Topografia e cartografia

Cartografia

Rappresentazione dell’ellissoide sul piano

1.

Una volta definiti attraverso la Geodesia le superfici cui riferire i punti della superficie fisica

terrestre, è compito della Cartografia stabilire come si possa rappresentare la prescelta

superficie sul piano costituito dal foglio di carta (o di speciale materiale plastico praticamente

indeformabile come si fa per gli originali delle carte). La cartografia si occupa cioè della

 della superficie dell’ellissoide S.

rappresentazione sul piano 

In termini matematici: f: S . . Se si è entro il campo topografico, la superficie di riferimento

è il piano tangente, cosicché non vi è alcuna difficoltà per la sua rappresentazione sul foglio

figure un’estensione tanto

x

piano. Ma e si deve rappresentare senza produrre deformazioni nelle

x

vasta, per cui la superficie di riferimento è la sfera locale o l’ellissoide, la cosa si complica

notevolmente stante l’impossibilità di svolgere su un piano la superficie naturale di riferimento.

La metrica dell’ellissoide, infatti, non è pitagorica come quella del piano o come quella

x

cilindrica o conica.La geometria intrinseca dell’ellissoide, determinata dai coefficienti della

metrica, è diversa da quella del piano, cioè l’ellissoide non è applicabile sul piano, o come suol

dirsi non è sviluppabile. Pertanto ogni possibile rappresentazione sul piano non può essere una

esatta riproduzione in scala del globo terrestre. Questo provocherà delle inevitabili

deformazioni. In un punto della rappresentazione si potranno prendere in considerazione tre

moduli :il modulo di deformazione lineare, il modulo di deformazione areale; in quanto agli

angoli si può considerare la deformazione di un determinato angolo in quanto questa, se è

presente, dipenderà dall’ampiezza dell’angolo stesso. Se con ds i indica un archetto

e

infinitesimo sull’ellissoide e con ds il corrispondente nella rappresentazione(fig.1), si definisce

r

modulo di deformazione lineare il rapporto: ds /ds il cui valore varia sempre da un punto a

r e

punto della rappresentazione, perché nel caso contrario si avrebbe una rappresentazione senza

deformazioni. 1

 l’area racchiusa da un quadrilatero infinitesimo

Analogamente indicando con d e



nell’ellissoide con d quella racchiusa dal corrispondente quadrilatero sulla

r  

rappresentazione(fig.2), si definisce modulo di deformazione areale il rapporto: m /d

A= r e.

Considerato poi un meridiano sull’ellissoide e la linea (trasformata del meridiano) che gli

corrisponde nella rappresentazione(fig.3), un elemento di linea sull’ellissoide forma un angolo

 (azimut) con il meridiano, mentre l’elemento corrispondente nella rappresentazione forma un



’ con la linea trasformata del meridiano; si definisce deformazione angolare la

angolo   

’-

differenza: = . 2

Classificazione delle rappresentazioni cartografiche

2.

La rappresentazione piana dell’ellissoide comporta sempre delle deformazioni, ma si possono

definire delle rappresentazioni in cui è possibile annullare(non contemporaneamente) la

deformazione lineare, la deformazione areale o la deformazione angolare. Vediamo i casi

possibili.

 Rappresentazioni isogone o conformi: il modulo di deformazione lineare, pur

variando da punto a punto, non varia in uno stesso punto al variare della direzione

dell’elemento, pertanto, a meno di infinitesimi di ordine superiore, le figure

infinitesime sul piano risultano simili alle corrispondenti sull’ellissoide, con il

rapporto di similitudine che varia però da punto a punto; ne deriva che l’angolo

formato da due elementi infinitesimi sull’ellissoide, ovvero l’angolo fra le tangenti a

due linee uscenti da un punto, risulta uguale all’angolo formato fra le tangenti alle

trasformate di tali linee sulla rappresentazione. Nelle carte conformi la

è quindi nulla in ogni punto (δ=0).

deformazione angolare

 Rappresentazioni equidistanti: le distanze infinitesime sul piano risultano

proporzionali alle corrispondenti sull’ellissoide,almeno lungo le direzioni principali,

per cui si mantiene costante il rapporto fra le lunghezze di due archetti infinitesimi

è costante ed uguale all’unità il modulo di deformazione lineare

corrispondenti, cioè

(m

A=1).

 Rappresentazioni equivalenti: le aree delle superfici infinitesime sul piano risultano

superfici sull’ellissoide, per cui si

proporzionali a quelle delle corrispondenti

mantiene costante il rapporto fra le aree di due quadrilateri infinitesimi

corrispondenti, cioè è costante ed uguale all’unità il modulo di deformazione areale

(m =1).

a

 Rappresentazioni afilattiche: sono presenti tutti i tipi di deformazione ognuno dei

quali è però mantenuto nei limiti più ristretti possibili. 3

Elementi che definiscono una rappresentazione

3.

La rappresentazione dell’ellissoide sul piano è definita da due funzioni:

, λ) y =y (φ , λ)

x = x(φ

che stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra la posizione di un punto P sull’ellissoide,

data dalle coordinate geografiche φ e λ, e la posizione del corrispondente punto P’ sul piano

della rappresentazione, data dalle coordinate piane x e y.

La soluzione completa dei problemi inerenti una rappresentazione dell’ellissoide sul piano

comporta pertanto:

 La definizione delle formule di corrispondenza e delle formule inverse:

φ = φ(x , y) λ =λ(x , y) (1)

 La definizione dei moduli di deformazione e della deformazione angolare in funzione

delle coordinate geografiche φ e λ o meglio o (meglio per gli usi pratici) in funzione

delle coordinate piane x e y;

 La definizione del reticolato geografico ovvero la determinazione delle linee che sulla

rappresentazione costituiscono le trasformate dei meridiani e dei paralleli e, in

particolare, la definizione dell’angolo γ (convergenza dei meridiani) che la tangente

in un punto forma con la parallela all’asse delle ordinate

alla trasformata del meridiano

y. Vanno inoltre determinati gli angoli ε (riduzione alla corda) che la trasformata della

geodetica nella rappresentazione forma con il tratto rettilineo ( che la approssima)

estremi della geodetica stessa. E’ utile inoltre determinare, per le

congiungente gli

pratiche applicazioni il rapporto l / l’ fra la lunghezza della congiungente rettilinea dei

punti A e B e la lunghezza dell’arco di geodetica. 4

Pur prediligendo le rappresentazioni rispetto alle proiezioni, è significativo esaminare almeno

una carta ottenuta come proiezione nell’ipotesi semplificativa che la superficie di riferimento

sia sferica. Si accorda che le superfici sviluppabili su cui eseguire le proiezioni sono il piano (

proiezioni prospettiche), il cilindro e il cono (proiezioni per sviluppo). Utilizzando il piano, si

hanno, a seconda di dove si dispone il punto di proiezione P le proiezioni centrografiche,

stereografiche, scenografiche ed ortografiche; nelle proiezioni per sviluppo il cono o il cilindro

si dispongono tangenti o secanti l’ellissoide e il punto di proiezione è in genere il centro

dell’ellissoide o un punto all’infinito in direzione normale alla linea di tangenza.

4. Proiezione stereografica polare

stereografica polare i punti dell’ellissoide sono proiettati su un piano tangente

Nella proiezione

ad un polo con il centro di proiezione sull’altro polo; si assume l’asse y della rappresentazione

nella direzione in cui si proietta il meridiano fondamentale. φ e λ ed A’ la sua proiezione

Sia A un punto sulla superficie di riferimento di coordinate (fig. 7)

risulta:

OAP = π/4-φ/2 OA’ = 2Rtg(π/4-φ/2)

E pertanto le equazioni della rappresentazione sono:

x = 2Rtg(π/4-φ/2)senλ y = 2Rtg (π/4-φ/2)cosλ

O y

P p



  x



A c 5

delle due equazioni si elimina la coordinata φ e risulta:

Facendo il rapporto

y = xcotgλ

per cui con λ = cost si ha l’equazione di una retta; i meridiani sono quindi rappresentati da

rette uscenti dall’origine delle coordinate cartografiche (fig. 8).

e sommando membro a membro si elimina la coordinata λ e

Quadrando le due equazioni

risulta: 2 2 2

= [2Rtg(π/4-φ/2)]

x + y

per cui per φ = cost si ha l’equazione di un cerchio; i paralleli sono quindi rappresentati da

nell’origine degli assi (fig. 8) i raggi di queste

circonferenze concentriche con il centro

circonferenze sono evidentemente maggiori dei raggi dei corrispondenti paralleli e in

particolare all’equatore corrisponde una circonferenza di raggio 2R.

Essendo la proiezione conforme, il modulo di deformazione lungo il parallelo è uguale a quello

lungo il meridiano; tale modulo vale 1 ovvero non si ha deformazione, nell’intorno del polo e

arriva a 2, ovvero le dimensioni di un elemento lineare sulla rappresentazione sono il doppio di

elemento sull’ellissoide, sulla circonferenza che rappresenta

quelle del corrispondente

l’equatore. 6

Equazioni differenziali delle rappresentazioni conformi: 2 2 2

Partendo dalle espressioni dell’elemento lineare sull’ellissoide = ρ dφ+r dλ) e del

(ds

2 2 2

carta (ds’ ) ed adotando sull’ellissoide un sistema di

corrispondente elemento sulla = dx + dy

coordinate tale da essere isotermo (rdu =ρdφ; du = ρ/rdφ; u = ∫ ρ/rdφ ):

φ

dx = ∂x/∂udu ∂x/∂λdλ dy = ∂y/∂udu + ∂y/∂λdλ

+

u2 u2

E = X + Y

F = X X + Y Y

λ λ

u u

2 2

G = X + Y

λ λ

2 2 2 2 2 2 2

= (ds’/ds) + 2Fdudλ + Gdλ + dλ

m = Edu / r (du )

tgα = dλ/du.

La direzione di ds cioè il suo azimut è dato da:

Dire che m è indipendente da α significa affermare che è indipendente da dλ/du. Perché questo

si verifichi è necessario che: F = 0

E = G u2 u2 2 2

X X + Y Y = 0 X +Y = X +Y

λ λ λ λ

u u u2 2 2 u2 2 2 2

X / Y = -X / Y X + X / Y X = Y (1+X / Y )

λ λ λ λ λ λ λ

u u

u2 2 2

(X +Y )[1+(X / Y ) ] = 0

λ λ λ

u2 2

X = Y Dunque

λ

X = Y e X =- Y otterremo così le [1]:

u u u u

∂y/∂u = ∂x/∂λ

∂y/∂λ = ∂x/∂u

-

Poiché le rappresentazioni conformi sono definite da un sistema di equazioni alle derivate

parziali; le soluzioni si possono trovare a meno di funzioni arbitrarie, (infinite rappresentazioni

conformi). La particolarizzazione della rappresentazione si ha imponendo le condizioni al

contorno. Si può verificare facilmente che se sono soddisfatte le [1], l’angolo l’angolo tra le

due linee uscenti da un punto è conservato nella rappresentazione. 7

Uso delle funzioni di variabile complessa per definire le rappresentazioni

conformi

Le equazioni [1] coincidono con le equazioni di omogeneità di Cauchy e cioè con le condizioni

necessarie e sufficienti affinché la variabile complessa y + ix si possa definire quale funzione

della variabile complessa u + iλ.

Tutte le rappresentazioni conformi hanno quindi equazioni che possono essere ricavate dalla

relazione:

y + ix = f(u + iλ)

dove la funzione f è arbitraria; tale relazione può essere sviluppata in serie di Taylor con

termini immaginari assumendo come incremento la quantità immaginaria iλ con λ espresso in

radianti; si ha pertanto: ’v

2 3 4 v 5

y + ix = f(u) + f’(u)iλ f’’(u)(iλ) f’’’(u)(iλ) (u)(iλ) (u)(iλ) + …

+1/2! + 1/3! + ¼ ! f + 1/5!f

2 3 4 5

e tenuto conto che i = -1; i = -i; i = 1; i = i;

2 3 v 4 v 5

y + ix = f(u) + f’(u)iλ 1/2f’’(u)λ – 1/6f’’’(u)iλ + 1/24f’ (u)λ (u)iλ

- + 1/120f -…

Uguagliando le parti reali e i coefficienti dell’immaginario si ricava:

2 v 4

– ½ f’’(u)λ + 1/24 f’ …

y = f(u) (u)λ - [2]

3 v 5

x = f’(u)λ – 1/6f”’(u)λ (u)λ …

+ 1/120f -

Dunque, tutti i tipi di rappresentazione possono essere ottenuti particolarizzando la f(u) e

conseguentemente, tramite le derivate di questa funzione, tutti gli altri elementi dei secondi

membri delle [2].

Da notare che particolarizzare la f(u) equivale a stabilire a quale valore deve corrispondere il

o, in altre parole, a

valore della latitudine per ogni punto del meridiano fondamentale (λ=0)

stabilire come si deve trasformare tale meridiano. 8

Rappresentazione conforme di Gauss

5.

Le operazioni di tipo geodetico richiedono l’applicazione di sviluppi in serie troncati le cui

entro determinati campi. E’ possibile altresì spingere

approssimazioni hanno validità accettabile

gli sviluppi in serie fino a termini di qualsiasi ordine o di utilizzare serie rapidamente convergenti

per ottenere le precisioni volute in campi molto più ampi.

è utile affrontare il problema dell’effettuazione di calcoli geodetici

Invece di seguire questa strada

direttamente sul piano. Particolarmente utile allo scopo risulta essere la rappresentazione

conforme di Gauss che permette di risolvere i problemi geodetici con notevoli semplificazioni nelle

formule e maggiore facilità di calcolo. Considerato inoltre che la Carta di Gauss è quella utilizzata

per la cartografia ufficiale Italiana,ne illustriamo le caratteristiche fondamentali .

= 0) sia sviluppato in vera

Nella carta di Gauss si impone che il meridiano origine fondamentale (λ

lunghezza. φ

ou

f(u) = ∫ rdu = ∫ ρdφ

y =

(λ=0) 0

E’ evidente che questa condizione è sufficiente a definire la rappresentazione.

Per il calcolo delle f(u) ovvero delle ℓφ si ricorre ad uno sviluppo in serie di ρ che poi viene

integrato termine a termine ottenendo una funzione del tipo:

f(u) = Aφ Bsen2φ + sen4φ – Dsen6φ +…

- 2

Con A, B, C, D dipendenti dai valori dell’eccentricità e e dal semiasse equatoriale a. Sostituendo

nelle [2] si ottengono le coordinate piane:

φ)

x = f(λ, N, φ)

y = f(λ, N,

Che sono essenzialmente quelle che consentono di costruire la carta, di calcolare cioè le

coordinate piane dei punti cui si conoscono le coordinate geografiche.

x = x(φ, λ) [3]

y = y(φ, λ)

Ponendo alternativamente nelle [3] φ = cost e λ = cost si ottengono le equazioni parametriche dei

paralleli e dei meridiani che sono rappresentati da due famiglie di curve tra loro perpendicolari. 9

Reticolato geografico

6.

Le trasformate di meridiani e paralleli sono delle linee alquanto complesse.

La rappresentazione di Gauss è una rappresentazione conforme e pertanto gli angoli misurati

sulla carta corrispondono perfettamente con gli angoli misurati sull’ellissoide; le lunghezze

misurate sulla carta sono invece deformate rispetto a quelle misurate sulla superficie di

riferimento.

In figura 11 è rappresentato il reticolato geografico, ovvero il complesso di linee che

rappresentano le trasformate di meridiani e paralleli: si noti che la trasformata centrale è un

segmento di retta; inoltre si può facilmente constatare che mentre il meridiano centrale viene

rappresentato senza subire alcuna deformazione, la deformazione cresce rapidamente

allontanandosi dal centro.

Se si vogliono ridurre le fortissime deformazioni occorre limitare il valore della differenza di

longitudine dei punti rispetto al meridiano fondamentale, per cui la rappresentazione viene fatta

per fusi (porzioni di ellissoide compresi tra 2 meridiani) di determinata ampiezza per ognuno dei

quali si assume un diverso meridiano di riferimento; in questo caso, il valore di λ che interviene

nelle formule è la differenza fra la longitudine di un punto e la longitudine del meridiano preso

hanno un’ampiezza di 20°; nelle pratiche applicazioni però i

come riferimento. In figura 12 i fusi

fusi non superano l’ampiezza di 6° , ovvero λ non supera il valore di 3°: assunto cioè

l’antimeridiano di Greenwich come meridiano fondamentale, si costruisce una serie di 60 fusi

aventi ciascuno ampiezza di 6° e si rappresenta in un unico riferimento (x, y) la porzione di

territorio i cui punti abbiano differenze di longitudine rispetto al meridiano centrale inferiori o

4

λ

uguali a 3°. Ciò consente di semplificare notevolmente le formule, in quanto i termini in 10

-5

contenuti in espressioni di grandezze dimensionali risultano dell’ordine di 0,5*10 e possono

essere quindi in genere trascurati. 11

Angolo fra la trasformata di un meridiano e l’asse y

utile trovare l’angolo γ che

Per le applicazioni è in un punto P della rappresentazione, la tangente

alla trasformata del meridiano forma con la parallela all’asse y della rappresentazione (fig. 13),

angolo che risulta uguale a quello che la tangente alla trasformata del parallelo forma con la

all’asse x visto che, essendo la rappresentazione di Gauss conforme, le trasformate del

parallela

meridiano e del parallelo passanti per un punto formano un angolo di π/2. Considerando il

triangolo rettangolo infinitesimo che ha per lati un elemento dp di trasformata del parallelo e per

cateti dx e dy, si ha dopo opportune semplificazioni:

2 2 2

tg&g