. |1 x_p| |1 y_p| |1 z_p|

   Formula

   |ax_p + by_p + cz_p + d| √ a² + b² + c²

   • a = 2
   • b = -1
   • c = 3
   • d = 0

Esercizio 2

• I₁: x+y-z=6
• I₂: x-y+t=4

1. Rappr. Parametrica di r: intersezione di 2 piani
2. Eq. cartesiana del piano ⊥ a r e passante per O
3. Trovare P su r a distanza √2 dal punto (5,1,0)
4. Trovare angoli (coseno) formati dai 2 vettori diret. delle dir. r₁, r₂, n⟂O e i₂-n⟂O

1. Sistema con I₁ e I₂

   {  x+y-z=6  x-y+t=4}

   Poi creo la matrice A = Ā|B

   A = |1 1 -1 | 6|     |1 -1 1 | 4|

   Rⱼ A=2, Rⱼ Ā=2 → Risolubile

   Riduzione a scala

   (1 1 -1 | 6) → |1 1 c|(1 -1 1 | 4) → |0 -2 1 | -2

   x+yt=α1+2y+2α = 2z=α

   x=5y=α+1z=α

   |x| = |5| + α |0||y| = |1||t| = |0|

2. Basta guardare il vettore direttore → |0|

                                    |1|                                 |1|

   → y+z=0

3. P: |5|=|5|+t |0|   |1|       |1|   |0|       |1|

   Formulad(P,Q)=√((xₚ-xₐ)²+(yₚ-yₐ)²+(zₚ-zₐ)²)

   xₚ=5yₚ=1+ttzₚ=t

   =√0+t²+t²=1(√2)

   se t+1 → |5|     |5|   |0|   |1|=|1|+t< ₁[5]   |0|=|1|

   se t=-1 →|5|                  |0|  |1|  =|1|             |0|  |0|    =|0|    

4. r₁ ⟂ O

   |x+y-z=6|  →   |x-2α +5||y+z=0        |y=-α  → DIRETTORE|z=α

              |2|                        → &alpha coeff           |1|                   

   r₂n⟂O

   |x+y-z=4|  →   |x-2β+4||y+z=0   |y=-β → DIRETTORE|z=α

   |-2||-1||1|

   cosΘ = < V₁, V₂ ⟩ = 1/3||||V₁|| ||V₂||

ESERCIZIO 3

A = | 0 2 2 | | 2 4 2 | | 2 2 0 |

1. Polinomio Caratteristico
2. Trovare Autovalori di A con molteplicità
3. Det Base di ciascun autospazio
4. Hat instöabile N tale che N^-1AN è Diagonale? In caso negativo Trovare Matrice B con lo stesso pel contai di A, ma non simile ad A

1. P_A(t) = det (A - Iλ) = |A - λI|³

   = |-λ 2 2 | | 2 4-λ 2 | | 2 2 -λ| = -λ | (4-λ)(-λ) - 4 | + 2 | -2 -2 | = > λ(λ-2)²

2. λ_g = 0, λ = 2

   μ_λ1 = 1, μ_λ2 = 2

   m(λ1) = 1, m(λ2) = 2 = > n(λ2) = N - Rg (A-Iλ) = N - I(A-λI) n(2) = 3 - |A - 2I| = 3 - 1 = 2

   => | -2 2 2 | | 2 -2 2 | | 2 2 -2 | Rg=1

3. V_n2 = V₀ = {(A - 0I)X = 0}

   | 0 2 2 | |x| |0| | 2 4 2 | |y| = |0| | 2 2 0 | |z| |0| => Rg + 2z = 0 -2x + 4y + 2z = 0 2x - 2y = 0 | y = -z | | z = z | | x = -z |

   | x | α |-1 | | y | = | 1 | | z | β | 0 | => B(V₀)

   V_n2 = V₂ = {(A - 2I)X = 0}

   | -2 2 2 | | 2 -2 2 | | 2 2 -2 | | 2x - 2y = 0 | | z = β | | y = α | | x - α + β | | z = β | | y = α |

   | x | | | | y | = α | 1 | | z | | 0 |

   => B(V_λ2) = | x | = α | 1 | β | 0 |

4. A è diagonalizzabile siccome μ_λ1 = m_λ1, m_λ2

   N = | vet1 d11 | | vet1 d11 | | vet1 d11 | => | 1 -1 0 | | 1 0 1 | | 1 0 | N^-1AN = | 0 0 0 | | 0 2 0 | | 0 0 2 |

ESERCIZIO 6

FORMA QUADRATICA

x² + y² + z² + t² + 2xz + 2yt

1. Scrivere la matrice Associata
2. Scrivere Q in forma canonica nelle variabili
3. Trovare matrice H tale che
4. Segno di Q

1. ( 1 1 ) ( x₁ x₂ x₂ ) = ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x₂ y₁ z₂ y₂ + z ₂ + l₂ / x₁ y₁ z₁ l₁ / x₂ y₂ z₂ l = ( 101 1 ) x₁ 02 2 00 1 01 x₂ 02 2 0 1 1 1 x₁ z₂ 01 010 x₂ l₁ 0 110 x 0 1 0 0 1

2. Trova il polinomio caratteristico

   |Q-λI| = (-λ) (-1-λ) (-1-λ) (1-1) = 0 λ₂ (λ-2)² λ₂ semidef. positiva x= 2(x₁)² + 0(y₁)² + 2(z₁)² = 2(x₁) + 2(z₁)

3. Trova gli Autospazi

   V2α = {(A-0I)x = O} ( 1 -1 0 0 x = α ) ( 0 0 x + z=0 ) ( 0 0 y + t=0 ) ( 0101 x ) τ = x + z = α τ = y + t = β

Esercizio 5

1. Rango di A al variare di K
2. Per quali K ho soluzioni
3. Per quali K dimS>2
4. K=-1 sol.inf e napp.parametrica

1. faccio det A e trovo i K, poi guardo il Rg
   • k=0 il rango è 0 1 2 0 2 0 0 0 1 Rg A=2 col lin indip Rg Â=3
   • k=1 il rango è -1 1 -2 0 0 1 1 -1 1 Rg A=2 Rg Â=2 Dim Sol: N=Rga=4
2. Ho soluzioni per k=-1
3. Dim S>2 se k=-1
4. k=-1
   • 1 3 3 2 -1 0 0 1 1 -1 1
   • Rg A=3
   • dim S = n- Rg A-1

Esercizio 6

P₁ = ¹/₁, ¹/₃

P₂ = ^-1/_-1

P₃ = ³/₁

1. Eq Cartesiana Retta r passante per P₁ e P₂
2. Eq Cartesiana di π passante per P₃ ortogonale a r
3. Punto di Intersezione A di r con π
4. Coseno angolo tra P₁P₂ e P₁P₃

1. Faccio prima la parametrica

P = _{P1 + tV}

V = ^{P₂ - P₁}

x - 1 = ¹/₁

t y - 2t

x = 1 + t (1 - 1)

y = 1 + t(-1 - 1)

z = 3 + t(1 - 3)

P₂

P₁

x = 1

y = 1 - 2t

z = 3 - 2t

y = z + 2

B

x - 0₁ = x₁

2

3 - 2 = 1

z = 3 + 4 = y

x = 1

z = -1

x = 1

y = -2t

t = 1

2 = 1 - 2t

t₁,

y = 1

x = 2y = z + 2

y² + z = 0

1. π:

x - ¹/_-2t

z = 3 - 2t

z + 2 = α + β y

x - ²/₁ + C

u = (0/2),

z = -2t

Generica π con α

αx + βy + z + d = c

-2y - 2z + 4 = 0

z + yα + z + 2 = π

Imposso passaggio per P₃

3(0) + 1(-2) + 1(-2

d = 4

-2y - 2z + 4 = 0

y + z - 2 = 0

π

1. r:x - 1

q

1. con π xi = 1

z = -2 y + z + 2 = 0

x = 1

y = 0

z = 2

Q = ^{(1) (0) (2)}

u = sin θ

1. |μ| |ν| |cos θ|

cos θ

con u =

e V =

ESERCIZIO #

A =

B =

1. Eq cartesiana di π passante per A e B
2. Eq cartesiana di π parallela ad R e passante per C: 011
3. Eq cartesiana di π contenente R e N
4. Distanza di π dall’origine

1. Direttrice

   A + t(B-A)

   (

   110011

   )

   x₁ + x₂ = 2y - 3z

   "y=1, x+z=2"

   x-1 + t

   y-1 = t

   z = x+1

2. x = x_C + aty = y_C + btz = z_C + ct

   stesso direttore

   perchè parallelo

   (

   110

   )

   x = t

   y = 2

   z = 1-x

3. π: A + t(B-A) + s(C-A)

   (

   110101

   )

   x = 1+t+sy = y + 1z = 1-z

   X+y+z = 3

4. x + y + z + 3 = a + b + c + d

   a(x₀) + b(y₀) + c(z₀) + d

   =

   origine

   Formula

   √( a² + b² + c² )

Esercizio 8

Considero i punti

(0, 0, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 0)

1. Equazione cartesiana del piano π per i 3 punti
2. Equazione parametrica retta r passante per Origine ortogonale a π
3. Punto d'intersezione tra r e π (<a>)
4. Distanza Q da π

1) π: A + α(B-A) + β(C-A) -> (²/₀) (x/₁) + α (^-2/₁) + β (^-2/₀) [x = 2, y = -2α - 2β] {x = 2 y = 2 z = 2

2) r: (⁰/₀) = t (^-2/₄)

3) Ci serve la cartesiana di r: (⁰/₀) + t(²/₁) [x = 2t y = 4t z = t

4) D(O, π): |ax_a + by_a + cz_a + d| / √(a² + b² + c²) = c_a / 21