Trasmissione del Calore

TRASMISSIONE DEL CALORE

Tabella meccanismi trasporto, simbologia, eq. conservazione energia → V. TERMODINAMICA

Eq. conserv. energia in forma differenziale → come si arriva da forma integrale.

Ω(t) ∫_Ω(t) ^t⁄₂u_ku_k dV = ∫_Ω(t) ^tk_kV_r dV + ∫_Ω(t) f_iku_kn_k ds - ∫_Ω(t) Q_k n_k ds

1. Grandezze e q_ik e f_ik vanno definite in funzione dei campi incogniti (velocita e temperature)
2. Non risolveremo mai le eq. generali, ma le versioni semplificate e relative al caso d'esame

CONDUZIONE

u_k = 0 V_ik → corpo solido oppure fluido in quiete

∫ dE ⁄ dt = ∫ šQ = -∫ ^q⁄_kk V_ik

(Eliminiamo da eq. cons. energia tutti i termini in cui compare u_k)

Devo trovare legame tra en. interna e flusso termico in modo da ottenere equazione con 1 sola incognita

Equazioni Costitutive = relazioni fra 2 o + grandezze che derivano da osserv. sperimentali

flusso termico

q̇_i = -K_ik ∇T_k

operatore di Temperatura = (∂T/ ∂x, ∂T/ ∂y, ∂T/ ∂z)

K_ik =

[_{Kxx Kxy Kxz}]

[_{Kyx Kyy Kyz}]

[_{Kzx Kzy Kzz}]

(Tensore di Conduttività termica)

[K] = [W/m∙K]

* (relaz. valida x Corpi anisotropi (condutt. termica varia a seconda della direzione => es. legno calore viene trasportato + facilmente lungo le fibre che non in direz. ⊥ alle fibre)

x Corpi isotropi   ⇒   K_ij = [K] δ_ij ☉ delta di Kronecker

(→ unica condutt. termica)

⇒ q̇ = -☉K∇T   (→   Postulato di Fourier)

(tiene conto di II° legge termodinamica   (flusso termico vs. Corpi & Δ grad〈T〉))

Flusso termico è vettore ∥ al gradiente di temperatura ma diretto in verso opposto

Condizioni Interfaccia

1. Raccordo Complessivo flussi termici → q_n1 = q_n2
   • Segno "+" perché flusso termico esce da un dominio ed entra nell'altro
2. Raccordo temperature → |T₁(x̅,t) - T₂(x̅,t)| = f(x̅,t)
   • f(x̅,t) =
     • 0 Contatto termico perfetto (i 2 corpi perfettam. "saldati" tra loro)
     • (R_cont * q̅/2) Resistenza termica di contatto dovuta a contatto non perfetto (x es. tra 2 corpi semplicem. appoggiati più o meno un sottile lamina d'aria che fa da "isolante")

Adimensionamento

Consiste per rendere generali le equazioni

Parametri necessari:

• L → lunghezza caratteristica
• T₀, T₁ = temperature caratter. (x es. temperatura iniz. e la temp. di un fluido che lambisce il corpo)

Variabili adimensionali:

• θ = (T - T₀)/(T_h - T₀) → temp. adimensionale
• ξ = X/L → lunghezza adimensionale
• τ = t/(L²/a) → tempo adimensionale
• J̅ = q̅/(k(T_h - T₀)) → flusso termico adim.

Variabili dipendono da scelta arbitraria delle grandezze caratter.-stiche

1) se q̇ = cost.

Q_c = q̇πr² / 2

∫ Q_c(r) / r dr = q̇πr² / 4

. simmetria sferica → es. sfera cava:

se T_s1 e T_s2 uniformi

→ V = ∇T(r)

▿² = 1 / r² d / dr (r² d / dr) = 1 / r² d / dr (r² d / dr)

sost.: in eq. di Fourier:

1 / r² d / dr (r² dT / dr) = -q̇(r) / k

[... moltiplica per r² e integra]

T(r) = -∫ q̇(r) / kr² dr - A / r + B

2) se q̇ = cost.

q̇_s(r) = q̇ r² / 3

∫ q̇_s(r) / r² dr = q̇ r / 6

Conduzione Stazionaria: Metodo dell'Analogia Elettrica

Lo si usa solo se ġ = 0 (niente generazione di potenza termica) In tal caso q̇ = - K ∇T

1. piano → T(x) = Ax + B ⇒ φ = -KA
2. cilindrico → T(r) = A ln(r) + B ⇒ φ = -KA/r
3. sferico → T(r) = -A/r + B ⇒ φ = -KA/r²

(si semplifica, però si forza omettendo il termine legato a q̇ generata)

Potenza termica che attraversa la superficie:

• piana → Q̇ = -KAS (dove S è l'area della sup. piana)
• cilindrica → Q̇ = -KA/2πL
• sferica → Q̇ = -KA/4πr²

Condiz. al contorno: (temperatura imposta)

• piano → T(x₁) = T₁, T(x₂) = T₂
• cilindrico → T(r₁) = T₁, T(r₂) = T₂
• sferico → T(r₁) = T₁, T(r₂) = T₂

Risolvo il problema:

piano T₁ = Ax₁ + B T₂ = Ax₂ + B

A = (T₂ - T₁) / (x₂ - x₁) Q̇ = KS(T₁ - T₂) / δ (δ = spessore)

cilindrico T₁ = A ln(r₁) + B T₂ = A ln(r₂) + B

A = (T₂ - T₁) / ln(r₂/r₁) Q̇ = K2πL(T₁ - T₂) / ln(r₂/r₁)

sferico T₁ = -A/r₁ + B T₂ = -A/r₂ + B

A = (T₂ - T₁)r₂r₁ / (r₂ - r₁) Q̇ = 4πkr₂r₁(T₁ - T₂) / δ

udche

sostituendo nel bil. energetico:

sviluppo i vari termini:

dall' equaz. diff. scriviam in lineare a coeff. variabili del 2° ordine

(geomatria)

ALETA A SEZ. COSTANTE (sezione non varia lungo x)

Divido tutto per A:

omessa la “bar” sopra (questa è sempre la T media sulla sezione!)

dividiamo

( [1/m^2] )

lunghezza catteristica dell' aletta

NOTA → si è ipotizzato lo stesso coeff. scambio termicoconvettivo h per sup. alettata e sup. non alettata

(in realtà avrei 3 diversi valori di h nell’espressionericavata prima → non posso semplificare h)

1. n° di alette (n) non può essere troppo alto, sia × ragionidi costo che × permettere al fluido di scorrere attraversole alette stesse; S_fz aletta A₀ non può essere troppopiccola, altrimenti avrei aletta troppo deformabile

Efficienza Aletta

η = ^Q₀⁄_Qmax = ^βhA₀θ₀⁄_h(A0θ0) ≤ 1

(Q₀ sarà sempre inferiore a Q_max)

• Q scambiata nel caso in cui aletta abbia T uniformee pari a quella della superficie in base

⇒ Q₀ = ηQ_max = ηhA_totθ₀ = h(nA_tot)θ₀

A_eff → area effettiva aletta(= area che avrebbe aletta a T uniformeper scambiare la stessa pot.termica dell'aletta reale)

Numero di Biot di un'aletta

Bi = ^hS⁄_K , S = ^A⁄_P

• Se Bi è sufficientemente piccolo, hp. approccio integrale(appox e profilo 1D) e lecita

(sempre solo questo)

(sempre applicato all'eq. visto prima)

• Metodo soluz. per serie → Sviluppo e partenza da metodo separare variabili: Con tale metodo abbiamo ottenuto eq.

Ψ_n(x,y) = Cos(Λ_nx) Ch(λ_ny) soddisf.o eq. Fourier condiz. contorno per x=0, y=0 c.c. in x=L

• Sfrutto questo fatto: prendo Ψ_m ∈ Ψ_n (m, n 2 indici diversi) e faccio la loro combinaz. lineare:

Ψ^*(x,y) = a Ψ_m(x,y) + b Ψ_n(x,y) → è anch'essa soluzione dell'eq. Fourier → ∇²Ψ = a∇²Ψ_m + b∇²Ψ_n = 0

soddisfa anche le condiz. al contorno?

x=0 → ∂Ψ^*(x,y) / ∂x = a ∂Ψ_m(0,y) / ∂x + ∂Ψ_n(0,y) / ∂x = 0

(entrambe soddisfano questa c.c.)

y=0 → ∂Ψ^*(x,0) / ∂y = a ∂Ψ_m(x,0) / ∂y + ∂Ψ_n(x,0) / ∂y = 0

x=L → Ψ^*(L,y) = aΨ_m(L,y) + bΨ_n(L,y) = 0

(entrambe soddisfano le c.c.)

→ anche Ψ^*(x,y) soddisfa le condiz. di contorno

→ Una qualsiasi combinaz. lineare (anche una serie = somma delle infinite funzioni Ψ_n(x,y) è soluzione

∑_n=0^∞ B_nΨ_n(x,y) è soluzione

→ Considero y=z : Ψ(x,W) = Ψ₀(x)

con distrib. generica di temperatura