Topografia e cartografia

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C I QB K B C I QB K B o o [17] 2Sviluppiamo la [17] tenendo conto che C = C = Q (simmetrica) e che K è una matrice  oo osimmetrica e quindi:- t -1 1(K ) = Ksi ha allora:  ˆ        2 t 1 t 1 t 1 t 1C Q QB K BQ QB K BQ QB K BQB K BQo [18]Poiché per definizione di K:-1 tK BQB = Idalla [18] ricaviamo infine: ˆ      2 t 1 2 t 1C Q QB K BQ C QB K BQo o- -t 1 1Poiché la matrice QB K BQ è definita positiva (essendolo la K ) essa avrà elementi diagonalipositivi o al più nulli; ne deriva che: ˆ     ≤ 2 2 t 1 2C C QB K BQ C c.v.d. ˆ ii ii o iiiii oi ̂4) è stima di minima varianza fra tutte le stime lineari e corrette di .~ Diciamo che è una stima lineare corretta di se:~   D lo ~  B L ~  M [ ] [19]̂ è una stima di questo tipo; per soddisfare

le [19] basta infatti prendere:- -– t 1 t 1D = I QB K B l = QB K L~È possibile dimostrare che per una qualsiasi che soddisfi la [19] si ha: 2 2~ ˆi i̂ perciò risulta la migliore stima possibile, dal punto di vista della dispersione, tra tutte le~ . 58 ̂5) Se è distribuita normalmente allora coincide con la stima di massima verosimiglianza dio .  Infatti se è distribuita normalmente con media e varianza C, si ha:o 1         t 11 C   O O2f ( / ) eo m 1 2 2( 2 ) (det C )  2ovvero, tenendo conto che C = Q:o    1      t 1Q1 O O  2 2f ( / ) e oo m 1 2 2( 2 ) (det C ) [20] Lo stimatore di massima verosimiglianza di è definito come quello che rende massima lam  funzione f( / ) con la condizione aggiuntiva B = L.o m mÈ chiaro allora che il vettore che rende massima la [20] è

Poi conto che K è una matrice quadrata di dimensioni r (cioè tante quante erano le righe di B) si può scrivere:

⇒- -1 1K K = I T K K = T I = r(r) r r (r)

poiché I ha r volte 1 sulla diagonale principale.(r)

Riassumendo, dalla [25] e dalla [24] si ricava: σ 2M[q] = ro questa relazione in particolare può essere letta in questo modo; posto: α α λ α α- - -ˆ ˆt 1( ) Q ( )qσ = =ˆ 2 o oo r r [26] σ ασˆ 2 2 risulta una stima non deviata di qualunque sia la distribuzione di .o oo α α -1= - = Δˆ t Si può anche osservare che partendo dalla relazione è facile mostrare che v QB KoΔ Δ,- t -1 1vQ v = K pertanto al posto della [26] si può anche usare la formula equivalente ma di più semplice calcolo: -1Δ ΔT Kσ̂ =2o r α̂ Notiamo infine che una stima della matrice di covarianza degli si avrà tramite la formula: { }σ -=-ˆ 2 t 1C Q QB K

BQˆ ˆ oOsservazioneTalvolta nella letteratura invece di usare una matrice Q proporzionale a C si preferisce usare la-1matrice P = Q detta matrice dei pesi.Nel caso in cui le osservazioni sono tra loro indipendenti si ha:

 
1 0   
2 q 0  
0 p11 1   
 12 q   
         
p22 2 2 1 22C Q P 2   
o o o o   
   
 2 1 0 q 0 0 mm  p m

Le quantità p , dette pesi delle osservazioni, risultano perciò inversamente proporzionali alleivarianze: 61 21  op i 2q i i  2In questo caso poi la formula [26] per la stima di diventa:

om    ˆ ˆ2 2p v vo i i i oi ii 1 ̂Osserviamo infine che la stima data dalla [13] è scarsamente dipendente dalla matrice Q ovvero da P: infatti è possibile dimostrare che dando una variazione Q a Q (o P a P) si