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C I QB K B C I QB K B o o [17] 2Sviluppiamo la [17] tenendo conto che C = C = Q (simmetrica) e che K è una matrice oo osimmetrica e quindi:- t -1 1(K ) = Ksi ha allora: ˆ 2 t 1 t 1 t 1 t 1C Q QB K BQ QB K BQ QB K BQB K BQo [18]Poiché per definizione di K:-1 tK BQB = Idalla [18] ricaviamo infine: ˆ 2 t 1 2 t 1C Q QB K BQ C QB K BQo o- -t 1 1Poiché la matrice QB K BQ è definita positiva (essendolo la K ) essa avrà elementi diagonalipositivi o al più nulli; ne deriva che: ˆ ≤ 2 2 t 1 2C C QB K BQ C c.v.d. ˆ ii ii o iiiii oi ̂4) è stima di minima varianza fra tutte le stime lineari e corrette di .~ Diciamo che è una stima lineare corretta di se:~ D lo ~ B L ~ M [ ] [19]̂ è una stima di questo tipo; per soddisfare
le [19] basta infatti prendere:- -– t 1 t 1D = I QB K B l = QB K L~È possibile dimostrare che per una qualsiasi che soddisfi la [19] si ha: 2 2~ ˆi î perciò risulta la migliore stima possibile, dal punto di vista della dispersione, tra tutte le~ . 58 ̂5) Se è distribuita normalmente allora coincide con la stima di massima verosimiglianza dio . Infatti se è distribuita normalmente con media e varianza C, si ha:o 1 t 11 C O O2f ( / ) eo m 1 2 2( 2 ) (det C ) 2ovvero, tenendo conto che C = Q:o 1 t 1Q1 O O 2 2f ( / ) e oo m 1 2 2( 2 ) (det C ) [20] Lo stimatore di massima verosimiglianza di è definito come quello che rende massima lam funzione f( / ) con la condizione aggiuntiva B = L.o m mÈ chiaro allora che il vettore che rende massima la [20] è
lo stesso che rende minimom’esponente per cui soddisferà: mααααt -- --1( ) Q ( ) = mino m o mαB = Lm αNe deriva che coincide con la stima dei minimi quadrati: mαα= °m σσ° 2 2Si noti che col metodo di massima verosimiglianza è possibile anche dare una stima di ;oorisulta infatti: 1σ αα λ αα-= - -° °°2 t 1( ) Q ( )o o om [21]Tale stima, tuttavia, come spesso accade usando la massima verosimiglianza, risulta deviata.592σ4. LA STIMA DI OLa stima di massima verosimiglianza [21] (valida solo per distribuzioni normali) ci suggerisce distudiare l'espressione: - =t 1v Q v q α α= - °v o σ 2per vedere se la [21] può essere accettata come stima corretta di .oA tale scopo calcoliamo la media di q; per fare ciò non occorre fare alcuna ipotesi sulladistribuzione di perciò il risultato che otterremo avrà validità del tuttogenerale.oPrima di procedere conviene riscrivere q in una forma diversa.Partiamo dall'osservare che, dati due vettori qualunque con le stesse dimensioni, vale l'identità:tTab = bTa = (Ta)b = (Tb)a
Infatti, ricordando che la traccia di una matrice A è definita come somma degli elementi diagonali:
∑iArii = tTab = bTa = ∑ibrii
Ne segue che q può anche essere scritto come:
-t1q = TQvvr
Si avrà dunque:
-t1M[q] = TQM[vv]
(22)Dalla (13) si ricava poi:
Δt-1v = QBK
Ricordando la (5) si ha anche:
σσt-2M[ΔΔ] = M[(LL)(LL)] = BQB = Koo
Pertanto risulta:
σσt-t-1M[vv] = QBKM[ΔΔ]KBQ = QBKBQ
(23)Sostituendo la (23) nella (22) si ottiene:
σσ-t-2M[q] = TQQBKBQ = TBKBQ
(24)Se ora usiamo la proprietà:
TAB = TB
Si trova:
σσ-t-1M[q] = TKBBQ = TKKr
(25)Tenuto
Poi conto che K è una matrice quadrata di dimensioni r (cioè tante quante erano le righe di B) si può scrivere:
⇒- -1 1K K = I T K K = T I = r(r) r r (r)
poiché I ha r volte 1 sulla diagonale principale.(r)
Riassumendo, dalla [25] e dalla [24] si ricava: σ 2M[q] = ro questa relazione in particolare può essere letta in questo modo; posto: α α λ α α- - -ˆ ˆt 1( ) Q ( )qσ = =ˆ 2 o oo r r [26] σ ασˆ 2 2 risulta una stima non deviata di qualunque sia la distribuzione di .o oo α α -1= - = Δˆ t Si può anche osservare che partendo dalla relazione è facile mostrare che v QB KoΔ Δ,- t -1 1vQ v = K pertanto al posto della [26] si può anche usare la formula equivalente ma di più semplice calcolo: -1Δ ΔT Kσ̂ =2o r α̂ Notiamo infine che una stima della matrice di covarianza degli si avrà tramite la formula: { }σ -=-ˆ 2 t 1C Q QB K
BQˆ ˆ oOsservazioneTalvolta nella letteratura invece di usare una matrice Q proporzionale a C si preferisce usare la-1matrice P = Q detta matrice dei pesi.Nel caso in cui le osservazioni sono tra loro indipendenti si ha:
1 0
2 q 0
0 p11 1
12 q
p22 2 2 1 22C Q P 2
o o o o
2 1 0 q 0 0 mm p m
Le quantità p , dette pesi delle osservazioni, risultano perciò inversamente proporzionali alleivarianze: 61 21 op i 2q i i 2In questo caso poi la formula [26] per la stima di diventa:
om ˆ ˆ2 2p v vo i i i oi ii 1 ̂Osserviamo infine che la stima data dalla [13] è scarsamente dipendente dalla matrice Q ovvero da P: infatti è possibile dimostrare che dando una variazione Q a Q (o P a P) si
ottiene una variazione di che in genere è trascurabile. Questo fatto è assai importante poiché spesso si conoscono i valori di q (o di p) in modo assai approssimativo; ciò nonostante possiamo ritenere la stima ricavata dalla [13] pressoché identica a quella che si potrebbe ottenere conoscendo esattamente q (o p). 625. IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI CON EQUAZIONI DI CONDIZIONE E PARAMETRI AGGIUNTIVI Spesso succede che nello scrivere le equazioni di condizione per il vettore delle quantità osservabili convenga introdurre dei parametri aggiuntivi, che indicheremo col vettore:<pre>
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sono misurati i dislivelli con un terzo punto P (fig. 2).

I dislivelli misurati sono quindi q1 e q2 e perciò il vettore delle osservabili è:
α = 13⁄23
q = q1⁄q2
Il dislivello q2, che è privo di errore, è calcolato direttamente tramite:
q2 = Q2 - Q1q1 = -q2
In un problema di questo tipo si può subito scrivere un’equazione di condizione:
α[q1 - q2] + q1q2 + q2 = 0
Tuttavia in questo caso l’applicazione del principio dei minimi quadrati serve sostanzialmente per stimare la quota Q2 di P per cui invece di scrivere una sola equazione di condizione possiamo scrivere due equazioni di condizione introducendo però l’incognita aggiuntiva Q1.
Si ha così: q1 - q2 = Q1 - Q2q1 = Q2 - Q3q2
Le equazioni sono:
perfettamente equivalenti alla [27], infatti sottraendo membro a membro le due equazioni [28] si ritrova la [27] il che significa che gli che soddisfano le [28] sono tutti e soli quelli che soddisfano la [27]. Più in generale, dunque, supporremo che le quantità osservabili siano legate da r relazioni lineari contenenti n parametri aggiuntivi x secondo il modello funzionale: B = Ax + L. Ciò in particolare significa che se sono le misure di ed la media di esiste un certo x per cui è soddisfatta la relazione: B = Ax + L [29]. Il nostro problema è diventato dunque quello di stimare sia il vettore che il vettore x, a partire dalla conoscenza di un vettore di osservazioni , della matrice Q proporzionale alla matrice di covarianza di , delle equazioni di condizione [29]. Si noti che mentre e x non sono variabili casuali, lo saranno le loro stime.