Turbomacchine - Ponti

TURBOMACCHINE

Il motore a pistoni genera potenza che trasferisce all’elica che grazie a questa riesce a generare spinta. Il motore a

scoppio è sempre accoppiato ad un elica. I motori a turbina detti anche a reazione, riescono da soli a generare spinta

grazie alla velocità dei gas di scarico.

La forza esercitata sul compressore ha direzione utile al moto mentre quella sulla turbina è opposta. In questo tipo di

motore chi genera la spinta è quindi il compressore. Se in un sistema diventa non necessario il compressore sparisce

anche la turbina.

Classificazione delle macchine:

Innanzitutto ci sono macchine motrice e macchine operatrici. Le macchine motrici trasformano l’energia del fluido in

energia meccanica. Nel modo opposto quelle operatrici trasformano lavoro meccanico in energia di altro tipo.

Possono anche essere suddivise in funzione del tipo di fluido elaborato, ci potranno quindi essere macchine a fluido

comprimibile e incomprimibile.

Le macchine volumetriche si ha un certo volume fisso isolato che viene chiamato cilindrata che viene elaborato e

arriva alla mandata.

Nelle macchine dinamiche si ha comunicazione tra aspirazione e mandata

DETERMINAZIONE LEGGI DI HUGONIOT:

Se vi è un gradiente di pressione favorevole al passaggio del flusso per avere un accelerazione di quest’ultimo

̇ = .

occorre considerare la definizione di portata in massa definita come Si nota subito come questa sia

funzione sia della area che della velocità.

Mettendosi in una condizione di steady state caratterizzata dalla legge di continuità, ovvero una condizione in cui la

portata è costante.

Scrivendo la portata in massa ad entrambi i lati si ottiene:

=

1 1 1 2 2 2

=

Ciò significa che se la densità è costante l’equazione diventa: che mostra la dipendenza della velocità

1 1 2 2

dalle sezioni di ingresso e uscita.

Per ricavare le leggi di Hugoniot si devono fare le seguenti considerazioni:

=

- Fluido ideale: ≡ .

- Espansione isoentropica:

= √

- Velocità del suono:

=

- Numero di mach:

+ + ℎ = −

- Equazione generalizzata del moto dei fluidi (AP1) (1 princip. Sist. Aperti):

ℎ =

- Fluido ideale:

=

Il valore k nella equazione della è pari a e a volte viene indicato con

→ = 0

In particolare l’equazione generalizzata del moto dei fluidi, considerando pareti adiabatiche e pareti

→ = 0

fisse , e considerando che la variazione di potenziale gravitazionale per un fluido può essere considerato

= 0

così piccolo da essere trascurato ingegneristicamente, quindi

Diventa: + ℎ = 0

Manipolazione delle equazioni precedenti:

̇ = ,

1: L’equazione della portata in massa facendo un logaritmo ad entrambi i lati, diventa:

ln ̇ = ln = ln + ln + ln

ln =

Derivando ora tutti i termini e applicando la derivata del logaritmo per cui si ottiene:

̇

(ln )

̇ = + + = =0

⏟

̇

0

2: Derivando la condizione di gas perfetti si ha: 0

⏞

()

( ) = → − = +

3: Derivando la condizione di isentropia si ottiene:

( )= − =0

4: Derivando la condizione di fluido ideale: ℎ =

Si è ottenuto così un insieme di equazioni utili a ricavare le equazioni di Hugoniot.

(1)

+ + =0

(2)

− =

(3)

− =0

2 (4)

=

(5)

=

(6)

+ ℎ = 0 (7)

ℎ =

{

(6) (7)

+ ℎ = 0

Per ricavare le equazioni si parte dalla ovvero in cui per la diventa:

+ = 0 → + =0

(2)

Applicando la si sostituisce e si ricava:

.

+ ( − ) = 0 → + − =0

(3) =

Applicando la ponendo si ottiene:

( 1)

+ − =0

Infine riarrangiando mettendo in evidenza si ricava:

1

=−

− 1

= = −

Da questa equazione ponendo e , riarrangiando e mettendo in evidenza si ottiene:

=

−1

(4)

Andandolo a sostituire nella equazione trovata e ponendo la si ottiene:

= − = −

2

COMPONENTI STATICI

Condotti:

Si vuole progettare un condotto che acceleri il flusso più possibile. Se la sezione del condotto è variabile si può avere

un gradiente di velocità all’interno del condotto, in particolare se il fluido all’interno è incomprimibile.

Supponendo ora di avere come fluido l’aria che è comprimibile, l’obiettivo è determinare la forma del condotto che

mi permetta di accelerare il flusso.

La portata in un condotto dipende oltre dalla sua forma anche dal gradiente di pressione che si ha alle due estremità.

=− =− ,

Dalla equazione di Hugoniot ricavata prima, ovvero applicando la costanza della portata in

2

=− −

massa nella forma si arriva a:

+ =

Mettendo in evidenza l’accelerazione e riarrangiando il tutto:

1

= ( )

2

−1

Questo è un risultato molto importante in quanto mette in

evidenza la proporzionalità tra e in funzione del numero di

< 1

Mach. In particolare si nota che per si ha una accelerazione

> 0 ⟺ < 0,

positiva ovvero se il condotto è convergente,

> 1 > 0 ⟺ > 0,

mentre per si ha una ovvero se il

condotto è divergente.

Per avere una decelerazione vale ovviamente il discorso inverso.

Un caso particolare invece è quello dei condotti in cui si vuole accelerare un flusso da sub-sonico a supersonico.

Dalle relazioni ricavate fin ora si nota che con una semplice architettura convergente posso accelerare un flusso

massimo fino a Mach 1, per avere una accelerazione ulteriore vi è la necessità di una architettura divergente. La

soluzione che si adotta è un condotto che abbia parte inziale

convergente, una sezione di gola, e termini con una parte divergente.

In un condotto simile per avere una accelerazione simile devo far

si che nella sezione di gola si raggiungi una velocità sonica, in

modo tale da avere infine velocità supersoniche. Se invece in un

< 1

condotto simile il flusso entra ed esce sempre a velocità

allora si è in presenza di un tubo di Venturi.

EFFETTO DELLE PRESSIONI DI INGRESSO E USCITA:

Per calcolare quale sia l’effetto di una differenza di pressione a monte e valle di un condotto bisogna partire

+ ℎ = 0.

innanzitutto dall’equazione di conservazione dell’energia nella forma

Questo vale fatte le dovute considerazioni in una trasformazione isentropica.

Consideriamo che in un sistema vi è una entalpia totale e una statica, la prima che rimane costante mentre la

seconda, come visto prima, che nella trasformazione può variare.

L’equazione energetica quindi diventa: + ℎ = ℎ 0

ℎ ℎ = 0.

Dove è l’entropia totale che, fatte tutte e ipotesi iniziale, rimane costante nella trasformazione e quindi

0 0

Integrando questa ‘’nuova’’ equazione si ottiene: 1 2

+ ℎ = ℎ 0

2 ℎ

Considerando che l’entalpia totale del sistema non cambia si può valutare contemporaneamente anche la del

fluido in uscita, ottenendo allora: 1 1

2 2

+ ℎ = ℎ = + ℎ

0

2 2

ℎ =

In una equazione isoentropica vale e quindi sostituendo nella equazione precedente:

= − ℎ ) = √2 ( − ) = √ ( − )

√2(ℎ

0 0

= 0.

Con temperatura totale, ovvero la temperatura che potremmo pensare di avere all’imbocco per

0

Ricordando che per le trasformazioni isoentropiche valgono le leggi di Poisson:

(1) ≡ .

= → =

Ponendo e ponendo la 1 legge di Poisson ne deriva:

1−

() ≡ . → ≡ .

Riarrangiando si ottiene la legge di Poisson:

(2) ≡ .

−1

Da questa legge ponendo una condizione di uscita con e una iniziale ipotizzata all’imbocco , ponendo la

0 0

seconda legge di Poisson si ottiene: −1

0

(∗)

= → =( )

0−1 −1

0 0

=

Infine riprendendo la relazione: e sostituendola nella 1 legge di Poisson si ottiene:

(3) ≡ .

−1

(∗)

Sostituendo la relazione trovata prima nell’equazione della velocità di uscita si ottiene:

−1

√2 (1 )

= − ( )

0

0

Ricordando si ottiene:

−1

( )

Per valutare se ci