Trasmissione del calore - Postulato Fourier

Il postulato di Fourier e la conducibilità termica

Consideriamo una generica superficie infinitesima dS all'interno di un corpo che è sede di una disuniformità di temperatura. Il postulato di Fourier quantifica l’entità infinitesima dello scambio termico che attraversa la superficie nel caso di assenza di moto relativo di massa (conduzione): questo dQ è proporzionale a dS, all’intervallo infinitesimo di tempo dτ e alla componente del vettore gradiente ortogonale alla superficie:

dQ = -k dS dτ (dt/dn) (GRAFICO)

Il segno “-” è stato introdotto per rendere il calore maggiore di 0, giacché si passa da punti a temperatura maggiore a punti con temperatura minore. Leggendo il postulato di Fourier in termini di relazione causa-effetto, notiamo che ciò che dà origine al fenomeno è la disuniformità di temperatura all’interno del corpo. In seguito a questo gradiente di temperatura, il sistema mette in atto tutti i meccanismi possibili per raggiungere l’equilibrio: si genera un flusso termico diretto dai punti a t maggiore verso quelli a t minore.

I coefficienti posti dinanzi all’effetto (cioè alla componente del gradiente in direzione normale), essendo il reciproco di una resistenza, rappresentano la favorevolezza del sistema a lasciarsi attraversare da un flusso di calore in seguito ad uno squilibrio di temperatura: difatti, assegnato che sia uno squilibrio di temperatura, l’energia che fluisce attraverso la superficie è tanto maggiore quanto più estesa è la superficie stessa, e quanto più ampio è l’intervallo di tempo considerato.

In realtà, il postulato di Fourier introduce e definisce k. Questa favorevolezza del sistema prende il nome di coefficiente di conducibilità interna. In generale, k dipende dal tipo di materiale, dal fatto che questo sia omogeneo oppure no e dall’eventuale presenza di direzioni privilegiate di propagazione del calore, oltre che dallo stato di aggregazione del materiale stesso:

k = k (mat; x, y, z; φ, z; t, p)

Nel caso in cui il materiale considerato sia omogeneo e isotropo, è possibile eliminare la dipendenza “spaziale” di k rispetto al materiale, per cui esso, una volta fissata la natura del corpo, sarà esclusivamente funzione della temperatura.

I valori di k (così come la sua variazione in seguito ad un innalzamento o ad una diminuzione di temperatura) variano molto in relazione al tipo di materiale. Per i solidi metallici cristallini, la conducibilità termica interna varia tra 10² e 10³ e diminuisce all’aumentare della temperatura poiché la componente cristallina viene deformata ostacolando il flusso di elettroni che sono il principale meccanismo di trasporto termico.