Turbomachinery B

Turbo Machinery: Stress on Continuum Bodies

Consideriamo un volume di controllo, definito dalla superficie S, chiamiamo "stress" in un punto della superficie relativo alla sup infinitesima ds:

_σi = _FA

n̂ = normale a ds

t̂ (sempre uscente dalla superficie)

t̂ · n̂ > 0

• 3 componenti: t_i = ∑(t_i)_s (Cauchy tetraedro) formato da 3 vettori t_i o da 9 scalari τ_ij

• CASO 1: "FLUIDO A RIPOSO": (no velocità) _tn̂ = p_n̂xu pressione idrostatica spinge verso la superficie ma n̂ e uscente da S. Qui _tn̂ (stress) è ⊥ a S
• CASO 2: "FLUIDO NON A RIPOSO" Possiamo avere 2 zone:
  • Se la velocità (gradiente) è bassa consideriamo il fluido a riposo (no)
  • Se il gradiente di V è alto, lo stress è dato da: _tn̂ = -p_n̂ + t̂_{2n̂viscous stress}
  • Dato dalla viscosità: → t̂ < 1/3 t̂   t̂

APPROCCIO LAGRANGIANO: (O CONTROLLO DI MASSA)

Concentriamo su una massa e seguiamo il suo movimento, così le variabile e:

• passione iniziale φ = φ (r₀, t)
• non usato in turbomacchine (e=tempo) → difficile usarlo (trattiamo moti complessi).

usiamo l'approccio eul ên

APPROCCIO EULERIANO: (O VOLUME DI CONTROLLO)

Ci concentriamo su un volume di controllo e vediamo cosa succede ai suo interno, le masse e queste variabile:

• φ = φ(rt) e = φ(r, t)= ∫ [(r(₀, t)]
• a partire diretto da: φE][t)
• d

  E = dt = −...] ⊛^

  derivata pressione su ↔spazio derivata temp ...

  den_{termeno l'avvettivo}a) dE D

  1. Se φ dipende solo della posizione: ∂φ=0 → "stato stazionario"

  THEORETICAL DEL TRASPORTO DI REYNOLDS:

  Permette di passare d'uso approcìo, lagrangiano a euleriano e ci permette di capisce come qritamento quantita \Phi qui vuole la volume:

  ∫ Incorporare t_sistema!MO

  In turbomacchine, un fluido è per lo più V fisso _v⧸l^P (∫ (compressi,turbine non vanno di'V'),od,v) e derivata (funzione del tempo con uccendo:

  -Se t→ se l''(istante iniziale): V _{]P t f D ⎯}

  dV(t→0)

  ⫲ ∫ ∞ _tE d(x) ≃ ∫ ₀ t

  Risultati del teorema:

  d/dt ∫_v ρdv = d/dt ∫_vp ρdv + ∫_sp Φv·n ds

  ∫_sp Φv·n ds = ∫_vp (∇Φv)dv = ∫_vp (Φ∇v) +

  ∫_sp d/dt ∫_vp (Φv)dv = ∫_vp (Φv + v·∇Φv)dv = ∫_vp ∇(dΦ/dt + Φ∇v)dv =

  Applicando questo teorema, l'equazione di continuità

  m = ∫_vi dm = ∫_vo ρdv

  → applicando t. del trasporto:

  d/dt ∫_vp pdv = ∫_sp ρv·n ds = 0

  mass. entrante = m uscente

  per s.s.: d/dt = 0 → ∇·(ρv) = 0

  Relativo dell'inerzia (T.M, T.Q, T. inerzia)

  → possiamo ricavare l'equazione della dinamica, secondo 2 approcci:

  1) Lagrangiano:

  d/dt (mv) = ma = F = ∑F_i

  2) Eureliano:

  Trasporto:

  d/dt ∫_vp (∇(ρv))·∇(ρv)dv = ∫_vp ρ dv =

  per s.s. d/dt = 0

  ∫_sp ρv·n ds = ∫p (τ_n - p_n) ds

  d²p/dp = 0

  →

  dp/dp = cost

  → abbiamo assunto una piccola onda di ρ non dissipativa

  Gas Perfetto:

  q₀ = cost

  → q = c_p rapporto dei calori

  c_v specifici

  ∂p = kρ ∂p _x + ∂ρ

  → ∂ρ / ρ

  →

  →

  →

  a = √ (R_T)

  → dipende della θ

  Numero di Mach

  M = v/a a

  Esempio: Consideriamo una sorgente che produce una perturbazione di ρ:

  Subsonico

  [...]

  se fluido con vr opser

  supersonico

  [...]

  Cond. di Mach

  Flusso in un tubo:

  consideriamo un tubo

  →

  all’interno di un volume di controllo, dove abbiamo varie inv. di sog e controv. no scambio q = essere entrante nel sistema

  eq continuità:

  → ρ₁V₁S₁ = ρ₂V₂S₂ → d(jvs) = 0 → vsdq + vpdq + ρvdlv = 0

  eq quantità di moto:

  ρ₂V₂² S₂ - ρ₁V₁²S₁ = - ρ₂S₂ + ρ₁S₁ +mp(S₂ - S₁)

  eq energia:

  d(qpt) = d(q) (a)

  √(R₂)

  Eos per pas:

  p/ρ = RT

  → d (p/

  [...]

  →

  [...]

  dV/V + σdp/p

  Let's assume x cpt

  - Perciò è come se dovessimo immaginare di avere un p₀ = 1 per poter

  calcolare _p1 → _p2

  L(₂) = L(₁)+ Θ > Θ'

  Flusso in ugello:

  • CASO B: siamo riducendo da P₀ nel c, V t uno stato
  • onde divergente P₄ I M (subcritico)
  • CASO C: in conv P₄ I M ≈ sono delle onde dove
  • abbiamo p₀ = 1 (soniche). Dopo le onde nei divergente,
  • abbiamo P₄ ≠ I L (subcritico)
  • CASO D: in conv stessa usa onde c, nel divergente
  • abbiamo supersonic condizioni ≈ perciò ×
  • raggiungere condizioni sub ammesso in
  • "Onda normala" dentro il divergente
  • CASO E: nel divergente abbiamo P₄ T T T (supercritico);
  • usiamo in "ugello adattato"
  • CASO F: abbiamo stesse condizioni di E, ma
  • × raggiungere F dobbiamo avere
  • "Onda normale" all'uscita del divergente
  • CASO H: dentro il ugello
  • stesse condiz di J, ma P₂₄ P₃; perciò × raggiungere
  • quello P dobbiamo avere
  • "Onde oblique" a valle:
  • CASO G: P₃ P₄ abbiamo bisogno di una compressione
  • "ugello sovra espanso" con onde normali e oblique a valle:
  • CASO K: P_K4 P₃ dobbiamo avere, dopo avere raggiunto P₃, un
  • "ugello sotto espanso" con ventagli di espansione a valle (T P pseudo)
  • NB6: caso Θ, Θ', Θ" ⇒ Iso+S/no dissipativo (xu lasciamo gli sfotti visivi)
  • Pv, pg : pressione di vapore e del gas (dissolti se ci sono) al corso della cavitazione
  • però NPSH ci dice quale è la distanza tra il livello di p nel punto di riempimento (Pr, Vr) e la pressione dove inizia la cavitazione (Pv, pg)
  • se NPSHreq <= NPSHdisponibile allora si cavitazione
  • se NPSHdisponibile <= NPSHrichiesto no cavitazione
  • parametro di similitudine abbiamo bisogno dei test sperimentali per ogni macchina x sapere questo valore
  • NPSH = _{nodo_propagatore}/^z H_head (prevalenza)

  COME TURBOMACCHINE SCAMBIANO E CON I FLUIDI?

  Considerando lo stato del moto g = mV = ∫∫S pdS

  • → da dentro ad un affludo da forze di volume e superficie : d(mv) / dt = ∫v∫ pdvol = ∫p∂dvol + ∫n ds = ΣF_ext
  • → r_peso ^qx∫n ds + ∫p∂dvol = T = τrelativo al sistema
  • → Se considero il seguente sistema, con volume ||| centro
  • ⋅da S₃ viamo alla superficie S_i S = S₁ < S₂ + S₃ + S₄
  • r_tex Dcle = b[(x - mv)] / DE dM_{tN = 01}
  • Tex = ^{∫x v ∫n ds + ∫rx < ∫p∂dvol + Tex}
  • ∫ρVnV_t ds = ∫r n ds + ∫ x ∂∂d ds tex
  • si = s₁ + s₄
  • sindoraling che vanare ^unstable prehension all orbital surface ^{f(x - pn)} = vatorial system
  • p è zero superficie se in niente sia roto
  • per il disegno qui di decisioni → ^{vindex, vto} il fine della forma
  • tramite rango on restrognani direzione lunga distract → i minimi ben usati sono zpi penalta sopra costa_longa

  NB : = TZ è contrario nonellara < tra sempre

  z → lo prelo e pre e destacer no loro se si nulla che percore se gre integraux

  in segno force lento casolante della → ∫pV von ∫no l + alna con