Turbomacchine Esercizi

1. Per il flusso incomprimibile laminare su una lamina piana con gradiente di pressione nullo, usando l'equazione integrale dello strato limite e un profilo di velocità cubico, u = αy + βy³, verificare che vale la seguente relazione per lo spessore dello strato limite, δ/x = 4.64/√Re_x.

Poiché il gradiente di pressione dp/dx = 0, la risoluzione con il metodo di Polhausen è semplificato. Il nostro profilo di velocità è il seguente: u = αy + βy³ → u = U(αη + βη³) dove η = y/δ(x)

Le condizioni al contorno saranno:

1. η = 0 → u/U = 0
2. η = 1 → u/U = 1
3. η = 1 → ∂u/∂y |_η=1 = 0

La 1) è identicamente soddisfatta.

1. 1 = α + β
2. U ∂(u/U)/∂η ∂η/∂y = U 1/δ(x) (α + 3βη²)

→ ∂u/∂y |_η=1 = 0 → U/δ(x) (α + 3β) = 0

α + β = 1

α = 1 - β

U/δ(x) (α + 3β) = 0 → U/δ(x) (1 - β + 3β) = 0

U/δ(x) (1 + 2β) = 0

α = 1 - β

α = 1 - β

α = 3/2 β = -1/2

Avremo quindi il seguente profilo di velocità adimensionializzato: u/U = 3/2 η - 1/2 η³

A questo punto è possibile calcolare le grandezze adimensionali

Θ₁ e Θ₂ (1.42 e 1.45)

Θ₁ = ∫₀¹ (1 - η) dη ∫₀¹ (1 - &frac{3}{2}η + &frac{1}{2}η³) dη =

Θ/δ = ∫₀¹ [&frac{3}{2}η - &frac{1}{2}η³] dη = &frac{3}{4} + &frac{1}{8} = &frac{8 - 6 + 1}{8} = &frac{3}{8}

Θ₂/δ = ∫₀¹ [u/U] 1 - u/U dη = ∫₀¹ [&frac{3}{2}η - &frac{1}{2}η³](1 - &frac{3}{2}η + &frac{1}{2}η³) dη =

= ∫₀¹[&frac{3}{2}η - &frac{1}{2}η³] - ∫₀¹[&frac{3}{2}η - &frac{1}{2}η³]² dη =

= ∫₀¹[&frac{3}{2}η - &frac{1}{2}η³] dη - ∫₀¹[&frac{9}{4}η² - &frac{3}{2}η⁴ + &frac{1}{4}η⁶] dη =

= [&frac{3}{4}η² - &frac{1}{8}η⁴ - &frac{9}{12}η³ + &frac{3}{10}η⁵ - &frac{1}{28}η⁷] ₀¹ =

= &frac{3}{4} - &frac{1}{8} - &frac{9}{12} + &frac{3}{10} - &frac{1}{28} = &frac{35 + 84 - 10 - 9}{280} = &frac{39}{280}

Consideriamo l'equazione integrale di Von Karman:

U² dδ₂/dx = τ₀/ρ ; per definizione τ₀ = μ ⟦ du/dy ⟧_y|y=0

dU/dy|_y=0 = U/d(x)( α + 3βγ) |_y=0 = &frac{3}{2} U/_δ(x)

Mettendo a sistema

r₀ = 0,332 μ·U₀ √V_∞ / V_x = 0,332 · 1,86 · 10^-5 √9 / 1/60 · 10^-5 =

= 0,041683 N/m²

b) Soluzione di Polhaussen (per il profilo cubico precedente)

δ = x₀·4/64 / √R_ex = 1·4/64 / √5,632·10⁵

= 0,006183 m

δ₁ = ∫₀¹∫₀¹(1 - μ / U) dη = ∫₀¹(1 - μ / U) dη = 0,006183 ∫₀¹(1 - y U) dy =

= 0,006183·3 / 8 = 0,002319 m

τ₀ = 0,323 √U² / R_ex = 0,323·1,164 √ϕ² / 5,632·10⁵ = 0,04058 N/m²

7.

Una chiatta lunga 30 m e profonda 12 m si muove alla velocità di 1 m/s su acqua a 15°C.

Fornire una stima della resistenza all'avanzamento, sapendo che la transizione avviene a _Recr = 3·10⁵.

U = 1 m/s

T_a = 15°C = 288,15 K

Re_cr = 3·10⁵ (transizione al flusso turbolento)

μ_H2O necessario interpolare fra μ (T = 10°C) = 1,307·10^-3 N·s/m² e μ (T = 20°C) = 1,002·10^-3 N·s/m²

μ = 1,307 - (15 - 10)/(20 - 10) x μ = 1/2 (1,002 - 1,307) + 1,307 = 1,1545·10^-3 N·s/m²

Re_L = (ρ_H2O · U · L) / μ_H2O = (1000 · 1 · 30) / 1,1545·10^-3 = 2,59853·10⁷

Poiché la transizione avviene esattamente a Re_cr = 3·10⁵, è possibile sfruttare l'equazione 1.184:

c_d = 0.074 - A/Re_L^1/5 dove A = 1050 =>

=> c_d = 0.074 - 1050/(2,59853·10⁷)^1/5 = 0.002393

Poiché il numero di Re è maggiore di 10⁷, è più opportuno sfruttare la formula sperimentale 1.188.

r_i = 6.5 cm

r_e = 15 cm

𝒵 = 8 kg/s

N = 270 giri/s = (270 . 2 . 𝒑 rad/s = 1696.46 rad/s = 𝘌

V₂₀ = ➡ V₂₁ V₀

M_r (re) = 𝑎 (re) / ^V𝒵RT₁

𝒵 = 𝜏₁𝐴₁𝑣茡 dove 𝜏茡 = P茡 / RT茡 e A茡 = 𝒑 (r₂ - r_i₂)

Consideriamo To茡 e P茡 condizioni ambienti, ossia

To茡 = Ta = 15𝔫C = 288.15 K e po茡 = pa = 1 atm

T𝘌₁ / T₁ = [ Po₋ / Po₄ ] ^ ⁻¹𝑥

T茡 + V茢₁茡/2c𝑕

𝔫 = Cp V₂

νe > α2 > β2e > β2 > ν2 > νe > β2e = > α2 = 250 - β = 37064;

ν2 =

ν2

= 0,865334 > β2e = arctg 0,865334 = 0,713329 rad = 40,83708_o

Λe=1-

2νe ^/2

2-250

^{V8α + V0e} < 1 - 39,7998 + 120,2 = 0,68

radice mezzeria punta

Dall'equazione 7.8 della parte di progettazione turbine,

calcolo il coefficiente di carico ψ:

ψ = 2 (β_{p 2} + β_{p 3}) = 2 ⋅ 260/360 (0,758992 + 1,56094) =

= 3,35234

α₂ = 65°

α₃ = 10°

β₂ = 37°

β₃ = 57°