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Classificazione delle rappresentazioni cartografiche

2.

La rappresentazione piana dell’ellissoide comporta sempre delle deformazioni, ma si possono

definire delle rappresentazioni in cui è possibile annullare(non contemporaneamente) la

deformazione lineare, la deformazione areale o la deformazione angolare. Vediamo i casi

possibili.

 Rappresentazioni isogone o conformi: il modulo di deformazione lineare, pur

variando da punto a punto, non varia in uno stesso punto al variare della direzione

dell’elemento, pertanto, a meno di infinitesimi di ordine superiore, le figure

infinitesime sul piano risultano simili alle corrispondenti sull’ellissoide, con il

rapporto di similitudine che varia però da punto a punto; ne deriva che l’angolo

formato da due elementi infinitesimi sull’ellissoide, ovvero l’angolo fra le tangenti a

due linee uscenti da un punto, risulta uguale all’angolo formato fra le tangenti alle

trasformate di tali linee sulla rappresentazione. Nelle carte conformi la

è quindi nulla in ogni punto (δ=0).

deformazione angolare

 Rappresentazioni equidistanti: le distanze infinitesime sul piano risultano

proporzionali alle corrispondenti sull’ellissoide,almeno lungo le direzioni principali,

per cui si mantiene costante il rapporto fra le lunghezze di due archetti infinitesimi

è costante ed uguale all’unità il modulo di deformazione lineare

corrispondenti, cioè

(m

A=1).

 Rappresentazioni equivalenti: le aree delle superfici infinitesime sul piano risultano

superfici sull’ellissoide, per cui si

proporzionali a quelle delle corrispondenti

mantiene costante il rapporto fra le aree di due quadrilateri infinitesimi

corrispondenti, cioè è costante ed uguale all’unità il modulo di deformazione areale

(m =1).

a

 Rappresentazioni afilattiche: sono presenti tutti i tipi di deformazione ognuno dei

quali è però mantenuto nei limiti più ristretti possibili. 3

Elementi che definiscono una rappresentazione

3.

La rappresentazione dell’ellissoide sul piano è definita da due funzioni:

, λ) y =y (φ , λ)

x = x(φ

che stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra la posizione di un punto P sull’ellissoide,

data dalle coordinate geografiche φ e λ, e la posizione del corrispondente punto P’ sul piano

della rappresentazione, data dalle coordinate piane x e y.

La soluzione completa dei problemi inerenti una rappresentazione dell’ellissoide sul piano

comporta pertanto:

 La definizione delle formule di corrispondenza e delle formule inverse:

φ = φ(x , y) λ =λ(x , y) (1)

 La definizione dei moduli di deformazione e della deformazione angolare in funzione

delle coordinate geografiche φ e λ o meglio o (meglio per gli usi pratici) in funzione

delle coordinate piane x e y;

 La definizione del reticolato geografico ovvero la determinazione delle linee che sulla

rappresentazione costituiscono le trasformate dei meridiani e dei paralleli e, in

particolare, la definizione dell’angolo γ (convergenza dei meridiani) che la tangente

in un punto forma con la parallela all’asse delle ordinate

alla trasformata del meridiano

y. Vanno inoltre determinati gli angoli ε (riduzione alla corda) che la trasformata della

geodetica nella rappresentazione forma con il tratto rettilineo ( che la approssima)

estremi della geodetica stessa. E’ utile inoltre determinare, per le

congiungente gli

pratiche applicazioni il rapporto l / l’ fra la lunghezza della congiungente rettilinea dei

punti A e B e la lunghezza dell’arco di geodetica. 4

Pur prediligendo le rappresentazioni rispetto alle proiezioni, è significativo esaminare almeno

una carta ottenuta come proiezione nell’ipotesi semplificativa che la superficie di riferimento

sia sferica. Si accorda che le superfici sviluppabili su cui eseguire le proiezioni sono il piano (

proiezioni prospettiche), il cilindro e il cono (proiezioni per sviluppo). Utilizzando il piano, si

hanno, a seconda di dove si dispone il punto di proiezione P le proiezioni centrografiche,

stereografiche, scenografiche ed ortografiche; nelle proiezioni per sviluppo il cono o il cilindro

si dispongono tangenti o secanti l’ellissoide e il punto di proiezione è in genere il centro

dell’ellissoide o un punto all’infinito in direzione normale alla linea di tangenza.

4. Proiezione stereografica polare

stereografica polare i punti dell’ellissoide sono proiettati su un piano tangente

Nella proiezione

ad un polo con il centro di proiezione sull’altro polo; si assume l’asse y della rappresentazione

nella direzione in cui si proietta il meridiano fondamentale. φ e λ ed A’ la sua proiezione

Sia A un punto sulla superficie di riferimento di coordinate (fig. 7)

risulta:

OAP = π/4-φ/2 OA’ = 2Rtg(π/4-φ/2)

E pertanto le equazioni della rappresentazione sono:

x = 2Rtg(π/4-φ/2)senλ y = 2Rtg (π/4-φ/2)cosλ

O y

P p

  x

A c 5

delle due equazioni si elimina la coordinata φ e risulta:

Facendo il rapporto

y = xcotgλ

per cui con λ = cost si ha l’equazione di una retta; i meridiani sono quindi rappresentati da

rette uscenti dall’origine delle coordinate cartografiche (fig. 8).

e sommando membro a membro si elimina la coordinata λ e

Quadrando le due equazioni

risulta: 2 2 2

= [2Rtg(π/4-φ/2)]

x + y

per cui per φ = cost si ha l’equazione di un cerchio; i paralleli sono quindi rappresentati da

nell’origine degli assi (fig. 8) i raggi di queste

circonferenze concentriche con il centro

circonferenze sono evidentemente maggiori dei raggi dei corrispondenti paralleli e in

particolare all’equatore corrisponde una circonferenza di raggio 2R.

Essendo la proiezione conforme, il modulo di deformazione lungo il parallelo è uguale a quello

lungo il meridiano; tale modulo vale 1 ovvero non si ha deformazione, nell’intorno del polo e

arriva a 2, ovvero le dimensioni di un elemento lineare sulla rappresentazione sono il doppio di

elemento sull’ellissoide, sulla circonferenza che rappresenta

quelle del corrispondente

l’equatore. 6

Equazioni differenziali delle rappresentazioni conformi: 2 2 2

Partendo dalle espressioni dell’elemento lineare sull’ellissoide = ρ dφ+r dλ) e del

(ds

2 2 2

carta (ds’ ) ed adotando sull’ellissoide un sistema di

corrispondente elemento sulla = dx + dy

coordinate tale da essere isotermo (rdu =ρdφ; du = ρ/rdφ; u = ∫ ρ/rdφ ):

φ

dx = ∂x/∂udu ∂x/∂λdλ dy = ∂y/∂udu + ∂y/∂λdλ

+

u2 u2

E = X + Y

F = X X + Y Y

λ λ

u u

2 2

G = X + Y

λ λ

2 2 2 2 2 2 2

= (ds’/ds) + 2Fdudλ + Gdλ + dλ

m = Edu / r (du )

tgα = dλ/du.

La direzione di ds cioè il suo azimut è dato da:

Dire che m è indipendente da α significa affermare che è indipendente da dλ/du. Perché questo

si verifichi è necessario che: F = 0

E = G u2 u2 2 2

X X + Y Y = 0 X +Y = X +Y

λ λ λ λ

u u u2 2 2 u2 2 2 2

X / Y = -X / Y X + X / Y X = Y (1+X / Y )

λ λ λ λ λ λ λ

u u

u2 2 2

(X +Y )[1+(X / Y ) ] = 0

λ λ λ

u2 2

X = Y Dunque

λ

X = Y e X =- Y otterremo così le [1]:

u u u u

∂y/∂u = ∂x/∂λ

∂y/∂λ = ∂x/∂u

-

Poiché le rappresentazioni conformi sono definite da un sistema di equazioni alle derivate

parziali; le soluzioni si possono trovare a meno di funzioni arbitrarie, (infinite rappresentazioni

conformi). La particolarizzazione della rappresentazione si ha imponendo le condizioni al

contorno. Si può verificare facilmente che se sono soddisfatte le [1], l’angolo l’angolo tra le

due linee uscenti da un punto è conservato nella rappresentazione. 7

Uso delle funzioni di variabile complessa per definire le rappresentazioni

conformi

Le equazioni [1] coincidono con le equazioni di omogeneità di Cauchy e cioè con le condizioni

necessarie e sufficienti affinché la variabile complessa y + ix si possa definire quale funzione

della variabile complessa u + iλ.

Tutte le rappresentazioni conformi hanno quindi equazioni che possono essere ricavate dalla

relazione:

y + ix = f(u + iλ)

dove la funzione f è arbitraria; tale relazione può essere sviluppata in serie di Taylor con

termini immaginari assumendo come incremento la quantità immaginaria iλ con λ espresso in

radianti; si ha pertanto: ’v

2 3 4 v 5

y + ix = f(u) + f’(u)iλ f’’(u)(iλ) f’’’(u)(iλ) (u)(iλ) (u)(iλ) + …

+1/2! + 1/3! + ¼ ! f + 1/5!f

2 3 4 5

e tenuto conto che i = -1; i = -i; i = 1; i = i;

2 3 v 4 v 5

y + ix = f(u) + f’(u)iλ 1/2f’’(u)λ – 1/6f’’’(u)iλ + 1/24f’ (u)λ (u)iλ

- + 1/120f -…

Uguagliando le parti reali e i coefficienti dell’immaginario si ricava:

2 v 4

– ½ f’’(u)λ + 1/24 f’ …

y = f(u) (u)λ - [2]

3 v 5

x = f’(u)λ – 1/6f”’(u)λ (u)λ …

+ 1/120f -

Dunque, tutti i tipi di rappresentazione possono essere ottenuti particolarizzando la f(u) e

conseguentemente, tramite le derivate di questa funzione, tutti gli altri elementi dei secondi

membri delle [2].

Da notare che particolarizzare la f(u) equivale a stabilire a quale valore deve corrispondere il

o, in altre parole, a

valore della latitudine per ogni punto del meridiano fondamentale (λ=0)

stabilire come si deve trasformare tale meridiano. 8

Rappresentazione conforme di Gauss

5.

Le operazioni di tipo geodetico richiedono l’applicazione di sviluppi in serie troncati le cui

entro determinati campi. E’ possibile altresì spingere

approssimazioni hanno validità accettabile

gli sviluppi in serie fino a termini di qualsiasi ordine o di utilizzare serie rapidamente convergenti

per ottenere le precisioni volute in campi molto più ampi.

è utile affrontare il problema dell’effettuazione di calcoli geodetici

Invece di seguire questa strada

direttamente sul piano. Particolarmente utile allo scopo risulta essere la rappresentazione

conforme di Gauss che permette di risolvere i problemi geodetici con notevoli semplificazioni nelle

formule e maggiore facilità di calcolo. Considerato inoltre che la Carta di Gauss è quella utilizzata

per la cartografia ufficiale Italiana,ne illustriamo le caratteristiche fondamentali .

= 0) sia sviluppato in vera

Nella carta di Gauss si impone che il meridiano origine fondamentale (λ

lunghezza. φ

ou

f(u) = ∫ rdu = ∫ ρdφ

y =

(λ=0) 0

E’ evidente che questa condizione è sufficiente a definire la rappresentazione.

Per il calcolo delle f(u) ovvero delle ℓφ si ricorre ad uno sviluppo in serie di ρ che poi viene

integrato termine a termine ottenendo una funzione del tipo:

f(u) = Aφ Bsen2φ + sen4φ – Dsen6φ +…

- 2

Con A, B, C, D dipendenti dai valori dell’eccentricità e e dal semiasse equatoriale a. Sostituendo

nelle [2] si ottengono le coordinate piane:

φ)

x = f(λ, N, φ)

y = f(λ, N,

Che sono essenzialmente quelle che consentono di costruire la carta, di calcolare cioè le

coordinate piane dei punti cui si conoscono le coordinate geografiche.

x = x(φ, λ) [3]

y = y(φ, λ)

Ponendo alternativamente nelle [3] φ = cost e λ = cost si ottengono le equazioni parametriche dei

paralleli e dei meridiani che sono rappresentati da due famiglie di curve tra loro perpendicolari. 9

Reticolato geografico

6.

Le trasformate di meridiani e paralleli sono delle linee alquanto complesse.

La rappresentazione di Gauss è una rappresentazione conforme e pertanto gli angoli misurati

sulla carta corrispondono perfettamente con gli angoli misurati sull’ellissoide; le lunghezze

misurate sulla carta sono invece deformate rispetto a quelle misurate sulla superficie di

riferimento.

In figura 11 è rappresentato il reticolato geografico, ovvero il complesso di linee che

rappresentano le trasformate di meridiani e paralleli: si noti che la trasformata centrale è un

segmento di retta; inoltre si può facilmente constatare che mentre il meridiano centrale viene

rappresentato senza subire alcuna deformazione, la deformazione cresce rapidamente

allontanandosi dal centro.

Se si vogliono ridurre le fortissime deformazioni occorre limitare il valore della differenza di

longitudine dei punti rispetto al meridiano fondamentale, per cui la rappresentazione viene fatta

per fusi (porzioni di ellissoide compresi tra 2 meridiani) di determinata ampiezza per ognuno dei

quali si assume un diverso meridiano di riferimento; in questo caso, il valore di λ che interviene

nelle formule è la differenza fra la longitudine di un punto e la longitudine del meridiano preso

hanno un’ampiezza di 20°; nelle pratiche applicazioni però i

come riferimento. In figura 12 i fusi

fusi non superano l’ampiezza di 6° , ovvero λ non supera il valore di 3°: assunto cioè

l’antimeridiano di Greenwich come meridiano fondamentale, si costruisce una serie di 60 fusi

aventi ciascuno ampiezza di 6° e si rappresenta in un unico riferimento (x, y) la porzione di

territorio i cui punti abbiano differenze di longitudine rispetto al meridiano centrale inferiori o

4

λ

uguali a 3°. Ciò consente di semplificare notevolmente le formule, in quanto i termini in 10

-5

contenuti in espressioni di grandezze dimensionali risultano dell’ordine di 0,5*10 e possono

essere quindi in genere trascurati. 11

Angolo fra la trasformata di un meridiano e l’asse y

utile trovare l’angolo γ che

Per le applicazioni è in un punto P della rappresentazione, la tangente

alla trasformata del meridiano forma con la parallela all’asse y della rappresentazione (fig. 13),

angolo che risulta uguale a quello che la tangente alla trasformata del parallelo forma con la

all’asse x visto che, essendo la rappresentazione di Gauss conforme, le trasformate del

parallela

meridiano e del parallelo passanti per un punto formano un angolo di π/2. Considerando il

triangolo rettangolo infinitesimo che ha per lati un elemento dp di trasformata del parallelo e per

cateti dx e dy, si ha dopo opportune semplificazioni:

2 2 2

tgγ = λsenφ[1 + λ φ(1+ t )+…]

/3cos 12

Modulo di deformazione lineare

Poiché la rappresentazione di Gauss è conforme basta ricavare l’espressione del modulo m lungo

l

il parallelo dato:

12 22

/6ρ

m = 1+ x + x x + x N

1 2 m m

Definiamo inoltre l’angolo di riduzione alla corda, che è l’angolo fra la tangente alla trasformata

ed il segmento rettilineo che ne congiunge gli estremi:

ε = 1/6ρ –

N (y y )(2x +x )

21 m m 2 1 2 1

Per individuare la giacitura della trasformata della geodetica rispetto alla corda che ne congiunge

gli estremi vale la regola che se ε è positivo, ruotando a partire dalla parallela all’asse y in senso

ij se ε

orario si incontra prima la trasformata e poi la corda; al contrario, è negativo si incontra

ij

prima la corda e poi la trasformata. 13

Geodesia:

scienza che ha per scopo la determinazione della forma e delle dimensioni della terra

Topografia :

Determina gli scostamenti esistenti tra l’irregolare superficie fisica e la superficie matematica di

riferimento

Moti della Terra

 Rivoluzione

 Rotazione

 Moti millenari

La Terra ruota attorno al suo asse

• 

giorno tempo per compiere una rotazione completa

• Giorno solareperiodo che intercorre tra 2 culminazioni successive del Sole sullo stesso

meridiano

• Giorno sidereoperiodo che intercorre tra 2 culminazioni successive di una stella sullo

stesso meridiano(più breve del giorno solare per il moto di rivoluzione)

• 

circolo di illuminazione linea che separa la superficie illuminata da quella in ombra

• 

dì tempo nel quale la superficie riceve i raggi

• 

notte tempo nel quale la superficie rimane in ombra

• La durata del giorno siderale è di

• 23h 56m 4.091s. 14

La direzione della Forza di Gravità ,materializzabile col filo a piombo, viene detta

“verticale”.

Le superfici che in ogni punto risultano perpendicolari alla verticale in quel punto si dicono

“superfici equipotenziali” o anche “superfici di livello”

GEOIDE

Poiché la superficie libera di un liquido costituisce una superficie di livello, è naturale

prolungare idealmente la superficie delle acque marine, supposte in quiete, al disotto dei

continenti per fissare così una SUPERFICIE MATEMATICA DELLA TERRA

Si è giunti, mediante complessi calcoli, a definire

matematicamente una superficie di rotazione attorno all’asse polare detta “sferoide”.

La superficie dello sferoide differisce di pochissimo

dalla superficie di un “ellissoide di rotazione”, ottenuto dalla rotazione di un ellisse attorno

al suo asse minore. 15

Teoricamente si dimostra che la superficie di equilibrio di una massa fluida omogenea

soggetta alla sola forza di gravità può essere un ellissoide di rotazione.

PARAMETRI DELL’ELLISSOIDE 16

CON RIFERIMENTO ALLE SUPERFICI CONSIDERATE,

PER UNO STESSO PUNTO SI HANNO TRE VERTICALI:

• VERTICALE FISICA, rappresentata dalla direzione della gravità e individuata dal filo a piombo.

• VERTICALE O NORMALE GEOIDICA, determinata con osservazioni astronomiche.

• NORMALE ELLISSOIDICA: determinata tramite le coordinate geografiche.

MERIDIANI E PARALLELI

La terra ruota attorno al proprio asse minore detto asse polare terrestre N-S, i cui estremi vengono

definiti poli (polo nord o artico e polo sud o antartico)

COORDINATE GEOGRAFICHE

Meridiani e paralleli si Intersecano fra loro ad angolo retto e determinano sulla superficie di

riferimento un reticolato detto

reticolato geografico 17

COORDINATE GEOGRAFICHE

La posizione planimetrica di un punto sulla superficie di riferimento terrestre viene definita dalle

sue coordinate geografiche che possono essere:

• Coordinate geografiche astronomiche:

• riferite al geoide

ϕa

Latitudine astronomica

Longitudine astronomica λa

• Coordinate geografiche ellissoidiche: riferite all’ellissoide

ϕe

Latitudine ellissoidica

Longitudine astronomica λe

COORDINATE GEOGRAFICHE ASTRONOMICHE

ϕa:

Latitudine astronomica

angolo che la verticale al geoide passante per il punto P forma con il piano equatoriale

Longitudine astronomica λa:

angolo che il piano meridiano passante per il punto P forma con il piano meridiano di riferimento o

piano fondamentale passante per Greenwich nel riferimento internazionale 18

COORDINATE GEOGRAFICHE ELLISSOIDICHE

ϕe: angolo che la normale all’ellissoide passante per il punto P forma con il

Latitudine ellissoidica

piano equatoriale

Longitudine ellissoidica λe: angolo che il piano meridiano passante per il punto P forma con il

piano meridiano di riferimento o piano fondamentale passante per Greenwich nel riferimento

internazionale 19

QUOTA DI UN PUNTO

La quota rappresenta la lunghezza del segmento misurato lungo la verticale/normale al

geoide/ellissoide fra un punto della superficie terrestre ed il suo punto proiezione sulla superficie di

riferimento (geoide o ellissoide).

 Le quote tuttavia vengono sempre riferite al geoide.

 La quota riferita al geoide prende il nome di quota ortometrica.

 Le quote assolute sono riferite al livello medio del mare. 20

DISTANZA FRA DUE PUNTI

CAMPO GEODETICO E CAMPO TOPOGRAFICO

INDIVIDUAZIONE DEI PUNTI NELLO SPAZIO

COORDINATE POLARI (θp , d)

COORDINATE CARTESIANE (XP , YP)

Passaggio dalle coordinate polari a

quelle cartesiane e

viceversa 21







1. Principi di posizionamento

Il sistema di posizionamento G.P.S. (“Global Position System”) è un sistema d’ultima generazione

capace di fornire le coordinate dei punti della superficie terrestre rispetto ad un prefissato sistema di

riferimento.

La sua caratteristica principale è che, a differenza degli altri strumenti tradizionali, funziona con un

sistema di trasmissione di tempo ed ha l’ausilio di 24 satelliti. Il tempo è misurato in maniera molto

precisa con una strumentazione sofisticata, gli orologi atomici.

Il posizionamento GPS avviene secondo una tecnica di “intersezione spaziale distanziometrica”.

Il sistema di riferimento è l’ellissoide geocentrico (“World 1984”).

WGS84 Geodetic System

Supposte note le posizioni dei satelliti in questo sistema di riferimento, le coordinate incognite del

vertice i sono legate alle coordinate note del satellite j tramite le misure di un numero sufficiente di

ovvero di distanze tra satelliti e centro di fase dell’antenna

range, del ricevitore, in stazione su i. 22

La distanza geometrica può essere espressa dalla (fig. 1):

j Z

 j

i Y

X

i Fig. 1: Range geometrico

Fig. 2.1 - Range geometrico

     

 2 2 2

     

j j j j

(

t ) X (

t ) X Y (

t ) Y Z (

t ) Z

i i i i

Il posizionamento GPS può essere eseguito in varie modalità e precisamente:

Posizionamento assoluto: le coordinate di un vertice sono determinate in sistema di riferimento

 “globale”.

Posizionamento relativo: vengono determinate le componenti del vettore base-line che unisce

 due vertici; in questo modo si eliminano o si riducono errori sistematici (bias) da cui sono affetti

i range nelle due stazioni.

Posizionamento differenziale: è simile al posizionamento assoluto ma è eseguito correggendo i

 range satellite-ricevitore con una correzione differenziale calcolata da una stazione base; come

nel posizionamento relativo vengono eliminati o ridotti vari errori sistematici.

Per il suo funzionamento bisogna prendere in considerazione tre segmenti, e cioè:

segmento spaziale: bisogna disporre di almeno 4 satelliti per operatore;

 segmento di controllo: consiste in stazioni master che correggono i dati del satellite alle

 stazioni di trasmissione che inviano al satellite;

rappresenta l’atto finale, ovvero l’acquisizione dei dati.

segmento utenza:

Le misure GPS possono inoltre essere:

statiche: si permane nei punti per un certo tempo;

 cinematiche: il ricevitore è in continuo movimento.

Il posizionamento GPS può ancora essere eseguito:

vengono elaborati i dati dopo l’acquisizione nelle varie stazioni;

in post-elaborazione:

 in tempo reale: la posizione è direttamente disponibile in campagna.

In tutti i casi, il problema è la determinazione del range tra il ricevitore ed i satelliti GPS; le

modalità di misura possono essere due:

a) misure di codice, sulla componente impulsiva del segnale;

b) misure di fase, sulla portante del segnale. 23

24

2. Posizionamento assoluto con misure di codice 

se disponibile. Questi codici hanno lunghezza d’onda

Si utilizza il codice C/A o il codice P

rispettivamente di 300 m e 30 m e frequenza f rispettivamente di 1/10 f° e 1f°, e sono modulati

attraverso dei salti di fase. ossia l’intervallo di tempo che intercorre tra la

Il principio si basa sulla misura del tempo di volo,

trasmissione del segnale da parte del satellite e la ricezione nel ricevitore. La misura avviene tramite

segnali: all’istante di arrivo del segnale nel ricevitore,

un procedimento di correlazione tra due

questo è in grado di emettere una replica identica. I segnali all’istante di ricezione saranno dunque:

a) segnale trasmesso dal satellite;

b) segnale generato localmente dal ricevitore.

I due segnali, pur essendo identici far di loro, si trovano sfalsati nel tempo in quanto il segnale

trasmesso ha già percorso lo spazio terra-satellite. Il ricevitore è in grado di spostare la replica del

segnale nel tempo fino ad allineare i due segnali, ricercandone il massimo di correlazione (fig. 2).

j

t. satellite t

t. ricevitore t i

t Fig. 2: Correlazione dei segnali di codice

Fig. 2.2 - Correlazione dei segnali di codice

t

Il tempo di volo non è altro che lo spostamento da dare alla replica del segnale nel ricevitore per

allinearlo al segnale trasmesso dal satellite.

j

Indicata con R la distanza misurata tra satellite j e ricevitore i, in linea teorica si ha:

i 

j 8

R (t) = c*t con c 3*10 m/s = velocità della luce nel vuoto

i

La distanza così misurata rappresenta lo pseudorange, visto che tra gli orologi dei satelliti e dei

ricevitori esiste un asincronismo (offset).

Esistono tre scale temporali (fig. 3):

t = 0

a j

t = 0

t)

j j

t

t = 0

t)

i t i

t

Fig. 3: Origini temporali nelle misure di codice

Fig. 2.3 - Origini temporali nelle misure di codice 25

1) scala di tempo atomico (t ), che si assume come riferimento fondamentale;

a j

2) scala di tempo del satellite (t );

3) scala di tempo del ricevitore (t ).

i

Riferendo tutti i tempi alla scala fondamentale t , il range misurato sarà:

a

    

j j j j j j

– –

R (t) = c*[(t + (t)) (t + (t))] = c*[(t t ) + (t) - (t)] = c*[t + (t)]

i i i i i i

L’equazione di pseudorange all’epoca t può essere modellata tramite la:

 

j j j

R (t) = (t) + c* (t)

i i i

dove: j

- R (t) è la misura osservata tra satellite j e ricevitore i;

i

 j

- (t) è la distanza geometrica;

i

  

 j j –

- (t) = (t) (t)

i i [1]

è la combinazione tra bias degli orologi del satellite j e del ricevitore i.

dell’orologio del satellite può essere modellato rispetto ad un’epoca di riferimento

Il bias t con un

o

polinomio di secondo grado:

 j – – 2

(t) = a + a *(t t ) + a *(t t )

o o o

1 2 [2] 

considera invece incognito l’errore (offset) dell’orologio del ricevitore

Si (t) ad ogni epoca di

i

misura.

L’equazione di pseudorange di codice sarà:

  

j j j

– –

R (t) c* (t) = (t) c* (t)

i i i [3]

La configurazione base è definita come la condizione per la quale il numero delle osservazioni è

pari o superiore al numero delle incognite. Il numero delle osservazioni è n n , con n = numero dei

j t j

satelliti ed n = numero di epoche acquisite da ogni satellite.

t

Nel posizionamento statico le incognite sono rappresentate da 3 coordinate del vertice e da un bias

dell’orologio del ricevitore per ogni epoca di misura n , per un totale di 3+n incognite. La

t t

configurazione base sarà definita dalla:

   –

n n 3 + n n 3/(n 1)

j t t t j

 

Pertanto, per n = 4 satelliti n 1: con questa configurazione è possibile la

j t

soluzione istantanea della posizione, dove le quattro incognite sono risolte ad ogni epoca se si

tracciano almeno quattro satelliti. 26

Nel posizionamento cinematico, invece, le incognite sono rappresentate da 3n coordinate della

t

bias relativi all’orologio

stazione e da n del ricevitore, per un totale di 4n incognite. La

t t

configurazione base diventa allora:

  

n n 4n n 4

j t t t

In altre parole, la posizione (e velocità) del ricevitore mobile può essere determinata ad ogni istante

se si tracciano almeno quattro satelliti. 27

3. Posizionamento assoluto con misure di fase

Il range ricevitore-satellite può essere ottenuto anche con misure di fase sulle portanti sinusoidali L1

 

che hanno una lunghezza d’onda rispettivamente pari a

e L2, = 19cm e = 24 cm ed una

1 2

frequenza rispettivamente di 150 f° e 124 f°.

lungo la sua orbita considerando un’epoca iniziale

Supponiamo di seguire un satellite j t e una

o

generica epoca t (fig. 4). t

j

t o j  Z

N

i

j 

N

i Y

c(t)

 j (t )

o

i (t)

j X

i

c(t ) = 0

o '(t)

Fig. 4: Schema delle misure di fase

Fig. 2.4 - Schema delle misure di fase

All’istante t il range satellite j - ricevitore i può essere espresso come somma del numero intero di

o

   

j j j

cicli N più la frazione (t ) , dove (t ) rappresenta la fase espressa in frazioni di ciclo. In

i i o i o

 j j

realtà, solo (t ) viene misurata mentre rimane incognito il termine N , chiamato ambiguità di

i o i

fase, che rappresenta pertanto una nuova incognita per ogni satellite osservato.

All’epoca il satellite ha percorso un tratto d’orbita: la nuova misura del range di

t fase può essere

  

j j

espressa nuovamente come somma del numero intero di cicli N più la misura di fase (t)

i i

all’epoca può a sua volta essere espressa

t. Quest’ultima come somma del numero intero di cicli

  

(t)

, contati dall’ epoca

c(t) t , più la parte frazionaria di ciclo . Anche in questo caso il ricevitore

o  j j

ma non l’ambiguità di fase

è in grado di misurare la parte (t) N che però si supponga rimanga la

i i

stessa.

La determinazione dell’ambiguità di fase può essere risolta osservando un satellite per più epoche;

j

ipotizzare che N rimanga la stessa equivale a supporre che si mantenga il contatto con il satellite

i

tra le varie epoche di misura. La perdita del contatto con i satelliti è detta cycle slip e provoca

l’introduzione di una nuova ambiguità di fase incognita ad ogni interruzione.

Il modello matematico delle misure di fase è dunque (Hofmann-Wellenhof et al. 1997): 28

1

  

   

j j j j j

(

t ) (

t ) N f (

t )

i i i i [4]

dove:

 

j

- (t) è la misura di fase espressa in cicli;

i

 è la lunghezza d’onda;

-  

j

- (t) è il range geometrico;

i j è l’ambiguità di fase (numero intero di lunghezza d’onda), indipendente da

- N t;

i

j

- f è la frequenza del segnale del satellite;

 j è la combinazione degli errori d’orologio del satellite

- j e del ricevitore i.

i la [1] nella [4], spostando il bias dell’orologio del satellite, noto dalla [2], a sinistra

Sostituendo

dell’uguaglianza, si ottiene:

1

   

   

j j j j j j

(

t ) f (

t ) (

t ) N f (

t )

i i i i [5]

dove: 

j j è il contributo d’errore dell’orologio del satellite;

- f (t)

j d’errore dell’orologio del ricevitore.

- f (t) è il contributo

i

Per quanto riguarda la configurazione base, il numero delle osservazioni è ancora n n , mentre il

j t

numero delle incognite è aumentato del numero n di ambiguità di fase (una per ogni satellite).

j

Per il posizionamento statico punto singolo, la configurazione base è data dalla:

   –

n n 3 + n + n n (n + 3)/(n 1)

j t t j t j j

Il numero minimo di satelliti per arrivare ad una soluzione è n = 2 che richiede n = 5 epoche di

j t

misura: questa soluzione non è praticamente utilizzabile a causa di mal condizionamenti geometrici.

Altre soluzioni intere si hanno per:

 

- n = 4 satelliti n 3;

j t

 

- n = 5 satelliti n 2.

j t

Nel posizionamento cinematico punto singolo con misure di fase, le incognite sono ancora le 3n t

coordinate dei punti della stazione del ricevitore che si muove; in questo caso, la configurazione

base è:    –

n n 4n + n n n /(n 4)

j t t j t j j

Il numero minimo di satelliti per arrivare ad una soluzione è n = 5 che porta a n = 5 epoche di

j t

misura. Altre soluzioni intere si hanno per:

 

- n = 6 satelliti n 3;

j t 29

 

- n = 8 satelliti n 2.

j t

Poiché, come risulta, la soluzione cinematica n = 1 non è accettabile, il posizionamento cinematico

t

con misure di fase è possibile solo se le n incognite di ambiguità di fase sono note: la procedura

j

prende il nome di inizializzazione.

Note le ambiguità, il modello “range di fase” dal punto di vista del bilancio incognite/equazioni

equivale dunque al modello “range di codice”. 30

4. Il posizionamento relativo

l’obiettivo è la determinazione del vettore

Nel posizionamento relativo base-line, ovvero delle

componenti del vettore che unisce i due vertici su cui stazionano contemporaneamente due

ricevitori. B

A

Siano A un punto di coordinate note, B un punto di coordinate incognite e b il vettore di base. La

AB

posizione di B viene determinata con la:

X = X + b

B A AB

 

   

X X X

B A AB

   

   

b Y Y Y

   

AB B A AB

   

 

   

Z Z Z

B A AB 31

5. Metodi alle differenze di fase

Il posizionamento relativo può essere fatto sulle misure di codice o sulle misure di fase anche se in

pratica si applica alle sole misure di fase. È necessario fare misure simultanee con almeno due

ricevitori. Supposto, allora, che i ricevitori in A e B vedano contemporaneamente gli stessi satelliti i

e j, è possibile costruire combinazioni lineari chiamate differenze singole, doppie, triple.

5.1 Singole differenze

Consideriamo due ricevitori, posti in stazione sui vertici A e B, che osservano simultaneamente un

satellite j (fig. 5), che supponiamo venga tracciato con continuità, ovvero senza cycle slip.

j B

A

Fig. 5: Schema delle singole differenze

Fig. 2.5 - Schema singole differenze

Dall’equazione [5] delle misure di fase, si ha nei punti A e B:

1

   

   

j j j j j j

(

t ) f (

t ) (

t ) N f (

t )

A A A A

1

   

   

j j j j j j

(

t ) f (

t ) (

t ) N f (

t )

B B B B

Sottraendo membro a membro, si ottiene l’equazione delle singole differenze:

1

     

      

j j j j j j j

(

t ) (

t ) [ (

t ) (

t )] N N f [ (

t ) (

t )]

B A B A B A B A

[6] 

j j

porta all’eliminazione del contributo d’errore

Si noti come la singola differenza f (t) legato

all’asincronismo dell’orologio del satellite, in quanto comune nelle due equazioni; permangono

comunque i termini d’errore legati agli orologi dei ricevitori ed i termini di ambiguità di fase.

Introducendo nella [6] le notazioni:

J J J

N = N N

AB B A 32

  

J J J

=

AB B A

  

J J J

=

AB B A

  

J J J

=

AB B A

e sostituendo, in definitiva si ottiene:

1

  

  

j j j j

(

t ) (

t ) N f (

t )

AB AB AB AB [7] 33

5.2 Doppie differenze

Consideriamo due ricevitori, posti in stazione sui vertici A e B, che osservano simultaneamente due

satelliti j e k (fig. 6), che supponiamo vengano tracciati con continuità, ovvero senza cycle slip.

È possibile allora scrivere due equazioni alle singole differenze secondo la [7]:

j

k B

A Fig. 5: Schema delle doppie differenze

Fig. 2.6 - Schema doppie differenze

1

  

  

j j j j

(

t ) (

t ) N f (

t )

AB AB AB AB

1

  

  

k k k k

(

t ) (

t ) N f (

t )

AB AB AB AB j k

Ipotizzando che le frequenze del segnale dei due satelliti siano uguali, cioè f = f , e sottraendo

membro a membro: 1

   

    

k j k j k j

(

t ) (

t ) [ (

t ) (

t )] N N

AB AB AB AB AB AB

ovvero, usando le stesse notazioni introdotte nelle singole differenze:

1

 

 

jk jk jk

(

t ) (

t ) N

AB AB AB [8]

Si noti che in questo caso si elidono i termini di errore legati agli orologi dei ricevitori, in quanto

comuni nelle due equazioni alle differenze singole; permangono ancora i termini incogniti delle

ambiguità di fase.

L’equazione [8] è l’equazione delle doppie differenze.

Introducendo ora la convenzione:

jk k j k j k j

– – –

* = * * = * * * + *

AB AB AB B B A A  

dove il termine * viene sostituito di volta in volta dai termini , ed N, è possibile caratterizzare nel

dettaglio i termini delle doppie differenze:

    

jk k j k j

– –

(t) = (t) (t) (t) + (t)

AB B B A A 34

    

jk k j k j

– –

(t) = (t) (t) (t) + (t)

AB B B A A

jk k j k j

– –

N = N N N + N

AB B B A A 35

5.3 Triple differenze

Quanto visto finora si riferisce all’epoca t. Per eliminare le ambiguità di fase incognite, essendo

queste indipendenti dal tempo, Remondi (1984) suggerì di differenziare due doppie differenze alle

epoche t e t :

1 2 1

 

 

jk jk jk

(

t ) (

t ) N

AB 1 AB 1 AB

1

 

 

jk jk jk

(

t ) (

t ) N

AB 2 AB 2 AB [9]

Anche in questo caso si ipotizza che non si verifichino cycle slip nel tratto di osservazione

considerato, ossia che i termini di ambiguità di fase continuino ad essere costanti.

Sottraendo membro a membro le due relazioni precedenti si ottiene l’equazione delle triple

differenze: 1

   

  

jk jk jk jk

(

t ) (

t ) [ (

t ) (

t )]

AB 2 AB 1 AB 2 AB 1

che può essere scritta in forma semplificata:

1

 

jk jk

(

t ) (

t )

AB 12 AB 12 [10]

La forma simbolica:

jk jk jk

* (t ) = * (t ) * (t )

AB 12 AB 2 AB 1

   

jk jk

è da applicare ai termini e ; si noti che i termini (t ) e (t ) sono composti a loro volta

AB 12 AB 12

da 8 termini, e precisamente:

        

jk k j k j k j k j

– – – –

(t ) = (t ) (t ) (t ) + (t ) (t ) + (t ) + (t ) (t )

AB 12 B 2 B 2 A 2 A 2 B 1 B 1 A 1 A 1

        

jk k j k j k j k j

– – – –

(t ) = (t ) (t ) (t ) + (t ) (t ) + (t ) + (t ) (t )

AB 12 B 2 B 2 A 2 A 2 B 1 B 1 A 1 A 1 36

6. Correlazioni delle differenze di fase

Esistono in generale due gruppi di correlazioni: quelle fisiche e quelle matematiche.

 

J J

Le misure di fase tra un satellite j e due punti A e B ( (t) e (t)) sono correlate fisicamente fino a

A B

quando il satellite osservato dai due ricevitori è lo stesso. Normalmente vengono però considerate le

correlazioni matematiche indotte dalle differenze di osservazioni. 

Si assuma che gli errori nella misura di fase seguano una distribuzione normale a media e

 

2

varianza . Introdotto un vettore contenente le fasi, la:

  2

cov( ) = I [11]

è la matrice di varianza-covarianza per le fasi e I la matrice identità.

 Singole differenze all’epoca

Consideriamo due punti A e B, due satelliti j e k t e la corrispondente differenza singola:

  

J J J

(t) = (t) (t)

AB B A

  

k k k

(t) = (t) (t)

AB B A

Le due singole differenze possono essere scritte in forma di vettori e matrici:

SD = C [12]

con:  

 j

 

A

 

 

   

j j

1 1 0 0

(

t ) 

 

AB B

   

SD  

C

  

k k

 

  0 0 1 1

(

t )  

A

AB  

 k

 

B

Applicando la legge di propagazione della covarianza alla [12]:

 T

cov(SD) = Ccov( )C

e sostituendo la [11]:

  T

2 T 2

cov(SD) = C I C = C C

 

1 0

 

T  

CC 2 2 I

 

0 1

La matrice di varianza-covarianza delle singole differenze sarà:

 2

cov(SD) = 2 I [13] 37

Le singole differenze risultano dunque incorrelate (covarianza = 0). La dimensione della matrice I

corrisponde al numero di singole differenze all’epoca t, mentre il fattore 2 non dipende da ciò.

Considerando più di un’epoca, la matrice di varianza-covarianza è sempre una matrice unitaria le

cui dimensioni sono pari al numero di singole differenze.

 Doppie differenze all’epoca

Consideriamo tre satelliti j, k ed l, con j satellite di riferimento. Per due punti A e B t si

possono scrivere due doppie differenze:

  

Jk k J

(t) = (t) (t)

AB AB AB

  

Jl l J

(t) = (t) (t)

AB AB AB

Queste equazioni possono essere scritte in forma matriciale:

DD = C SD

con: 

 

j

 

  

   AB

jk 1 1 0

(

t )  

    

k

AB

   

DD C 

 AB

jl  

 

  1 0 1

(

t )  l

AB  

AB

[14]

La matrice di varianza-covarianza delle doppie differenze sarà:

T

cov(DD) = C cov(SD) C

e sostituendo la [13]:

 2 T

cov(DD) = 2 C C

Esplicitando C dalla [14]:

 

2 1

 2  

cov( DD

) 2  

1 2

Le doppie differenze risultano correlate.

è ottenuta come l’inverso della matrice di covarianza:

La matrice dei pesi P(t) 

 

2 1

1 1

 

1  

P (

t ) [cov( DD

)]  

2 1 2

3

2 doppie differenze all’epoca

Indicando con n il numero di t, la matrice dei pesi diventa:

DD  

 

n 1 1 ...

DD

 

 

1 n 1 ...

1 1  

 DD

P (

t )  

 

2 1 ... ...

n 1

2 DD  

 

... ... n DD 38

Nel caso n = 4 la matrice dei pesi è:

  

 

4 1 1 1

 

  

1 4 1 1

1 1  

P (

t )  

   

2 1 1 4 1

5

2  

  

 

1 1 1 4

, …, la matrice dei pesi è diagonale a blocchi di dimensioni = 1, 2, …,

Per più epoche t , , t n con i

t i

1 2 3

n:  

P (

t )

1

 

P (

t )

 

 2

P (

t )  

P (

t )

3

 

 

... ), …,

Ogni elemento P(t ) della matrice è lui stesso una matrice. Le matrici P(t P(t ) non hanno

i n

1

necessariamente le stesse dimensioni perché ci possono essere diverse numerosità di doppie

differenze alle varie epoche. 39

7. Il posizionamento statico relativo

Nella misura di una base A-B, due ricevitori devono stazionare su questi vertici per tutta la durata

della sessione. Assumiamo che sui vertici A e B si osservino gli stessi satelliti alle stesse epoche.

Come per il posizionamento assoluto, chiamiamo n la numerosità dei satelliti e n il numero di

j t

epoche osservate. È possibile scrivere una “singola differenza” tra due ricevitori, per ogni epoca e

per ogni satellite: il numero di osservazioni è allora n n , mentre il numero delle incognite deriva dai

j t

termini dell’equazione alle singole differenze [7]:

   –

n n 3 + n + n n (n + 3)/(n 1)

j t t j t j j

Il numero minimo di satelliti per arrivare ad una soluzione è n = 2 che richiede n = 5 epoche di

j t

 

misura e nei casi normali con n = 4 satelliti si ha che n 7/3 ovvero n 3 epoche. Pertanto, il

j t t

posizionamento alle differenze prime richiede sempre almeno 2 epoche di misura.

Per scrivere una “doppia differenza” sono necessari per ogni coppia di ricevitori due satelliti;

– –

disponendo di n satelliti sono possibili (n 1) doppie differenze per un totale di (n 1)n doppie

j j j t

numero di incognite deriva dall’equazione alle

differenze, mentre il doppie differenze [8]:

  

– –1) –

(n 1)n 3 + (n n (n + 2)/(n 1)

j t j t j j

Il numero minimo di satelliti n = 2 richiede n 4 epoche di misura. Per avere equazioni

j t

linearmente indipendenti si fissa un satellite di riferimento rispetto al quale si differenziano le

misure degli altri satelliti.

Nelle “triple differenze” i parametri incogniti sono unicamente le 3 coordinate del vertice. Per

scrivere una tripla differenza sono necessarie due epoche di misura per ogni coppia di satelliti

osservati da una coppia di ricevitori. Conseguentemente, nel caso di n epoche possono essere

t

considerate (n 1) epoche, quindi triple differenze, linearmente indipendenti.

t delle

Dall’equazione triple differenze [10] si ha:

  

– – –

(n 1)(n 1) 3 n (n + 2)/(n 1)

j t t j j 

Con il numero minimo di satelliti n = 2 si devono osservare n 4 epoche di misura e con n = 4

j t j

satelliti n 2 epoche di misura.

t 40

8. Il posizionamento cinematico relativo

Nel caso cinematico relativo un ricevitore occupa un vertice A su cui rimane fisso per tutta la durata

delle misure, mentre un secondo ricevitore si muove e occorre determinare la sua posizione ad ogni

epoca di misura.

Considerati un punto B e un satellite j, se nel caso statico la distanza geometrica è data dalla:

     

 2 2 2

     

j j j j

(

t ) X (

t ) X Y (

t ) Y Z (

t ) Z

B B B B

nel caso cinematico sarà data dalla:

     

 2 2 2

     

j j j j

(

t ) X (

t ) X (

t ) Y (

t ) Y (

t ) Z (

t ) Z (

t )

B B B B

dove compare la dipendenza dal tempo delle coordinate del ricevitore mobile B.

Nel modello matematico compaiono dunque tre coordinate incognite per ogni epoca di misura,

pertanto indicato con n il numero di epoche, il numero totale delle incognite sarà 3n . Le relazioni

t t

tra numero di equazioni e numero di incognite nei casi singola, doppia e tripla differenza saranno:

- singola differenza: n n 3n + n + n

j t t j t

–1 –

- doppia differenza: (n )n 3n + (n 1)

j t t j 

– – –

- tripla differenza: (n 1)(n 1) 3n 1

j t t

Nessuna di queste relazioni permette la soluzione cinematica con una sola epoca (n = 1): per fare

t

questo, occorre eliminare dalle incognite le ambiguità di fase, con una procedura di inizializzazione.

Dopo l’eliminazione di queste incognite dalle singole e doppie differenze, si richiedono ancora le

seguenti configurazioni:

 

singola differenza: n 4 satelliti

j

 

doppia differenza: n 4 satelliti

j

per qualunque n .

t

Le triple differenze possono essere usate se si conoscono le coordinate della stazione mobile B ad

un’epoca di riferimento. – – –

In questo caso la relazione (n 1)(n 1) 3n 1 diventa:

j t t

- tripla differenza: n 4 satelliti

j

Tutti i modelli richiedono in pratica almeno 4 satelliti.

Omettere le ambiguità di fase dalle singole e doppie differenze implica che queste devono essere

note: le equazioni corrispondenti per la loro determinazione sono semplicemente ottenute

riscrivendo la [7] e la [8] con le ambiguità portate a sinistra dell’uguaglianza in maniera tale che le

incognite appaiano solo a destra. Le singole differenze diventano pertanto:

1

  

  

j j j j

(

t ) N (

t ) f (

t )

AB AB AB AB 41

e le doppie differenze: 1

 

 

jk jk jk

(

t ) N (

t )

AB AB AB

Tutte le equazioni possono essere risolte nota la posizione iniziale del ricevitore mobile;

preferibilmente questa sarà la posizione di partenza del ricevitore mobile: la base-line relativa a

questo punto di partenza (starting point) è chiamata starting vector. Noto dunque lo starting vector

si può determinare l’ambiguità di fase iniziale e tutte le successive posizioni del ricevitore mobile

fino a quando non si abbia la perdita del segnale e si rimanga con meno di 4 satelliti. In questo caso

occorre nuovamente inizializzare la misura cinematica. 42

8.1 Inizializzazione statica e cinematica

Relativamente all’inizializzazione statica sono fondamentalmente disponibili tre metodi:

1) Il ricevitore mobile viene inizialmente posto su di un vertice di posizione nota, creando uno

starting vector noto rispetto al ricevitore fisso. L’ambiguità può essere allora calcolata dalle

doppie differenze secondo l’equazione [8] come valore reale fissato poi ad intero.

2) Il vettore iniziale (starting vector) viene determinato in maniera statica.

3) Metodo dello scambio (swap) delle antenne dei ricevitori base e mobile: siano A il ricevitore

base e B la posizione di partenza del ricevitore mobile; vengono acquisite poche epoche in

questa configurazione e, senza perdere il contatto con i satelliti, il ricevitore A si sposta su B

mentre il ricevitore su B va in A. Vengono acquisite ancora poche epoche in questa nuova

configurazione. In questo modo è possibile fissare con precisione lo starting vector in tempi

molto brevi (meno di 30 secondi). Di solito il metodo dello scambio dell’antenna è completato

con lo spostamento del ricevitore sul punto di partenza.

PER QUANTO, INVECE, RIGUARDA

L’INIZIALIZZAZIONE CINEMATICA, ESSA

È LEGATA AL FATTO CHE ALCUNE

TECNICHE RICHIEDONO LA POSIZIONE

CINEMATICA GPS SENZA

UN’INIZIALIZZAZIONE STATICA, MA

QUANDO L’OGGETTO È IN

MOVIMENTO. LA DETERMINAZIONE

DELL’AMBIGUITÀ IN MOVIMENTO È

DETTA OTF (“ON THE FLY”).

LA SOLUZIONE RICHIEDE UNA

DETERMINAZIONE ISTANTANEA

DELL’AMBIGUITÀ DI FASE ED UN

POSIZIONAMENTO ISTANTANEO AD

OGNI EPOCA. IL PRINCIPALE 43

PROBLEMA È LA RICERCA VELOCE

DELLA POSIZIONE CON LA MIGLIORE

ACCURATEZZA POSSIBILE: QUESTO SI

OTTIENE PARTENDO DA UNA

POSIZIONE APPROSSIMATA DI CODICE

CHE VIENE SUCCESSIVAMENTE

MIGLIORATA CON TECNICHE MINIMI

O CON L’USO

QUADRATI SEQUENZIALI

DEL FILTRO DI KALMANN. 44

9. Il posizionamento pseudocinematico relativo

Il metodo pseudocinematico può essere identificato come una misura statica con grandi interruzioni

nei dati. Il modello matematico delle doppie differenze corrisponde all’equazione [8];

(gaps)

generalmente devono essere risolti due set di ambiguità di fase in quanto il punto è occupato in

tempi diversi. Il processamento dei dati deve cominciare con la soluzione alle triple differenze,

eseguite per i pochi minuti di dati acquisiti durante le due occupazioni del sito. La soluzione è

basata sulla connessione tra i due set di ambiguità calcolati. Se questa connessione avviene con

si può eseguire la normale soluzione alle doppie differenze. L’intervallo temporale

successo,

minimo tra le due occupazioni è di un’ora. 45

10. Il posizionamento differenziale DGPS

(“Differential GPS” = DGPS)

Il posizionamento differenziale DGPS è una tecnica nella quale si

usano due o più ricevitori, uno su di un vertice di riferimento A (stazione base) di posizione nota ed

uno su un vertice B (stazione remota) solitamente in movimento che occupa i punti di nuova

determinazione. di pseudorange PRC (“pseudorange correction”) e le loro

La stazione base calcola le correzioni

variazioni nel tempo RRC (“range rate correction”). Entrambe vengono trasmesse al ricevitore

remoto. La procedura può essere eseguita in tempo reale realizzando un collegamento tra le due

stazioni via radio modem o modem telefonico. Il ricevitore remoto applica le correzioni alle misure

pseudoranges e calcola le posizioni punto singolo con queste osservazioni corrette, migliorando la

precisione delle coordinate.

Il posizionamento differenziale può essere applicato al range del codice o della fase. 46

10.1 DGPS con misure di codice misurato all’epoca

Usando la [3] il range di codice sulla stazione A, t , può essere modellato

o

secondo la (Hofmann-Wellenhof et al. 1997):

   

j j j j –

R (t ) = (t ) + (t ) + c (t ) c (t )

o o o o o

A A A A [15]

 

 j j

dove è stato aggiunto il termine (t ) errore orbitale radiale. Il range (t ) è noto in quanto

o o

A A

sono note le coordinate della stazione A (e naturalmente del satellite j).

all’epoca

La correzione del range di codice per il satellite j t è:

o

   

j j j j j

– – –

PRC (t ) = R (t ) + (t ) = (t ) c (t ) + c (t )

o o o o o o

A A A A

Da una serie temporale di correzioni PRC può essere valutata, con interpolazione numerica, la sua

variazione nel tempo RRC. epoca

La correzione del range di codice, ad un’arbitraria t, si può approssimare con la:

j j j –

PRC (t) = PRC (t ) + RRC (t )(t t )

o o o [16]

dove il termine (t t ), determinante per la precisione di posizionamento, rappresenta la latenza che

o

non è altro che la differenza di tempo tra il calcolo della correzione nella stazione base e la sua

applicazione nel ricevitore remoto. misurato all’epoca

Il range di codice nella stazione remota B, t, può essere determinato come nella

[15]:    

j j j j –

R (t) = (t) + (t) + c (t) c (t)

B B B B

Applicando la correzione di range [61] la misura pseudorange in B diventa:

      

j j j j j j j

– – –

R (t) = R (t) + PRC(t) = (t) + [ (t) (t)] + c (t) c (t) c (t) + c (t) =

corretto

B B B B A B A

    

j j j

– –

= (t) + [ (t) (t)] + c[ (t) (t)]

B B A B A

[17] 

gli errori di orologio dei satelliti. L’errore radiale d’orbita

dove scompaiono è equivalente nelle

stazioni base e remota; eliminando, pertanto, il suo contributo, la [17] diventa:

 

j j

R (t) = (t) + c (t)

corretto

B B AB

  

 – la combinazione degli errori d’orologio dei

dove il termine (t) = (t) (t) rappresenta

AB B A

ricevitori.

Si noti come vengono eliminati l’effetto perturbante della SA (“Selective Availlability” = degrado

degli orologi e delle orbite) e gli effetti di disturbo quali rifrazione ionosferica e troposferica. 47

La posizione del punto B è calcolata con gli pseudoranges di codice corretto; questa correzione può

essere trasmessa in formato RTCM a partire dalla versione 2 e la tecnica è chiamata “RCTM

GPS”.

Differential 48

10.2 DGPS con misure di fase all’epoca

Il range satellite-ricevitore misurato sulla portante nella stazione base A t si esprime con

o

la (Hofmann-Wellenhof et al. 1997):

     

j j j j j –

(t ) = (t ) + (t ) + N + c (t ) c (t )

o o o o o

A A A A A

j è l’ambiguità di fase incognita.

dove N A della fase all’epoca

La correzione del range t sarà:

o

     

j j j j j

– – – –

PRC(t ) = (t ) + (t ) = (t ) N c (t ) + c (t )

o o o o o o

A A A A A

La correzione del range della fase all’epoca t sarà:

j –

PRC(t) = PRC(t ) + RRC (t )(t t )

o o o

Seguendo la stessa procedura adottata per la correzione di codice, per il range della fase corretto,

nel ricevitore remoto all’epoca t, si ottiene:

   

N

j j j –

(t) = (t) + c (t)

corretto

B B AB AB

N j j j

–N

Il termine = N rappresenta la combinazione delle ambiguità intere di fase. Anche in

AB B A

eliminati gli errori dell’orologio del satellite, l’effetto della SA e gli errori

questo caso vengono

legati alla rifrazione ionosferica e troposferica.

La correzione del range della fase può essere trasmessa in tempo reale dal ricevitore base alla

stazione remota tramite il protocollo RTCM a partire dalla versione 2.1 o tramite formati proprietari

delle ditte costruttrici dei ricevitori.

Il DGPS con misure di fase è utilizzato per applicazioni cinematiche di precisione in tempo reale: la

tecnica prende il nome RTK (“Real Time Kinematic”). È richiesta in questo caso una tecnica OTF

per la risoluzione veloce dell’ambiguità di fase, anche durante il movimento del ricevitore.

Il posizionamento differenziale diventa equivalente a quello relativo se il tempo di latenza è nullo.

49

10.3 Il protocollo di trasmissione delle correzioni differenziali RCTM

La trasmissione della correzione differenziale, via radio modem o modem GSM, è stata

standardizzata secondo un protocollo internazionale chiamato RTCM (“Radio Technical

[service]”).

Commission for Maritime

La versione 2.0 contiene le sole correzioni alle misure sul range del codice mentre a partire dalla

versione 2.1 sono presenti anche le correzioni sul range della fase.

Il messaggio è formato da parole di 30 bit codificate secondo record numerati: i record da 1 a 17

contengono le correzioni di codice mentre i successivi le correzioni della fase. I messaggi RTCM

sono parte del formato internazionale NMEA proposto dal “National Marine Electronics

Association for marine navigation”.

di esempio, si riporta l’analisi del contenuto dei messaggi di tipo 1 e 2 del protocollo

A titolo

RTCM, dedicati alla trasmissione della correzione differenziale sul range del codice, e le strategie

è contenuta nel “messaggio tipo

per la sua applicazione. La correzione differenziale di codice PRC

1” del protocollo RTCM ed è associata ad ogni satellite.

In generale, il range di codice corretto all’epoca t PR(t) si ottiene correggendo lo pseudorange

misurato PRM(t): –

PR(t) = PRM(t) + PRC(t) = PRM(t) + PRC(t ) + RRC(t )(t t )

o o o 

Nello stesso messaggio viene fornita una stima dell’accuratezza (1 ) della correzione pseudorange

(“User Differential Range Error”) che contiene gli errori combinati di multipath, noise

detta UDRE

ed altri effetti. Una sezione del messaggio 1 è riportata in fig. 7:

---- 1 UDRE Sat.ID PRC RRC IOD 1 UDRE ------

bit 2bit 5bit 16bit 8bit 8bit bit 2bit

Fig. 7: Messaggio “tipo 1” RCTM (“Issue Of Data”)

Se durante la misura cambia la costellazione, il valore del segmento IOD

permette di valutare se il calcolo di posizione nella stazione remota e le correzioni nella stazione

base derivano dalla stessa configurazione satellitare. Fin quando il ricevitore remoto non decodifica

dalle effemeridi la nuova costellazione ne utilizza una diversa da quella con cui la stazione base

calcola la correzione differenziale: questo può causare errori di posizionamento. In questo caso

viene utilizzato il messaggio RTCM tipo 2 che contiene la differenza sulla correzione pseudorange

PRC RRC

e sul range rate correction causate dal cambiamento della costellazione.

La stazione base esegue due calcoli di PRC e RRC con costellazione vecchia (old IOD) e nuova

(new IOD); le differenze:

PRC –

= PRC(old IOD) PRC(new IOD) 50

RRC –

= RRC(old IOD) RRC(new IOD)

vengono applicate nel ricevitore remoto per ricavare la correzione differenziale al tempo t:

PRC(old RRC(old

– –

PRC(t) = PRC(new IOD) + IOD) + RRC(new IOD)(t t ) + IOD)(t t )

1 2

dove (t t ) rappresenta la latenza del messaggio tipo 2.

2

La struttura del messaggio tipo 2 è del tutto analoga a quella del messaggio tipo 1. La correzione

differenziale può essere ricavata a posteriori o ricevuta via radio e/o GSM da una stazione base

posta nella zona di intervento oppure da stazioni permanenti GPS (se questo servizio è attivato).

Attualmente può essere ricevuta anche da satellite.

1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA

Il metodo dei minimi quadrati parte dall’ipotesi che le osservazioni contengano solo errori

accidentali che seguono la distribuzione normale e che le osservazioni siano indipendenti fra di

loro.   

Supponiamo di aver misurato in maniera indipendente i tre angoli , , di un triangolo (fig. 1)

1 2 3

  

ottenendo i valori numerici (valori osservati) , , .

o o o

1 2 3

   

  Fig. 1

 

Ogni misura può essere considerata come estrazione da una variabile casuale con media e

oi i

  

2

varianza ; lo scarto fra e la media può essere considerato come errore di misura:

i oi i

 –

v =

i oi i

Se gli errori di misura sono puramente accidentali (cosa che non supponiamo) si può ipotizzare che

le medie soddisfino la relazione fondamentale del triangolo:

i

   

  

1 2 3 [1] 51

Consideriamo ora la variabile casuale:

  

L = + +

o o o o

1 2 3

la quale, essendo somma di tre variabili indipendenti, avrà media e varianza date da:

   

   

M [ L ]

o 1 2 3

   

  

2 2 2 2

[ L ]

o 1 2 3  

In corrispondenza ai tre valori osservati si avrà un valore osservato L e questo sarà diverso da

oi o 

con probabilità = 1 (essendo, infatti, L una variabile continua P(L = ) = 0).

o o

In altre parole gli essendo affetti da errori di misura non soddisferanno esattamente il vincolo

oi

[1], sarà cioè:

   

L = + +

o o o o

1 2 3

Ne segue che la relazione di vincolo [1] può essere considerata come un’informazione aggiuntiva

sui valori oltre ovviamente ai valori misurati .

oi

i 

Si pone dunque il problema di combinare l’informazione delle misure con l’informazione di

oi

vincolo, e questo per due motivi: 

1) combinando più informazioni si possono ottenere stime più attendibili di , cioè stime

i

probabilmente più vicine agli (ovvero con minore varianza);

i

2) per poter eseguire dei conti coerenti sul triangolo (ad es. calcolare le coordinate dei vertici)

occorre usare dei valori di che siano coerenti con la relazione [1].

i

Nel caso più semplice in cui le misure siano effettuate con la stessa precisione, ossia:

   

12 22 32 2

= = =

si può procedere in maniera intuitiva per simmetria.

 l’espressione:

Chiamando errore di chiusura

        

                

L v v v v v v

o o

1 o 2 o 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

poiché i v hanno tutti la stessa dispersione non vi è alcun motivo per supporre che uno di essi

i 

contribuisca maggiormente a formare l’errore di L ; risulta perciò intuitivo scegliere come stima

o

dei v :

i   

    

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

v v v ( v )

1 2 3 i oi i

3

equiripartendo l’errore di chiusura sui tre angoli:

da cui, 

 

 

ˆ i oi 3 [2] 52

̂

In effetti, con la stima [2] abbiamo soddisfatto i requisiti discussi ai punti 1) e 2), infatti gli i

soddisfano il vincolo:

      

       

ˆ ˆ ˆ

1 2 3 o

1 o 2 o 3

ed, inoltre, è facile dimostrare che:

2

 

2 2

ˆ 3

i 

̂

cioè gli sono meno dispersi degli .

oi

i

2. IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI CON EQUAZIONI DI

CONDIZIONE 

Sia data una variabile casuale a m dimensioni:

o

 

o

1

 

 

  o 2

 

o 

 

 

on 

le cui componenti sono fisicamente interpretabili come quantità osservabili di un certo sistema.

oi  avremo a disposizione un’estrazione della variabile

Avendo misurato tutte le m-dimensionale

oi

 .

o  , almeno tutt’al più di un fattore

Supponiamo inoltre di conoscere la matrice di covarianza di o

proporzionale:  2

C = C = Q

  o

o o

 2

con fattore proporzionale incognito e Q matrice nota strettamente definita positiva.

o 

Ricordiamo che se è il valore medio di , cioè:

o

 

   

M [ ]

1 o

1

   

 

M [ ]

   

 

  

2 o 2

M [ ]

   

o

 

   

 

   

M [ ]

n on

allora C è definita come:

 

   

   t

C M ( )( )

o o

con:  

   

  

C M ( )( )

ik oi i ok k 53

di conseguenza C è sempre una matrice simmetrica definita positiva. Se le componenti sono tra

oi

loro incorrelate, se in particolare sono stocasticamente indipendenti, la matrice C (ed anche la Q)

avrà una forma diagonale:

 

21 0

o

 

 22

 

 o

C  

 

 

2

 

0 om

Se per di più le hanno tutte la stessa varianza (ovvero sono misure indipendenti con la stessa

oi

precisione) allora:

   

2 1 0

0

o

   

 2 1

   

  2

o

C    

o 

   

 

2  

  0 1

0 o

pertanto come matrice Q si potrà semplicemente scegliere la matrice identità:

 

1 0

 

1

 

 

Q I  

 

 

0 1 

Supponiamo inoltre che per motivi di ordine geometrico o fisico il valore medio debba

soddisfare r relazioni lineari, con r < m:

 

  

 

b b L

11 1 1

m m 1

  

  

 b b L

r 1 1 rm m r [3]

che scritte in forma sintetica diventano:

 

B L [4]

dove B è la matrice dei coefficienti di ed L è il vettore dei termini noti. Si osservi che per ipotesi

tanto B quanto L sono quantità costanti non variabili casuali.

Consideriamo ora la variabile casuale a r dimensioni:

L = B

o o

Sarà:  

  

M [ L ] BM [ ] B L

o o 

  

t t 2 t

C BC B BCB BQB

 

L L O

O O O O [5] 54

 corrisponderà un’estrazione di

Ad ogni estrazione L la quale, essendo una variabile continua

o o

nello spazio a r dimensioni, risulterà con probabilità 1 diversa da L, ovvero sarà in generale:

 

L = B L

o o 

̂

in un’unica stima

Si pone così il problema di combinare di le informazioni che vengono dal

vettore delle misure e dalle relazioni di vincolo [4]; tale stima sarà ottenuta applicando il

o

principio dei minimi quadrati riassunto nel seguito.

   ̂

2

Dati , Q (C = Q), , definiamo come il vettore che rende minima la quantità:

B L

o o

   

  

ˆ ˆ

t 1

( ) Q ( ) min

o o [6]

tra tutti gli che soddisfano il vincolo:

̂ 

B L [7]

Per risolvere il problema [6] e [7] occorre introdurre un moltiplicatore di Lagrange per ogni

i

condizione contenuta in [7]; si forma così la funzione:

 

r m

 

     

     

 

ˆ ˆ ˆ

t 1

( ) Q ( ) b L

o o i ik k i

 

 

i 1 k 1 [8]

di cui occorre cercare il minimo libero. 

La [8] può essere scritta anche in forma vettoriale introducendo un vettore definito da:

 

1

 

 

  2

 

 

 

r

cosicchè la [8] diventa:

     

     

ˆ ˆ ˆ

t 1 t t t

( ) Q ( ) ( B L )

o o [9]

̂

 il differenziale di un’espressione

Prima di differenziare rispetto ad calcoliamo separatamente

t -

1

del tipo v Q v. Si ha:

t - t - t -

1 1 1

d(v Q v) = (dv) Q v + v Q dv [10]

t t

e ricordando che a b = b a si può scrivere:

t - - t t - t

1 1 1

v (Q dv) = (Q dv) v = dv (Q ) v

Considerando che Q, come C, è una matrice simmetrica e che quindi:

t - - t

1 1

Q = Q Q = (Q ) 55

si ricava ancora:

t - t -

1 1

v Q dv = dv Q v

In definitiva la [10] diventa:

t - t -

1 1

d(v Q v) = 2dv Q v 

Applichiamo ora questo risultato al differenziale di tenendo conto che:

  ˆ

 dv d

 

  

ˆ 

v 

  ˆ

o t t

dv d

Dalla [9] si trova perciò:

 

    

    

ˆ ˆ

t 1 t

d d Q ( ) B

o ):

da cui uguagliando a zero (condizione necessaria per trovare il minimo di

    

      

ˆ ˆ

1 t t

2

Q ( ) B 0 QB

o o 2

[11] :

Ricordando la [6] e definendo il vettore degli errori di chiusura

 – –

= B L = L L

o o

dalla [10] si ricava: 

 

     

ˆ t

B ( ) L L ( BQB )

o o 2 [12]

Se le righe della matrice B sono tra loro linearmente indipendenti, in pratica se nessuna delle

t

equazioni [3] è combinazione lineare delle altre, si può facilmente dimostrare che BQB è una

matrice non solo simmetrica e definitiva positiva ma anche invertibile perciò dalla [12] si ricava:

 1

 

t

( BQB )

2

per cui sostituendo nella [11]:

  1

  

ˆ t t

QB ( BQB )

o [13]

che è la soluzione voluta. Nella letteratura la [13] è talvolta indicata come stima col metodo delle

osservazioni condizionate. 56

3. PROPRIETÀ DELLA STIMA DEI MINIMI QUADRATI CON EQUAZIONI

DI CONDIZIONE

La soluzione [13] gode delle seguenti proprietà:

̂

1) è invariante rispetto a cambiamenti di Q per fattori proporzionali.

A tal proposito si consideri: 

1

Q = kQ (k = numero reale 0)

̂ 1 1

e sia la stima corrispondente a Q . Si ha: 1

    

  

         

ˆ ˆ

1 t t 1 t t 1 t t 1

kQB ( BkQB ) kQB ( BQB ) QB ( BQB )

o o o

k

c.v.d.

Questa proprietà è molto importante perché la matrice Q è sempre definita a meno di un fattore

̂

proporzionale e non sarebbe stata accettabile una stima che dipendesse da tale fattore

arbitrario. In particolare, quando si conosce per intero la matrice C si può direttamente usare

questa al posto della Q nella [13].

̂

2) è una stima corretta di .

Ricordiamo che ciò significa che:

 

ˆ

M [ ]

Per dimostrare ciò basta osservare che per la [5] risulta:

M[] = M[L L] = 0

o

per cui dalla [13] si ottiene:

   

    

ˆ t t 1 c.v.d.

M [ ] M [ ] QB ( BQB ) M [ ] M [ ]

o o

̂  ̂

3) La varianza delle stime è inferiore alla varianza delle , ovvero è una variabile meno

oi

i

dispersa di .

o ̂

Per verificare tale proprietà occorre calcolare la matrice di covarianza della stima .

Partiamo dalla [13] riscritta nella forma:

  

  

ˆ t 1

QB K ( B L

)

o o [14]

dove si è posto per semplicità:

t

K = BQB ; la [4], vale l’identità:

Consideriamo inoltre che, per

  

  

t 1

QB K ( B L

) [15] 57

cosicchè sottraendo la [15] alla [14] si trova:  

       

 

       

ˆ t 1 t 1

( ) QB K B

( ) I QB K B ( )

o o o

[16]

Poiché per definizione:

 

ˆ    

   

ˆ ˆ t

C C M ( )( )

ˆ ˆ

dalla [16], ricordando la linearità dell’operazione di media, si trova:

   

ˆ t

 

  

t 1 t 1

C I QB K B C I QB K B

 

o o [17]

 2

Sviluppiamo la [17] tenendo conto che C = C = Q (simmetrica) e che K è una matrice

  o

o o

simmetrica e quindi:

- t -

1 1

(K ) = K

si ha allora:  

ˆ     

   

2 t 1 t 1 t 1 t 1

C Q QB K BQ QB K BQ QB K BQB K BQ

o [18]

Poiché per definizione di K:

-

1 t

K BQB = I

dalla [18] ricaviamo infine:

 

ˆ  

 

   

2 t 1 2 t 1

C Q QB K BQ C QB K BQ

o o

- -

t 1 1

Poichè la matrice QB K BQ è definita positiva (essendolo la K ) essa avrà elementi diagonali

positivi o al più nulli; ne deriva che:

 

ˆ

  

    

2 2 t 1 2

C C QB K BQ C c.v.d.

 

ˆ ii ii o ii

ii

i oi 

̂

4) è stima di minima varianza fra tutte le stime lineari e corrette di .

~ 

Diciamo che è una stima lineare corretta di se:

~

 

 

 D l

o

 ~

 

 B L

 ~

 

 M [ ] [19]

̂ è una stima di questo tipo; per soddisfare le [19] basta infatti prendere:

- -

– t 1 t 1

D = I QB K B l = QB K L

~

È possibile dimostrare che per una qualsiasi che soddisfi la [19] si ha:

 

2 2

~

 

ˆ

i i

̂ perciò risulta la migliore stima possibile, dal punto di vista della dispersione, tra tutte le

~

 . 58

 ̂

5) Se è distribuita normalmente allora coincide con la stima di massima verosimiglianza di

o

 .  

Infatti se è distribuita normalmente con media e varianza C, si ha:

o 1    

   

  

t 1

1 C

   O O

2

f ( / ) e

o m 1

 2 2

( 2 ) (det C )  2

ovvero, tenendo conto che C = Q:

o    

1 

   

  

t 1

Q

1 O O

  2

 2

f ( / ) e o

o m 1

 2 2

( 2 ) (det C ) [20]

 

Lo stimatore di massima verosimiglianza di è definito come quello che rende massima la

m

  

funzione f( / ) con la condizione aggiuntiva B = L.

o m m

È chiaro allora che il vettore che rende massima la [20] è lo stesso che rende minimo

m

l’esponente per cui soddisferà:

m

   

t -

– –

1

( ) Q ( ) = min

o m o m

B = L

m 

Ne deriva che coincide con la stima dei minimi quadrati:

m

 

 ˆ

m 

ˆ 2 2

Si noti che col metodo di massima verosimiglianza è possibile anche dare una stima di ;

o

o

risulta infatti: 1

     

  

ˆ ˆ ˆ

2 t 1

( ) Q ( )

o o o

m [21]

Tale stima, tuttavia, come spesso accade usando la massima verosimiglianza, risulta deviata.

59

2

4. LA STIMA DI O

La stima di massima verosimiglianza [21] (valida solo per distribuzioni normali) ci suggerisce di

studiare l’espressione:

  

t 1

v Q v q

  

  ˆ

v o  2

per vedere se la [21] può essere accettata come stima corretta di .

o

A tale scopo calcoliamo la media di q; per fare ciò non occorre fare alcuna ipotesi sulla

distribuzione di perciò il risultato che otterremo avrà validità del tutto generale.

o

Prima di procedere conviene riscrivere q in una forma diversa.

Partiamo dall’osservare che, dati due vettori qualunque con le stesse dimensioni, vale l’identità:

t t t t

a b = b a = T a b = T b a

r r

Infatti, ricordando che la traccia di una matrice A è definita come somma degli elementi diagonali:

 

T A

r ii

i

si ha anche:  

 

t t

T ab b a b

r i i

i

Ne segue che q può anche essere scritto come:

- t

1

q = T Q vv

r

Si avrà dunque: - t

1

M[q] = T Q M[vv ]

r [22]

Dalla [13] si ricava poi:

t -

1

v = QB K

Ricordando la [5] si ha anche:  

t t

– – 2 t 2

M[ ] = M[(L L)(L L) ] = BQB = K

o o o o

pertanto risulta:  

t t - t - t - - t -

1 1 1 2 1 2 1

M[vv ]= QB K M[ ]K BQ = QB K ( K)K BQ = QB K BQ

o o

[23]

Sostituendo la [23] nella [22] si ottiene:

 

- t - t -

2 1 1 2 1

M[q] = T Q QB K BQ = T B K BQ

o r o r [24]

Se ora usiamo la proprietà:

T AB = T BA

r r 60

si trova: t - - t -

1 1 1

T B K BQ = T K BQB = T K K

r r r [25]

Tenuto poi conto che K è una matrice quadrata di dimensioni r (cioè tante quante erano le righe di

B) si può scrivere: 

- -

1 1

K K = I T K K = T I = r

(r) r r (r)

poiché I ha r volte 1 sulla diagonale principale.

(r)

Riassumendo, dalla [25] e dalla [24] si ricava:

 2

M[q] = r

o

questa relazione in particolare può essere letta in questo modo; posto:

    

 

ˆ ˆ

t 1

( ) Q ( )

q

  

ˆ 2 o o

o r r [26]

 

ˆ 2 2

risulta una stima non deviata di qualunque sia la distribuzione di .

o o

o   1

   

ˆ t

Si può anche osservare che partendo dalla relazione è facile mostrare che

v QB K

o

 ,

- t -

1 1

vQ v = K pertanto al posto della [26] si può anche usare la formula equivalente ma di più

semplice calcolo: 1

 

T K

̂ 

2

o r ̂

Notiamo infine che una stima della matrice di covarianza degli si avrà tramite la formula:

 

 

 

ˆ 2 t 1

C Q QB K BQ

ˆ ˆ o

Osservazione

Talvolta nella letteratura invece di usare una matrice Q proporzionale a C si preferisce usare la

-1

matrice P = Q detta matrice dei pesi.

Nel caso in cui le osservazioni sono tra loro indipendenti si ha:  

1 0

   

2 q 0  

0 p

1

1 1

     

 1

2 q

   

   

      

p

2

2 2 2 1 2

2

C Q P 2

   

o o o o

  

 

     

 

2 1

 

0 q

 

0 0

 

m

m  

p m

Le quantità p , dette pesi delle osservazioni, risultano perciò inversamente proporzionali alle

i

varianze: 61

 2

1

  o

p 

i 2

q i i  2

In questo caso poi la formula [26] per la stima di diventa:

o

m

  

  

ˆ ˆ

2 2

p v v

o i i i oi i

i 1 ̂

Osserviamo infine che la stima data dalla [13] è scarsamente dipendente dalla matrice Q ovvero

 

da P: infatti è possibile dimostrare che dando una variazione Q a Q (o P a P) si ottiene una

  ̂

ˆ

variazione di che in genere è trascurabile. Questo fatto è assai importante poiché spesso si

conoscono i valori di q (o di p ) in modo assai approssimativo; ciò nonostante possiamo ritenere la

i i

̂

stima ricavata dalla [13] pressoché identica a quella che si potrebbe ottenere conoscendo

esattamente q (o p ).

i i 62

5. IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI CON EQUAZIONI DI

CONDIZIONE E PARAMETRI AGGIUNTIVI

Spesso succede che nello scrivere le equazioni di condizione per il vettore delle quantità osservabili

 convenga introdurre dei parametri aggiuntivi, che indicheremo col vettore:

 

x

1

 

x

 

 2

x  

 

 

x n

sia perché in tal modo le equazioni di condizione si semplificano, sia perché tali parametri hanno un

significato fisico particolarmente importante nel problema in esame.

Consideriamo, ad esempio, il seguente problema: da due punti P e P di quote note senza errore Q

1 2 1

e Q si sono misurati i dislivelli con un terzo punto P (fig. 2).

2 3

P

3 q

23

q 13 P 2

P q

1 21

Fig. 2

I dislivelli misurati sono quindi q e q e perciò il vettore delle osservabili è:

13 23

  

  q

   13

1  

 

   

q 23

2

Il dislivello q , che è privo di errore, è calcolato direttamente tramite:

21 –

q = Q Q q = -q

21 1 2 12 21

In un problema di questo tipo si può subito scrivere un’equazione di condizione:

 

     

       

1 –

 

B 1 1 q q q L q q + q = 0

 13 23 21

13 23 12

 

2 [27]

Tuttavia in questo caso l’applicazione del principio dei minimi quadrati serve sostanzialmente per

stimare la quota Q di P per cui invece di scrivere una sola equazione di condizione possiamo

3 3

due equazioni di condizione introducendo però l’incognita aggiuntiva

scrivere Q .

3 63

Si ha così: – –

q = Q Q q = Q Q

13 3 1 23 3 2 [28]

Le [28] sono perfettamente equivalenti alla [27], infatti sottraendo membro a membro le due

equazioni [28] si ritrova la [27] il che significa che gli che soddisfano le [28] sono tutti e soli

quelli che soddisfano la [27]. 

Più in generale, dunque, supporremo che le quantità osservabili siano legate da r relazioni lineari

contenenti n parametri aggiuntivi x secondo il modello funzionale:

B = Ax + L   

Ciò in particolare significa che se sono le misure di ed la media di esiste un certo x per

o o

cui è soddisfatta la relazione:

B = Ax + L [29]

Il nostro problema è diventato dunque quello di stimare sia il vettore che il vettore x, a partire

dalla conoscenza di un vettore di osservazioni , della matrice Q proporzionale alla matrice di

o

covarianza di , delle equazioni di condizione [29].

o ̂

Si noti che mentre e x non sono variabili casuali, lo saranno le loro stime che risulteranno

e x̂

funzioni di .

o

Applichiamo adesso il principio dei minimi quadrati.

   ̂

2

Dati , Q (C = Q), B = Ax + L, definiamo come il vettore che rende minima la quantità:

o o

   

  

ˆ ˆ

t 1

( ) Q ( ) min

o o [30]

tra tutti quelli per cui esiste un tale che:

̂  

ˆ

B A

x L [31]

Per non complicare la soluzione del problema supponiamo che le matrici B ed A siano di rango

pieno. Notiamo che per il modo stesso con cui sono state generate le condizioni [31] il numero r di

tali condizioni deve essere superiore al numero n di parametri aggiuntivi: la matrice A sarà pertanto

una matrice con più righe che colonne e quindi dire che è di rango pieno significa che nessuna

colonna di A è combinazione lineare delle altre (ovvero Ax = 0 x = 0).

Osserviamo ancora che in tal caso si possono sempre risolvere n equazioni, opportunamente scelte

tra le [31], rispetto ad e sostituendo il risultato nelle altre ottenere un sistema di r–n condizioni.

x̂ 

Per risolvere il problema [30] e [31] introduciamo un vettore di moltiplicatori di Lagrange: 64

 

1

 

 

  2

 

 

 

r

formando così la funzione:

     

      

ˆ ˆ ˆ ˆ

t 1 t t t t t

( ) Q ( ) ( B x A L )

o o ̂

Differenziando rispetto ad e ad si trova:

x̂ 

    

      

ˆ ˆ

1 t t

2

Q ( ) B 0 QB

o o 2

[32]

 =

t

-A 0 [33]

Sostituendo la [32] nella [31] si ricava:

 

 

      

ˆ ˆ

t t

B ( BQB ) A

x L ( BQB ) B L A

x

o o

2 2

e posto: 

 – t

= B L e K = BQB

o

(si noti che per le ipotesi fatte K è una matrice simmetrica, definitiva positiva ed invertibile)

in definitiva si ha:

 

   ˆ

1

K ( A

x )

2 [34]

Poiché per la [33]:

 

t

A 0

2

la [34] ci dà:

  

     

ˆ ˆ

t 1 t 1 t 1

A K ( A

x ) 0 ( A K A

) x A K

[35] t -

1

Notiamo ancora che essendo A di rango pieno anche A K A è una matrice simmetrica, definitiva

positiva ed invertibile, per cui dalla [35] si ricava:

 

1

 

 

ˆ t 1 t 1

x A K A A K [36]

Combinando poi la [32] e la [34] si ha anche:

  

   

ˆ ˆ

t 1

QB K ( A

x )

o [37] 65

La [36] e la [37] sono le soluzioni cercate.

Si noti infine che non ha più il significato di vettore degli errori di chiusura: in questo caso,

infatti, invece di errori di chiusura si preferisce parlare di errori delle equazioni definiti dal vettore:

   

        

ˆ ˆ t 1 1 t 1

u A

x B L A

x [ I A

( A K A

) A K ]

o [38] 66

̂

6. PROPRIETÀ DELLA STIME E LORO MATRICI DI COVARIANZA

e x̂

̂

Per la stima valgono tutte le proprietà viste nel cap. 3, inoltre si può dimostrare che è non solo

una stima corretta di x ma anche la migliore possibile, nel senso della minima varianza, tra tutte le

stime lineari e corrette. 

̂

Ci limiteremo a dimostrare che ed sono stime corrette di x ed .

x̂ 

 –

Osserviamo in primo luogo che, essendo = B L:

o

 –

M[] = B L = Ax [39]

perciò dalla [36] si trova:

t - - t - t - - t -

1 1 1 1 1 1

M[ ] = (A K A) A K M[] = (A K A) A K Ax = x

espressione che prova la correttezza di .

Inoltre, osservando che:

– – –

M[ A ] = M[] AM[ ] = Ax Ax = 0

x̂ x̂

dalla [37] si ricava:

̂ 

t -

– –

1

M[ ] = M[ ] QB K M[ A ] =

o [40]

̂

che prova la correttezza di . ̂

Vogliamo adesso calcolare le matrici di covarianza di ed ; a tale scopo notiamo che per la [39]:

x̂  

 

   

ˆ ˆ

– – 2 t 2

M[] = B( ) C BQB K



o o o

[41]

Tenendo conto della [36] e della [41] si ha poi: 

           

  

ˆ

t 1 1 t 1 1 t 1 1 2 t 1 1 t 1 1 t 1 1

C ( A K A

) A K C K A

( A K A

) ( A K A

) A K KK A

( A K A

)



ˆ ˆ

x

x o

  

 ˆ 2 t 1 1

( A K A

)

o

Per calcolare partiamo dalla [37] riscritta nella forma:

C

ˆ ˆ

  

 

ˆ t 1

QB K u

o

Posto: t -1 t

– -1

S = K A(A K A) A [42]

osserviamo che per la [38] si ha:

 –

-1 -1

u = SK = SK (B L)

o

per cui si può scrivere: 67

  

̂ t - t - t -

– – –

1 -1 1 -1 1 -1

= QB K SK (B L) = (I QB K SK B) + QB K SK L

o o o

[43]

Prendendo ora la media di entrambi i membri e ricordando la [40] si ha:

 t - t -

– 1 -1 1 -1

= (I QB K SK B) + QB K SK L

che sottratta alla [43] fornisce: 

 

̂ t -

– – –

1 -1

= (I QB K SK B)( )

o [44] l’identità:

Prima di passare alla matrice di covarianza notiamo che S soddisfa

-1

SK S = S [45]

come è facile verificare sostituendo la [42].

Ora dalla [44] si ricava (osservando che S è una matrice simmetrica):

t - t -

– –

1 -1 2 1 -1

= (I QB K SK B) Q(I B K SK BQ) =

C

 o

ˆ ˆ

 t - t - t - t -

– –

2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

= (Q QB K SK BQ QB K SK BQ + QB K SK BQB K SK BQ)

o

e tenendo conto dell’espressione di K e della [45] si trova infine:

  

 

ˆ 2 t 1 1

C (

Q QB K SK BQ )

ˆ ˆ o  2

Resta ancora da stimare il ; a tale scopo useremo la matrice di covarianza del vettore u.

o

Cominciamo col notare che:

t - t

– –

-1 -1 1 -1

SK A = A A(A K A) A K A = A A = 0

perciò la relazione

-1

u = SK

può essere anche riscritta:

-1

u = SK ( Ax)

da cui, ricordando che M[] = Ax, risulta anche:

M[u] = 0

Quindi si ha: -1 -1

C = SK C K S



uu

e per la [41]:  2 -1

C = SK S

uu o

Ricordando poi la [45] risulta:

 2

C = S

uu o [46]

Consideriamo ora la quantità:

t - - t

1 1

q = u K u = T K uu

r 68

da cui passando ai valori medi:

- t -

1 1

M[q] = T K uu ] = T K C

M[

r r uu

e per la [46]:  -

2 1

M[q] = T K S

o r

Ma ricordando che T AB = T BA:

r r

- - - t - t - t - t t t -

– – –

1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

T K S = T [K K K A(A K A) A ] = T I T K A(A K A) A ] = r T (A K A)(A K A) =

r r r (r) r r

– –

= r T I = r n

r (n)

Dunque risulta:

 –

2

M[q] = (r n)

o

Ne consegue che la variabile:

1

t

q u K u

̂  

2  

o r n r n

 2

è una stima corretta di .

o

Osservazione: 

La stima può essere ottenuta anche considerando come osservazione del vettore la quantità:

x̂ 

 –

= B L

o o

avente matrice di covarianza:

 2

C = K

 o ̂

Applicando infatti i minimi quadrati alla stima di M[]:

̂ ̂

t

– –

-1

min( ) K ( )

o o

con la condizione:

ˆ

 

A

si ritrova proprio la [36].

Ciò mostra tra l’altro che rende minima la quantità;

x̂  

̂ ̂

t t t -1

– – – – – –

-1 -1

( ) K ( ) = (B L A ) K (B L A ) = u K u

x̂ x̂

o o o o

[47]

Spesso nella letteratura il principio dei minimi quadrati viene presentato sotto la forma [47] ed il

metodo, che porta alla determinazione di , viene chiamato metodo delle osservazioni indirette.

x̂ 69

7. IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI CON EQUAZIONI DI

CONDIZIONE NON LINEARI

In moltissimi casi pratici le equazioni di condizione che legano le osservabili ed eventualmente i

parametri aggiuntivi x non sono lineari, si ha cioè, in generale, al posto delle [31]:

 

f ( x , )

1

 

f ( x , )

 

  

2

f ( x , ) 0

 

 

 

f ( x , )

r [48]

Naturalmente questo fatto non impedisce di applicare il metodo dei minimi quadrati, il quale anzi è

di larghissimo uso per la sua semplicità rispetto ad altri metodi di stima.

Ciò nonostante, la presenza di equazioni di condizione non lineari porta con sé due conseguenze:

- la stima dei minimi quadrati nel campo non lineare non gode delle proprietà ottimali (minima

varianza) di cui godeva nel campo lineare;

- non si può in generale avere una soluzione esatta ma al più si può costruire una successione che

approssimi la soluzione, e ciò aumenta la complicazione ed il numero di calcoli.

Tuttavia, nella maggior parte dei casi in cui si hanno misure di alta precisione, nella zona in cui si

concentra un’alta probabilità (ad es. il 99%) di trovare , le equazioni di vincolo hanno un

o

andamento pressoché lineare.

Questa osservazione ci suggerisce di linearizzare le equazioni di vincolo [48] e passare poi a

risolvere il problema dei minimi quadrati con equazioni linearizzate ottenendo in tal modo una

soluzione approssimata del problema. ~ ~

 

Per poter linearizzare la f(x, ) occorre però conoscere dei valori approssimati attorno a cui

x ,

fare la linearizzazione; usualmente si sceglie:

~ 

 = o ̂

che si suppone essere abbastanza vicino ad (si potrebbe comunque scegliere un qualunque altro

̂

vettore purchè vicino ad ).

~ 

Per non esiste una regola generale, quando è possibile si prendono n equazioni f(x, ) = 0 tra le r

x ~ 

e si risolvono rispetta ad x ponendo al posto da :

~ ~

 

 f ( x , ) 0

1

 

 ~ ~

 

 f ( x , ) 0

n 70

~ ~

 

Notiamo comunque che, ponendo = , deve essere considerata come una semplice

o ~

approssimazione numerica e non come una variabile casuale; lo stesso vale per .

x

~ ~

Una volta definiti scriviamo al posto delle [48] il sistema.

x ,

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

    

    

ˆ ˆ

f ( x , ) f ( x , )( x x ) f ( x , )( ) 0

x [49]

dove:    

   

f f f f

1 1 1 1

 

   

 

   

x x

   

1 n 1 m

 

 

f f

   

x    

   

f f f f

r r r r

 

   

 

   

   

x x

1 1 1 m

Posto: ˆ

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

     

       

ˆ ˆ ˆ

A f ( x , ) B f ( x , ) L f ( x , ) ( x x ) v

x

le [49] riacquistano la consueta forma:

ˆ

 

ˆ

B

v A L

Il vettore v assume la funzione di vettore delle quantità osservabili; il suo valore osservato è:

~

 

v =

o o

~ 

 

e poiché = v = 0 (cosa che non cambia le formule viste nei

o o

capitoli precedenti). ~

La matrice di covarianza di v è ( è una costante):

o

  2

C C Q

 

v v o

o o o o

ˆ

Le stime sono poi date dalle [36] e [37].

, v̂ ̂

In questo modo si trova una prima stima di :

,

ˆ

 ~ 

 

ˆ

x x

 1 ~

 

 

ˆ ˆ

 v

1 ̂

Qualora si pensi che non siano stime sufficientemente approssimate si possono prendere come

,

nuovi valori approssimati:

~  ˆ

 x x

1 1

 ~

 

 ˆ

 1 1

e procedere ad una nuova linearizzazione ponendo:

ˆ

 ~ 

 

ˆ

x x

 1 1

~

  

 

ˆ ˆ

 1 1

Si avrà allora: 71

~ ~

 A f ( x , )

1 x 1 1

ˆ ~ ~

 

   

ˆ 

B v A L con B f ( x , )

1 1 1 1 1 1 1 1

 ~ ~

 L f ( x , )

1 1 1

ha la funzione di vettore delle quantità osservabili, con valore osservato:

1 ~

 

v =

o o

1 1

e matrice di covarianza:

  2

C C Q

 

v v o

o 1 o 1 o o

Risolto questo nuovo problema di minimi quadrati si ottengono nuove stime:

ˆ

 ~ 

 

ˆ

x x

 2 1 1

~

 

 

ˆ ˆ

 v

2 1 1 ˆ

 , v̂

Se necessario si passa a nuove interazioni fino a quando gli incrementi non diventano

k k

trascurabili. Generalmente, comunque, la prima iterazione fornisce già la soluzione con sufficiente

approssimazione. 72

8. COMPENSAZIONE GENERALE DI UNA RETE PLANIMETRICA

Le principali misure che compaiono in una rete planimetrica sono:

a) misure di distanze;

b) misure di angoli;

c) misure di azimut.

La rete viene compensata ponendo nel vettore dei parametri x le coordinate incognite dei vertici

della rete e nel vettore delle osservabili tutte le distanze, gli angoli e gli azimut misurati ed inoltre

scrivendo per ogni misura un’equazione di condizione (r = m).

Esaminiamo separatamente queste equazioni di condizione e la loro linearizzazione.

a) Equazioni delle distanze (fig. 3) si può scrivere l’equazione:

Per ogni distanza misurata d ik

ˆ    

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

d ( x x ) ( y y )

ik k i k i [50]

y P k

d ik

P i x

Fig. 3

~ ~

x , y

Indichiamo con le coordinate approssimate dei vertici, che devono essere calcolate

j j

preventivamente.

Poniamo inoltre: ~ ~

 

   

ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x y y y

i i i i i i

~ ~

 

   

ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x y y y

k k k k k k

~ ~ ~ ~

     

x x x y y y

ik k i ik k i

d = distanza misurata

oik

~    

2 2

d x y = distanza calcolata con le coordinate approssimate

ik ik ik

ˆ

 

ˆ

v d d

ik ik oik 73

~ ~

Linearizzando la [50] attorno ai valori approssimati d , , si trova:

x , y

oik

 

x y

~

ˆ    

       

ˆ ik ik

v d d d d ( x x ) ( y y )

~ ~

ik ik oik ik oik k i k i

d d

ik ik

[51]

Qualora qualcuna tra le coordinate x , x , y , y fosse nota a priori si deve porre uguale a zero la

i k i k

 

corrispondente variazione x o y; in altre parole, quella coordinata non entra a far parte del vettore

.

x̂ ~  

I sono componenti del vettore ; sono componenti del vettore L; le variazioni x, y

d d

v̂ v̂

ik ik oik  

x y

ˆ

 entrano, con l’opportuno segno, come

ik ik

sono componenti del vettore ; le espressioni ,

~ ~

d d

ik ik

coefficienti della matrice A.

b) Equazioni angolari P P , P P

Sia A un angolo misurato: introduciamo gli angoli di direzione dei due lati come in

ijk j i j k

fig.4. y  jk

P

j ji

A ijk P

P k

i x

Fig. 4

Risulta ovviamente:

ˆ ˆ ˆ

 

 

A

ijk ji jk [52]

inoltre si può porre:  

ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x x

ˆ ˆ

 

 

i j k j

arctg arctg

 

ˆ ˆ ˆ ˆ

ji jk

y y y y

i j k j

[53]

Sostituendo le [53] nelle [52] si trova un’equazione di condizione per ogni angolo misurato. Per

linearizzare tale equazione poniamo: 74

~ ~

 

    

ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x y y y (

l i , j , k )

l l l l l l

~ ~ ~ ~

 

    

x x x y y y (

l i , k )

jl l j jl l j

A = angolo misurato

oijk 

x

~

  

jl

arctg (

l i , k )

jl y jl

~ ~ ~

 

 

A = angolo calcolato con le coordinate approssimate

ijk ji jk

~

ˆ

 

ˆ

v A A

ijk ijk ijk

Per linearizzare la nostra equazione osserviamo che si può porre:

   

    

ˆ ˆ ˆ ˆ

y ( x x ) x ( y y )

~

ˆ

 

  ji i j ji i j

  

ji ji 2 2

y x

ji ji [54]

̂

ed analogamente per .

jk

~    

2 2 2

d x y

Perciò, posto ancora (l = i, k) si trova:

il il il   

y x y

~

ˆ      

          

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ji ji jk

v A A A A ( x x ) ( y y ) ( x x )

~ ~ ~

ijk ijk oijk ijk oijk i j i j k j

2 2 2

d d d

ji ji jk

x  

 

ˆ ˆ

jk ( y y )

~ k j

2

d jk

[55] ~  

 ˆ ˆ

A A

I sono componenti del vettore ; sono componenti del vettore L; sono

v̂ x

, y

ijk oijk

ijk  

y x

ˆ

 jl jl entrano, con l’opportuno segno, come coefficienti della

,

componenti del vettore ; ~ ~

2 2

d d

jl jl

matrice A.

c) Misure di azimut d’angolo tra una direzione nota nel piano ad un lato

Si tratta in questo caso di misure P P .

k i

è l’azimut misurato e l’angolo di direzione della direzione nota nel piano (fig. 5), indicando

Se A

ki

 l’angolo di direzione di

con P P , si può scrivere ovviamente:

ki k i 75

y  direzione

nota

P

k ki A ki P i x

Fig. 5

ˆ ˆ

 

 

A

ki ki

Usando la [54] si ha, con la stessa simbologia del punto b):

 

y x

~

ˆ      

        

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ki ki

v A A A ( x x ) ( y y )

~ ~

ki ki oki ki oki i k i k

2 2

d d

ki ki

[56]

Per le quantità che entrano nella [56] valgono considerazioni analoghe a quelle viste nei punti a) e

b).

Riassumendo, si hanno equazioni del tipo [51] per ogni distanza misurata, [55] per ogni angolo

misurato, [56] per ogni azimut misurato; queste equazioni, tutte insieme, formano il sistema:

ˆ

 

ˆ (B = I)

v A L 

  2

C C Q

Il valore osservato di v sarà v = 0, la matrice di covarianza di v sarà , il vettore

 

o o v v o

o o o o

 – –

= B L = L.

o ˆ

La stima è quindi data da:

 

ˆ

 1

 

  t 1 t 1

A Q A A Q L

e la sua matrice di covarianza:

  

 ˆ 2 t 1 1

C ( A Q A

)

ˆ ˆ

  o 

t 1

u K u

  

ˆ 2 ( r m )

o r n

ˆ ˆ

 

        ˆ

u A L A v 76

9. IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI CON EQUAZIONI DI

CONDIZIONE E VINCOLI

Talvolta nell’introdurre i parametri aggiuntivi x nel modello funzionale conviene introdurne di più

di quelli strettamente necessari e tener conto separatamente che i parametri stessi possono essere

legati tra loro da alcune relazioni di vincolo che, nel caso lineare, si scriveranno in forma matriciale:

Tx + l = 0

Per il modo in cui tali vincoli sono stati introdotti, risulta chiaro che il loro numero, che indichiamo

con t, deve essere minore del numero n dei parametri contenuti nel vettore x:

t < n

La matrice T, che avrà più colonne che righe, sarà per ipotesi di rango pieno, il che equivale a dire

che teoricamente t parametri degli n contenuti in x potrebbero essere ricavati come funzioni lineari

dei restanti n t.

Il problema che si pone è proposto di seguito.

Dati:

  2

, Q (C = Q) modello stocastico delle misure



o o

   equazioni di condizione

B Ax L

Tx + l = 0 equazioni di vincolo

̂ 

cerchiamo le stime di e x tali che:

, x̂

   

  

ˆ ˆ

t 1

( ) Q ( ) min

o o

̂  

ˆ

B A

x L [57]

T + l = 0

x̂ [58]

ˆ 2 2

nonché una stima di .

o

o  

Il problema viene risolto introducendo due vettori di moltiplicatori di Lagrange e ,

rispettivamente a r e t componenti, e minimizzando quindi la funzione:

1       

        

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

t 1 t t t t t t t t

( ) Q ( ) ( B x A L ) ( x T l )

o o

2

con l’aggiunta delle condizioni [57] e [58]. che generalmente è l’incognita di

Senza entrare nel dettaglio dei calcoli diamo la soluzione per x̂

maggior interesse.

Ponendo come di consueto:

 t

= B L K = BQB

o 77

e ponendo inoltre:

t - -

1 1

D = (A K A)

si trova:

 

 

1 

  

ˆ t t t 1

x D DT TDT TD A K

Procedendo poi come nei paragrafi precedenti è facile dimostrare che la matrice di covarianza della

è data da:

x̂  

 

 1

 

2 t t

C D DT TDT TD

ˆ ˆ

x

x o  2

Infine, sempre senza entrare in dettaglio, diamo la stima per ; ponendo, come già in precedenza:

o

 – –

u = B A L

o

si ha che: 

t 1

u K u

 

ˆ 2  

o r ( n t )  

ˆ 2

2 2

che è una stima corretta di (ovvero M[ ] = )

o o

o

Osservazione:

Naturalmente in generale le relazioni di vincolo non saranno lineari, si avrà cioè un sistema:

 

F ( x )

1

 

 

F ( x ) 0

 

 

 

F ( x )

t ~

In questo caso a partire dal vettore dei valori approssimati e ponendo:

x

ˆ

~ 

 

ˆ

x x ˆ

si ricava per il sistema di vincoli, linearizzato:

ˆ

~ ~

  

F ( x ) F ( x ) 0

x

che coincide con la [58] pur di porre:

~ ~

T = F ( ) l = F( )

x x

x

Concludiamo osservando che talvolta è possibile trovare una soluzione esatta, senza

linearizzazione, quando le equazioni di vincolo sono quadratiche: ciò è abbastanza semplice quando

vi è una sola equazione di vincolo.

 78

10. DEFINIZIONI

L’altimetria si occupa dello studio dei metodi e degli strumenti necessari per la determinazione

della quota ortometrica di un punto rispetto ad una superficie di riferimento prefissata, nonché del

dislivello fra due punti.

La superficie di riferimento è il geoide, inteso come luogo ideale dei punti corrispondenti al livello

medio del mare, supponendo che le acque ricoprano integralmente il nostro pianeta.

La quota ortometrica di un punto, detta anche quota assoluta, è quindi la distanza di quel punto

dalla superficie di riferimento misurata secondo la verticale (fig. 1). Le quote ortometriche sono

quasi sempre positive perché la maggior parte della superficie terrestre emerge dal mare.

n

B Superficie

terrestre

Q

n B

A Q

A Geoide

Fig. 1: Quote assolute o ortometriche

di un punto il lavoro che l’unità di massa compie nell’andare dal

Si definisce poi quota dinamica

geoide al punto; questo lavoro, che è dato dalla differenza di potenziale fra il geoide ed il punto, è

indipendente dal cammino percorso ed è valutabile se alle misure di dislivello si associano le misure

di gravità (ottenibili mediante l’uso di gravimetri).

La quota dinamica non ha però le dimensioni di una lunghezza bensì quelle di un lavoro diviso per

una massa, ovvero quelle di un’accelerazione per una lunghezza.

Per ottenere valori delle quote dinamiche abbastanza prossimi ai valori delle quote ortometriche, le

quote dinamiche dei punti vengono divise per un valore medio della gravità; tale valore è di 980 gal,

ma si è deciso in congressi scientifici internazionali di dividere le quote dinamiche per 1000: si

deducono così le quote geopotenziali, mediamente inferiori alle quote ortometriche del 2%.

Se si assume una superficie di riferimento qualsiasi, diversa dal geoide, la quota del punto è detta

quota relativa. 79

Il dislivello fra due punti A e B, detto anche dislivello ortometrico, è la differenza fra la quota di B e

la quota di A:

 –

= Q Q

AB B A

Analogamente, il dislivello fra B e A è:

 –

= Q Q

BA A B

deducendosi, pertanto:

 

= -

AB BA

A differenza delle quote, i dislivelli possono essere positivi o negativi ed è assolutamente

indispensabile dedurre il loro segno, per sapere quale dei due punti è più alto e quale è più basso.

Dicesi, infine, pendenza della congiungente diretta il punto A col punto B il rapporto fra il dislivello

e la distanza topografica fra i due punti congiunti:

 

p / AB

AB AB

Poiché la distanza topografica è sempre positiva, la pendenza prende lo stesso segno del dislivello,

diventando quindi positiva se si va dal punto A al punto B, negativa nel caso contrario. Inoltre,

siccome si ottiene dal rapporto di due lunghezze, essa è un numero puro generalmente espresso in

per cento o in per mille.

L’operazione topografica che consente di misurare il dislivello fra punti della superficie terrestre è

detta livellazione. A seconda del tipo di strumento utilizzato, del sistema operativo realizzato e della

conseguente precisione raggiungibile, le livellazioni possono essere:

 a mira obbligata, ovvero vengono effettuate con strumenti (i livelli) il cui asse di collimazione

viene preventivamente disposto in posizione rigorosamente orizzontale (è il caso delle

livellazioni geometriche);

 a mira libera, ovvero vengono effettuate con strumenti diversi, da cui prendono il nome, il cui

asse di collimazione può variare (come, ad es., le livellazioni trigonometriche,eseguite con il

teodolite, e le livellazioni tacheometriche, eseguite con il tacheometro);

 senza mira, ovvero vengono effettuate con strumenti privi di apparati ottici e, quindi, di asse di

collimazione (barometri, termometri, livelle, piombini). 80

11. LIVELLAZIONE GEOMETRICA

La livellazione geometrica è una livellazione a mira obbligata di elevata precisione ma con un

150

campo d’azione piuttosto limitato (la lunghezza di una battuta è mediamente di 100 m).

Essa può essere eseguita secondo tre diverse modalità; distingueremo pertanto:

a) livellazione geometrica da un estremo;

b) livellazione geometrica dal mezzo;

c) livellazione geometrica reciproca (o intermedia).

2.1 LIVELLAZIONE GEOMETRICA DA UN ESTREMO

Consideriamo il profilo di un terreno a pendenza limitata e siano A e B due punti fra i quali si vuole

determinare il dislivello (fig. 2). (o viceversa) e supposto l’asse di collimazione

Posto il livello in A e una stadia verticale in B e misurata l’altezza

perfettamente orizzontale, fatta la lettura l ° alla stadia (detta battuta)

B

strumentale h , risulta:

A x

 '

l B

B

B

h

A  AB

A Fig. 2: Livellazione geometrica da un estremo

 – –

= Q Q = h l °

AB B A A B

cioè il dislivello fra due punti è pari alla differenza fra l’altezza dello strumento nel punto stazione e

la lettura alla stadia nel secondo punto.

Se questa differenza dà un valore positivo vuol dire che sul terreno B è più in alto di A; se, invece, il

risultato della differenza è negativo, vuol dire che B è più in basso di A. 81

In realtà, anche dopo la rettifica strumentale, permane sempre un errore residuo rappresentato

dall’angolo che l’asse di collimazione forma con l’orizzontale, per cui si avrà:

    

+ l = h + x = h l + x

AB B A AB A B [1] 

rappresenta l’errore di lettura sulla stadia conseguente all’errore di rettifica

dove la x del livello;

tale quantità ha segno positivo se l’asse di collimazione è inclinato erroneamente verso l’alto, segno

negativo se, invece, è inclinato verso il basso. In ogni caso, adoperando questo metodo il valore

della x non può essere determinato e rimane quindi incognito.

Nel caso in cui non sia possibile fare stazione in A (fig. 3), si posiziona il livello nei pressi di tale

 

punto, internamente o esternamente alla distanza , e si fanno le letture l e l sulle stadie poste

AB A B

(in questo caso non è obbligatorio misurare l’altezza strumentale e, quindi,

in A e B si ha la

possibilità di raggiungere una migliore precisione). x B

x

 '

l

A B

'

l A B

h

M AB 

A MB

 MA

M Fig. 3: Livellazione geometrica verso un estremo

Applicando la [1] ad entrambi i punti si ha:

   

– –

= h l + x = h l + x

MB M B B MA M A A

da cui, facendo la differenza fra i primi e i secondi membri:

      

– – – – – –

= = h l + x h + l x = l l + x con x = x x

AB MB MA M B B M A A A B B A

può essere considerata nulla perché l’errore residuo di rettifica

Nei livelli meno precisi la x che

comporta non altera i valori di precisione richiesta, mentre nei livelli di precisione, di alta e

altissima precisione, occorre operare tenendo presente che l’influenza dell’errore di rettifica non

può in generale essere trascurata.

Il metodo più semplice e sicuro per eliminare l’influenza dell’errore di rettifica è la livellazione

geometrica dal mezzo. 82

2.2 LIVELLAZIONE GEOMETRICA DAL MEZZO

È così chiamata perché il livello viene sistemato in un punto M ad uguale distanza dai due estremi A

e B fra i quali si vuole determinare il dislivello (fig. 4).

Se l’asse di collimazione è inclinato di un angolo per rettifica strumentale mal fatta o per errori

residui di rettifica, collimando successivamente due stadie verticali poste sui due punti A e B, gli

errori di lettura x dovranno essere necessariamente uguali.

Si ha quindi: x x

  '

l B

B

l ' B

A l°

A  AB

M

A d d

Fig. 4: Livellazione geometrica dal mezzo

  

– – – –

= Q Q = l l = (l ° + x) (l ° + x) = l ° l °

AB B A A B A B A B

[2]

cioè il dislivello fra i due punti A e B è uguale alla differenza fra la controbattuta (in A) e la battuta

(in B).

Poiché nella formula [2] non compaiono né l’errore di né l’altezza strumentale

lettura x h, la

livellazione dal mezzo può essere considerata una livellazione di precisione; essa ha inoltre il

vantaggio di essere di facile applicazione, e poiché la controbattuta ripropone lo stesso errore fatto

consente di eliminare l’errore di sfericità (dovuto alla curvatura della superficie

nella battuta,

terrestre) e l’errore conseguente alla rifrazione atmosferica.

Per tutti questi svantaggi, la livellazione dal mezzo è correntemente una di quelle più usate.

Per quanto riguarda la precisione nella misura del dislivello, bisogna evidenziare che poiché le

uniche grandezze misurate sono le lunghezze fra il punto d’appoggio della stadia ed il punto in cui

l’asse di collimazione incontra la stadia, tale precisione dipende essenzialmente da quella con cui

83

queste lunghezze vengono determinate. Indicato, allora, con lo s.q.m. della misura di una di tali

L

lunghezze, dalla [2] ricaviamo che lo s.q.m. del dislivello misurato è:

   

   2

 L L L

2.3 LIVELLAZIONE GEOMETRICA RECIPROCA (O INTERMEDIA)

Se si verificano delle condizioni per cui è impossibile fare stazione con lo strumento nel mezzo,

occorre ricorre alla livellazione geometrica reciproca che consiste nell’eseguire le letture da due

stazioni intermedie M e N ciascuna prossima ad una stadia e tali che risultino equidistanti dal punto

di mezzo (fig. 5).

Si ha: D d

 

 B

 M  AB

N

A D

d Fig. 5: Livellazione geometrica reciproca

  

  

– – – – –

= Q Q = l l = (l ° + D) (l ° + d) = l ° l ° + (D d)

AB B A AM BM AM BM AM BM

stazione in M   

  

– – – – – –

= Q Q = l l = (l ° + d) (l ° + D) = l ° l ° (D d)

AB B A AN BN AN BN AN BN

stazione in N

da cui, sommando membro a membro e dividendo per due, si ottiene:

 

– – – – – – –

2 = l ° l ° + (D d) + l ° l ° (D d) = l ° l ° + l ° l °

AB AM BM AN BN AM BM AN BN

  

o o o o

(

l l ) (

l l )

   AM BM AN BN

AB 2 84

fornisce il dislivello corretto dell’influenza

ovvero la media dei dislivelli misurati in M e N

dell’errore di rettifica. equivale teoricamente, per quanto riguarda l’eliminazione dell’influenza

La livellazione reciproca

dell’errore di rettifica, alla livellazione dal mezzo, ma in pratica è caratterizzata da una precisione

inferiore perché si fanno letture alla stadia a distanze più grandi.

Sottraendo membro a membro le espressioni dei dislivelli misurati in M e N si ottiene, invece,

l’errore di rettifica che può essere calcolato se sono note, anche con scarsa precisione, le distanze

D e d:   

– – – – – – – –

0 = l ° l ° + (D d) l ° + l ° + (D d) = l ° l ° (l ° l °) + 2 (D

AM BM AN BN AM BM AN BN

d)   

o o o o

(

l l ) (

l l )

  AM BM AN BN

2

( D d ) 85

2.4 LIVELLAZIONE GEOMETRICA COMPOSTA

150

Quando la distanza fra i punti A e B supera i 100 m o il dislivello fra di essi è notevole,

che consiste nel suddividere l’intera

bisogna eseguire una livellazione geometrica composta,

tronchi di 100 m circa, e nell’eseguire, in ciascun

distanza in n tronco, una livellazione geometrica

semplice.

Il percorso seguito per collegare i due punti A e B è facoltativo e la livellazione di ciascun tronco

può essere effettuata con uno dei metodi sopra esposti, ovvero mediante:

- livellazione geometrica da un estremo;

- livellazione geometrica reciproca;

- livellazione geometrica dal mezzo.

La prima livellazione è però sconsigliabile a causa del ripetersi delle misure e, quindi, degli errori; è

anche poco sconsigliabile la seconda a causa di una certa laboriosità nelle operazioni di campagna;

di conseguenza, è da preferirsi, sotto tutti gli aspetti, la livellazione geometrica composta dal mezzo

(fig. 6). q

In essa, determinati i dislivelli parziali negli n tronchi, il dislivello complessivo fra gli estremi A

i

e B si ottiene sommando algebricamente quelli parziali, ossia: n

....

3

2 B

1  AB

d = 100 m

A Fig. 6: Livellazione geometrica composta dal mezzo

n

     

o o

q con q l l

AB i i s d

i i

i 1 [3]

cioè il dislivello fra due punti A e B è uguale alla differenza fra la sommatoria delle controbattute e

la sommatoria delle battute.

Vediamo adesso come si propaga l’errore. 86

Applicando la legge di propagazione della varianza, in base alla [3] si ricava che la varianza del

dislivello parziale è pari a:

   

2 2 2 2

= + = 2

qi L L L

infatti: 

z = x y 

   

2 0 1

 

     

        

x

2 T 2 2 2 2 2

   

C AC A 1 1 2

  

zz z x y L L L

2

   

0 1

 

y

per cui la varianza del dislivello complessivo è:

  

2 2 2

= n = 2n

 qi L

AB

Lo s.q.m. di ogni singola battuta è pari a:

  

 

2 2

 

q q L

i i

mentre quello totale:

  

 

2 2

n

  L

AB AB

D’altra parte, se con D si indica la distanza fra gli estremi A e B e con d la lunghezza di ogni tronco

si ha n = D/d e quindi:

D

 

 2

 L

d

AB 87

12. LIVELLAZIONE SPEDITIVA

La livellazione speditiva è una livellazione a mira libera e viene impiegata per misurare i dislivelli

nelle operazioni di rilievo di dettaglio e nei cantieri per la comodità in terreni accidentati; si esegue

fra punti distanti non più di 100 m con una stazione totale accessoriata.

Con questo tipo di livellazione la distanza viene misurata contemporaneamente al dislivello; infatti,

l’altezza del prisma,

posto lo strumento in A e un prisma in B (o viceversa), indicata con l si

B

valutano l’altezza strumentale e l’angolo zenitale

h corrispondente alla linea di mira realizzata

A

Si avrà (fig. 7): 

 Dcotg l B

B

h

A 

AB

A D

Fig. 7: Livellazione tacheometrica

 

   – –

+ l = h + Dcotg = Q Q = h + Dcotg l

AB B A AB B A A B

.

La precisione del metodo può essere dedotta applicando la legge di propagazione della varianza.

Considerando il dislivello come funzione non lineare di quantità osservate:

 = f(h , D, , l )

AB A B

la varianza del dislivello sarà:

2 2

2

   

 

 

 

 

2

 

    

   

 

   

 

2 2 2 2 2

AB AB AB AB

 

   

 

   

h D l

   

   

h D l

AB A B

A B

siano prive di errore, l’errore sarà funzione solo di due grandezze:

e supposto che h ed l

A B

 = f(D, )

AB 2

2  

 

 

2

    D

     

 

 

    

  2

2 2 2 2 2

AB AB cot g

   

 

  

 

D D

  2

   

D

AB sen 88

13. LIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA

La livellazione trigonometrica è così chiamata perché viene eseguita principalmente per

determinare il dislivello fra i vertici trigonometrici delle triangolazioni, cioè tra punti tanto lontani

fra loro da dover necessariamente considerare l’influenza della sfericità della Terra e della

rifrazione atmosferica.

In questa livellazione, a causa della presenza dell’atmosfera l’asse di collimazione non può essere

rettilineo e, quindi, non si possono misurare gli angoli zenitali effettivi ; al contrario, la linea di

mira si incurva verso il basso e si può collimare solo alzando leggermente il cannocchiale,

misurando, pertanto, gli angoli zenitali apparenti z. Questi devono essere determinati con estrema

cura usando sempre un teodolite e ripetendo più volte le misure da ambedue gli estremi (livellazioni

reciproche) o da un solo estremo.

Poiché la distanza fra i due punti non supera in generale una decina di chilometri, le formule che

permettono di determinare il dislivello, noti gli angoli zenitali e la distanza stessa, possono essere

R N

ricavate assumendo quale superficie di riferimento la sfera locale di raggio , dove il

raggio del meridiano e la grannormale vanno determinati per una latitudine intermedia fra quelle dei

due punti.  l’angolo al centro

Siano (fig. 8) A e B i punti fra i quali si deve determinare il dislivello,

compreso fra le rispettive verticali, A e B le loro proiezioni sulla sfera locale di centro O e raggio

o o

R, D = A B la distanza fra i due punti. Siano inoltre Q e Q le quote dei due punti rispetto alla

o o A B

superficie di riferimento (la sfera locale) e z e z le distanze zenitali.

A B

n n

z

z B

A Δz

Δz

A B B

A B̂

 Q

Q B

A D B

o

superficie A

o

terrestre sfera locale

R O

Fig. 8: Livellazione trigonometrica 89

Tenendo conto che:   D

ˆ  

      

rad

OA R Q A z z

A A A R

 

ˆ 

     

OB R Q B z z

B B B

applichiamo la formula di Nepero al triangolo OAB coinvolgendo i due lati OA e OB:

   

1 1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

 

tg A B tg A B

 

OB OA 2 2

    

OB OA OB OA

   

 1 1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

OB OA  

tg A B tg A B

2 2

[3]

D’altra parte:

        

OB OA R Q R Q Q Q

B A B A AB

       

OB OA R Q R Q 2 R Q Q

B A B A

       

ˆ ˆ  

              

A B z z z z z z z z

A A B B B B A A

    

 

 

1 1 1 1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

   

           

 

A B tg A B tg tg cot g 

  D

2 2 2 2 2 tg tg

2 2 R

Sostituendo nella [3] si ha:  

     

1 D

        

2 R Q Q tg z z z z tg

AB B A B B A A

2 2 R

D D D

Sviluppando in serie si può porre , per cui:

tg tg

2 R 2 R 2 R

   

Q Q    

1 D

        

 

B A

2 R 1 tg z z z z

AB B B A A

 

2 R 2 2 R

   

Q Q    

1

      

 

B A

D 1 tg z z z z

B B A A

 

2 R 2

e posto: 

Q Q

 B A

Q m 2 [4]

si ottiene:    

Q    

1

       

 

m

D 1 tg z z z z

AB B B A A

 

R 2 [5] z z

Se le osservazioni sono contemporanee si può considerare = e quindi:

A B

 

Q  

1

   

 

m

D 1 tg z z

AB B A

 

R 2 90

La quantità Q /R non è nota e si può introdurre un valore approssimato di Q : per es., se si conosce

m m

Q si può assumere Q = Q , calcolare in prima approssimazione il dislivello e dedurre quindi per

m

A A

Q un valore abbastanza prossimo a quello corretto da introdurre nella [4] per il calcolo della quota

B è piccolo rispetto all’unità (il

media Q definitiva. Poiché, comunque, il termine Q /R

m m

denominatore è molto più grande del numeratore), lo si può trascurare commettendo un errore

irrilevante; di conseguenza, la formula definitiva per il calcolo del dislivello diventa:

 

1

  

D tg z z

AB B A

2

È più frequente il,caso in cui la livellazione è eseguita facendo stazione soltanto in un punto (per es.

in A); in questo caso, risultando:  

ˆ

  

        

z z A z z

B B A A

sostituendo nella [5] si ottiene:  

     

 

Q Q

1  

             

     

m m

D 1 tg 2

( z z ) D 1 tg z z

AB A A A A

 

   

R 2 R 2 2

   

Q

    

   

m

D 1 cot g z z

A A

 

 

R 2

È noto che:  D

   con K = coefficiente di rifrazione

z K K

2 2 R l’unica zenitale misurata, si può scrivere:

per cui, trascurando il termine Q /R e indicando con z

m

   

     

  K 1

        

   

D cot g z K D cot g z K 1 D cot g z D

 

AB      

2 2 2 2 R 

K 1

Sviluppando in serie di Taylor cotgz con punto iniziale z e incremento si avrà:

D

2 R

1 K

   2

D cot gz D

AB 2 R

Questa formula deve essere corretta aggiungendo l’altezza strumentale e sottraendo la lettura; in

definitiva, la formula che fornisce il dislivello misurato mediante livellazione trigonometrica è:

1 K

    

2

D cot gz D h l

AB 2 R

Valutiamo la precisione del metodo.

Le osservabili sono la distanza, l’angolo zenitale e il coefficiente di rifrazione:

 = f(D, z, K)

AB

per cui applicando la legge di propagazione della varianza: 91

 

 

2 2 2

     

   

   

     

2 2 2 2

AB AB AB

   

D z K

     

D z K

AB 2

 

 2 2

    2

1 K D D

  

 

     

   

2 2 2

cot gz D  

D z K

   

2  

R 2 R

sen z

Esaminiamo separatamente l’influenza delle singole cause d’errore:

 

1 K

 

 

 

( D )

- cot gz D

 D

 

R

AB 

1 K

Il termine è molto piccolo (D vale al massimo 10R) e si può trascurare, per cui,

D

R

introducendo lo s.q.m. relativo della distanza si ha:

 

    

  

( D ) 3 4 5

D D

cot gz cot gz D con 10 ;

10 ;

10

 D D D

AB D

 

 

( z )

-  z

2

AB sen z

2

D

  

  

( K )

- con = 0,01

 K

K

2 R

AB

Come si vede, i singoli s.q.m. dipendono tutti dalla distanza, di conseguenza al variare di D

varieranno gli errori. 

In particolare, per distanze sino a 10 km l’influenza di 2

, per quanto proporzionale a D , è bassa e

K

si può ritenere che, entro tale limite, lo s.q.m. del dislivello sia proporzionale alla distanza e,

 

precisamente, si può assumere mediamente = 1,2D dove è espresso in centimetri e D in

 

AB AB

chilometri. 

L’influenza del termine diventa preponderante dopo i 10 km e si può ritenere che, dopo tale

K

limite, lo s.q.m. del dislivello cresca con il quadrato della distanza; per questo motivo non è

consigliabile effettuare misure di dislivelli fra punti distanti più di 10 km; dovendo collegare

altimetricamente punti più distanti conviene ottenere il dislivello totale come somma di dislivelli

parziali ognuno dei quali si riferisce ad una distanza più corta.

Lo s.q.m. della distanza zenitale è, comunque, quello che entro il limite dei 10 km influenza

maggiormente la precisione del dislivello.

 92

14. GENERALITÀ consiste nell’individuazione della posizione planoaltimetrica di un numero

Il rilievo topografico

sempre molto elevato di punti su una superficie di riferimento, per poi darne la relativa

rappresentazione su una carta, in una determinata scala.

Le operazioni per il rilevamento topografico consistono essenzialmente in misure di angoli e di

distanze, eseguite con gli strumenti topografici e geodetici descritti, mediante determinazioni

singole o ripetute, senza o con il controllo degli eventuali errori.

La superficie di riferimento dipende dall’ampiezza della zona che si deve rilevare e può essere

quindi l’ellissoide di rotazione per estensioni con raggio superiore ai 110 km circa, la sfera locale

per estensioni con raggio compreso fra i 110 km e i 25 km circa, ed il piano tangente per estensioni

con raggio inferiore ai 25 km circa.

La scala di rappresentazione dipende ovviamente dall’uso e dalla destinazione che la carta deve

avere; pur essendo l’ultimo atto del rilevamento, è però quello che condiziona le varie operazioni

sin dall’inizio.

Infatti, carte a grande scala (come le mappe catastali al 2000), dovendo essere ricche di particolari

spesso da rappresentare nella loro reale conformazione, richiederanno un gran numero di punti e

misure minuziose. L’ampiezza della zona dovrà essere necessariamente limitata e quindi si potrà

assumere come superficie di riferimento il piano tangente. Le distanze, sufficientemente brevi,

consentiranno l’uso di strumenti di piccola e media precisione, perché gli errori commessi con

questi sono generalmente proporzionali alle distanze stesse o ai quadrati delle medesime.

Al contrario, carte a piccola scala (come le tavole dell’I.G.M. al 25000), dovendo essere meno

ricche di particolari spesso da rappresentare con segni convenzionali, richiederanno un numero

minore di punti. La grande estensione della zona imporrà poi di assumere come superficie di

riferimento la sfera locale o l’ellissoide di rotazione e le notevoli distanze esigeranno strumenti

sofisticati e di grande precisione.

In ogni caso, quando i rilievi di zone limitate devono essere sviluppati nel contesto di zone di media

o di grande estensione, è necessario sistemare idealmente i punti nei vertici di catene (o maglie) di

triangoli o di poligonali aperte o chiuse, e rilevarli con gli strumenti più precisi disponibili e con i

procedimenti di calcolo più rigorosi.

Nell’organizzare un rilievo i punti vanno distinti in due categorie: punti di inquadramento, detti

anche punti trigonometrici, e punti di dettaglio.

I punti di inquadramento sono in genere una piccola percentuale della totalità dei punti rilevati e

costituiscono la struttura portante del rilievo; vengono materializzati con segnali che permangono

nel tempo e rilevati con metodi raffinati di misura e di calcolo; le loro coordinate vengono

93

determinate sempre con una precisione congruente a quella delle misure, e quindi in genere

eccedente la precisione richiesta dalla rappresentazione grafica.

I punti di dettaglio servono a definire le particolarità del terreno o dei manufatti e sono quindi in

numero nettamente superiore ai punti di inquadramento; si rilevano con operazioni di misura e di

calcolo meno raffinate, comunque di precisione sufficiente, ma più rapide; la posizione dei punti di

dettaglio viene determinata con riferimento a due punti trigonometrici e spesso non se ne

individuano le coordinate, in quanto è più agevole riportarli graficamente sulla base delle misure

fatte.

Una rete di punti di inquadramento o rete trigonometrica è, pertanto, un insieme di punti le cui

posizioni vengono rilevate mediante misure di azimut o angoli di direzione, di angoli zenitali e di

distanze in numero superiore al minimo necessario, ed in modo che siano comunque eseguite

misure che colleghino direttamente ciascun punto ai punti più vicini.

Se il numero di vertici trigonometrici da distribuire su un vasto territorio è elevato, conviene

procedere al rilievo e al calcolo dell’intera rete con operazioni successive dopo aver organizzato il

complesso di punti in reti di ordine diverso ognuna delle quali è costituita da un numero ridotto di

vertici per i quali è agevole programmare ed eseguire le misure ed i calcoli.

Esistono quattro ordini di reti trigonometriche, e precisamente:

Rete di 1° ordine: è detta anche rete fondamentale perché costituisce il riferimento più ampio e

 generale; ha i vertici distribuiti su tutto il territorio a distanza notevole l’uno dall’altro ma

comunque tale da consentire un’elevata precisione nei risultati; è costituita da una rete continua

di triangoli sufficientemente equilateri, i cui lati hanno una lunghezza media dai 30 ai 60 km

circa. Gli angoli vengono misurati con teodoliti di prima grandezza facendo 24 reiterazioni per

ciascuno di essi e ottenendo un errore medio di 0,6.

Rete di 2° ordine: è costituita dalla rete continua ottenuta prendendo i punti centrali dei

 triangoli del 1° ordine (che diventano i vertici del 2° ordine) e congiungendoli fra loro e con i tre

vertici dei rispettivi triangoli. Si ottengono così triangoli approssimativamente equilateri o

isosceli, i cui lati hanno una lunghezza media dai 20 ai 30 km circa e i cui vertici sono in parte

di 1° ordine e in parte di 2° ordine. Per basi si prendono i lati del 1° ordine e gli angoli vengono

misurati facendo 12 o 18 reiterazioni, ottenendo un errore medio di 1,2.

Rete di 3° ordine: è realizzata con gli stessi criteri della rete precedente ottenendo triangoli di

 forma irregolare, i cui lati hanno una lunghezza media dai 10 ai 20 km circa e i cui vertici sono

di 1°, 2° e 3° ordine. Per basi si prendono i lati del 1° e 2° ordine e gli angoli vengono misurati

facendo 6 o 9 reiterazioni, ottenendo un errore medio di 2.

è detta anche rete di dettaglio perché è quella alla quale l’I.G.M. ha

Rete di 4° ordine:

 appoggiato il rilevamento topografico per la realizzazione delle carte nelle varie scale. Risulta

94

tutta discontinua perché i suoi vertici non sono mai legati fra loro ma sono collegati, mediante i

metodi di intersezione, con quelli di ordine superiore. I triangoli che ne derivano sono in genere

irregolari con lati della lunghezza media dai 1 ai 10 km circa e le basi assunte si fanno spesso

coincidere con gli stessi lati di ordine superiore; gli angoli vengono misurati facendo 3

reiterazioni, ottenendo un errore medio di 4. 

L’errore medio delle coordinate dei vertici dei primi tre ordini si aggira su 0,50 m mentre per

quelli del 4° ordine sale a oltre 1 m; pertanto, solo nella cartografia a piccola scala si possono

utilizzare i vertici trigonometrici di tutti e quattro gli ordini, mentre per la cartografia a grande scala

si devono escludere i vertici del 4° ordine.

Le operazioni per il rilevamento planimetrico sono essenzialmente costituite da:

a) intersezioni;

b) poligonazioni;

c) triangolazioni. 95

15. INTERSEZIONI

I metodi di intersezione più frequentemente utilizzati sono:

a) intersezione in avanti, semplice o multipla;

b) intersezione laterale, semplice o multipla;

intersezione inversa o all’indietro (o problema di Snellius-Pothenot),

c) semplice o ampliata;

d) doppia intersezione inversa (o problema di Hansen);

e) doppia intersezione in avanti.

In questi sistemi la posizione di un punto è ottenuta mediante le sue coordinate cartesiane rispetto al

sistema di riferimento adottato per i punti di posizione nota; esistono, però, anche procedimenti

grafici.

Per la risoluzione si possono seguire diversi schemi di calcolo, alcuni dei quali si prestano bene

indifferentemente al calcolo logaritmico o al calcolo meccanico con calcolatrici; altri, invece, non

sono risolvibili con i logaritmi e si prestano bene al calcolo effettuato con computer programmabili.

2.1 Intersezione in avanti semplice

Questo procedimento permette di determinare le coordinate planimetriche di un punto inaccessibile

(x

P (fig. 1) in funzione di due punti accessibili e reciprocamente visibili di coordinate note A ; y )

A A

(x

e B ; y ).

B B y P

(AP)

A  (BP)

 B

0 x

Fig. 1: Intersezione in avanti

misuriamo l’angolo

Facendo stazione in A ; analogamente facendo stazione in B misuriamo

  

l’angolo ( e sono detti angoli alla base). 96


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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Riassunti di topografia e cartografia utili per ripassare l’esame del Professor Vittuari. Il documento sintetizza i principali concetti della materia, quali: la rappresentazione dell’ellisoide sul piano, la classificazione delle rappresentazioni cartografiche (rappresentazioni isogone, rappresentazioni equidistanti, equivalenti ed afilattiche), la proiezione stereografica polare, il principio dei minimi quadrati con equazioni di condizione non lineari.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria edile (RAVENNA)
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Topografia e cartografia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Vittuari Luca.

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