Topografia

Probabilità

Definizione di Laplace

La probabilità di un particolare risultato è definita dal rapporto:

P(evento) = (numero di casi favorevoli) / (numero di casi possibili)

Definizione di Von Mises

Si basa sulla ripetizione dell'esperimento che fornisce una serie di risultati (eventi). Il numero di volte che si presenta l'evento E_i (m_i) è detto frequenza assoluta dell'evento - esito.

Mentre: f_i = m_i / N è la frequenza relativa. La frequenza relativa si stabilizza all'aumentare di N tendendo i valori visti nella definizione di Laplace. La probabilità viene definita come il valore cui tende la frequenza relativa all'aumentare del numero di ripetizioni

P = lim_N→∞ (m_i / N)

La probabilità di non ottenere alcun risultato è nulla. La probabilità di ottenere uno qualunque dei risultati possibili è uguale a 1. La probabilità di ottenere o l'uno o l'altro di due eventi è non inferiore alla probabilità di ottenerne uno solo dei due.

Definizione di Laplace

La probabilità di un particolare risultato è definita dal rapporto:

P(evento) = numero di casi favorevoli / numero di casi possibili

Definizione di Von Mises

Si basa sulla ripetizione dell'esperimento che fornisce una serie di risultati (eventi). Il numero di volte che si presenta l'evento E_i (m_i) è detto frequenza assoluta dell'evento - esito. Mentre: f_i = m_i / N è la frequenza relativa. La frequenza relativa si stabilizza all'aumentare di N tendendo ai valori visti nella definizione di Laplace.

La probabilità viene definita come il valore cui tende la frequenza relativa all'aumentare del numero di ripetizioni

P = lim_N→∞ m_i / N

La probabilità di non ottenere alcun risultato è nulla. La probabilità di ottenere uno qualunque dei risultati possibili è uguale a 1. La probabilità di ottenere o l'uno o l'altro di due eventi è non inferiore alla probabilità di ottenere uno solo dei due.

Definizione assiomatica

U indica un evento o l'insieme, ∩ indica la realizzazione contemporaneamente di due eventi. E_i generico evento, Ø insieme vuoto, {E₁, E₂, ..., E_n} insieme di tutti i possibili eventi. La probabilità è una funzione per cui valgono le seguenti proprietà:

1. 0 ≤ P(E_i) ≤ 1
2. P(Ø) = 0
3. P(E₁ ∪ E₂ ∪ ... ∪ E_n) = 1
4. P(E_i ∪ E_j) ≥ P(E_i) e P(E_i ∨ E_j) ≥ P(E_i)

Eventi stocasticamente indipendenti

Se il verificarsi dell'uno non influenza la probabilità di verificarsi dell'altro.

Eventi mutuamente escludenti

Se il realizzarsi di uno impedisce il realizzarsi dell'altro.

Variabili aleatorie o variabili casuali

Considerato un fenomeno aleatorio, si dice variabile aleatoria o casuale un insieme di valori aleatori (x₁, x₂, x₃, ...) a ciascuno dei quali è associato un valore di probabilità (P_x1, P_x2, P_x3, ...). La variabile aleatoria è completamente nota quando sono conosciuti tutti i possibili valori aleatori e la probabilità associata.

Proprietà variabile aleatoria

• Discreta se i valori aleatori sono finiti e distinti.
• Continua se i valori aleatori variano con continuità su un intervallo.
• Monodimensionale se il valore aleatorio è una sola grandezza.
• N-dimensionale se è definito da una (sensibile) grandezza.

Il risultato di una misura topografica è una variabile aleatoria: Continua, Mono o Pluridimensionale.

Funzione di distribuzione di X

X = Variabile Aleatoria. Funzione di distribuzione di X in corrispondenza del valore x è la funzione:

F(x) che rappresenta la probabilità che la v.a. X assuma un valore non superiore al valore aleatorio x:

F(x) = P(X ≤ x)

Se la variabile aleatoria è continua si possono considerare infinitamente vicini i punti rappresentativi degli eventi cui corrisponde un valore della probabilità. Dalla definizione segue che:

1. F(-∞) = 0
2. F(+∞) = 1
3. Sia a ≤ b, F(a) ≤ F(b)

F(x) è quindi una funzione monotona crescente con valori compresi tra 0 e 1.

Funzione densità di probabilità

f(x): f(x) dx = P(x ≤ X ≤ x + dx). f(x) dx è quindi la probabilità che si realizzi un valore X compreso tra x e x + dx ed essa descrive puntualmente l’evento.