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PROBABILITÀ

DEFINIZIONE DI LAPLACE

LA PROBABILITÀ DI UN PARTICOLARE RISULTATO È DEFINITA DAL RAPPORTO:

(P(evento)) = NUMERO DI CASI FAVOREVOLI / NUMERO DI CASI POSSIBILI

DEFINIZIONE DI VON MISES

• SI BASA SULLA RIPETIZIONE DELL'ESPERIMENTO CHE FORNISCE UNA SERIE DI RISULTATI (EVENTI)

(

SV

1

2N RIPETIZIONI

)

EVENTI

• E₁ m₂E₂ m. ..

m₁ + m₂ + m₃ = N

IL NUMERO DI VOLTE CHE SI PRESENTA L'EVENTO E₁ ( m_i) È DETTOFREQUENZA ASSOLUTA DELL'EVENTO - E=

MENTRE:

p_i = m_i / N È LA FREQUENZA RELATIVA

• LA FREQUENZA RELATIVA SI STABILIZZA ALL'AUMENTARE DI N TENDENDO A VALORI VISTI NELLA DEFINIZIONE DI LAPLACE
• LA PROBABILITÀ VIENE DEFINITA COME IL VALORE CUI TENDE LA FREQUENZA RELATIVA ALL'AUMENTARE DEL NUMERO DI RIPETIZIONI P = limit ( _{mi /} N_→∞ )
• LA PROBABILITÀ DI NON OTTENERE ALCUN RISULTATO È NULLA
• LA PROBABILITÀ DI OTTENERE UNO QUALUNQUE DEI RISULTATI POSSIBILI È UGUALE A 1
• LA PROBABILITÀ DI OTTENERE CIASCUNO DI DUE EVENTI È NON INFERIORE ALLA PROBABILITÀ DI OTTENERE UNO SOLO DEI DUE

Definizione Assiomatica

U indica un evento o l'insieme∩ indica l'equiprobabilità contemporanea di due eventiE_i generico eventoØ l'assenza di risultati{E₁, E₂, E₃, ..., E_u} insieme di tutti i possibili eventi.

La probabilità è una funzione per cui valgono le seguenti proprietà:

1. 0 ≤ P(E_i) ≤ 1
2. P(Ø)=0
3. P(Ω)=1 [Ω=U ∪ E_i, ...]
4. P(E_i ∪ E_j) = P(E_i) + P(E_j) ≥ P(E_i)

Eventi stocasticamente indipendenti

Se il verificarsi dell’uno non influenza la probabilità di verificarsi dell’altro

Eventi mutuamente esclusivi

Se il realizzarsi di uno impedisce il realizzarsi dell’altro

Si definisce funzione di distribuzione congiunta nella v.a. bidimensionale (X,Y)

nel punto (x,y) la probabilità che si verifichi contemporaneamente

che X ≤ x e Y ≤ y

F_(x,y) = P ( X ≤ x e Y ≤ y )

Ciascuna componente della coppia (X,Y) è una v.a. monodimensionale e quindi descritta da una sua funzione di distribuzione chiamata marginale.

F_X(x) = P ( X ≤ x )F_Y(y) = P ( Y ≤ y )

F_X(x) non è altro che la probabilità che X ≤ x qualunque sia y

F_X(x) = P ( X ≤ x e Y ≤ ∞) calcolabile tramite:F_X(x) = ∫ f_(x,y) dy

Se i valori delle componenti X e Y della v.a. bidimensionale sono indipendenti, la funzione di distribuzione è data dal prodotto delle due marginali:

F_(x,y) = F_X(x) F_Y(y)

Si definisce funzione densità di probabilità congiunta la f_(x,y)

data dalla probabilità che si realizzi un valore compreso negli intervalli

x → x+dx e y → y+dy

f_(x,y) dx dy = P ( x ≤ X ≤ x+dx e y ≤ y+dy )= ∫ ∫ f_(x,y) dx dy

x la probabilità su un intervallo finito: P(a ≤ X ≤ b e c ≤ y ≤ d)= ∫_a^b ∫_c^d f_(X,y) dx dy

Le densità di probabilità marginali sono quelle delle singole componenti

f_X(x) e f_Y(y)

f_X(x) = ∫ f_(x,y) dyf_Y(x) = ∫ f_(x,y) dx

Esercizio Esempio:

La misura di distanza è stata di 102,123 m.E = 0,005 m. Quale intervallo contiene il 90% di avere il risultato?

90% = scrivania 90%

Guard in tabella la colonna Z conseguentemente

Esercizio Esempio:

Distanza misurata 532,260 ± 0,00025 m. Sapendo che la probabilità di ottenere un determinato valore entro ±5 mm dal valore medio è del 68%.

L _EN (μ,σ²)

L_En (532,260, 0,000025)

p(532,23 < X < 532,25)?

Distribuzione normale avente media 0 var. 1

I valori estremi standardizzati sono:

₁

Entro un tag.

Differenza tra probabilità e frequenza

Probabilità: definita a priori, stima in modo quantitativo la possibilità che un certo risultato si verifichi.

Frequenza: definita a posteriori, misura risultati empiri di esperimenti già effettuati.

Campionamento e inferenza

X: variabile aleatoria rappresentativa di una grandezza misurabile.

Popolazione della v.a.: l'insieme di valori che la variabile può assumere.

Campione della v.a.: insieme finito di osservazioni della variabile.

Potenza del campione: numero di elementi estratti che costituiscono il campione.

Con i valori campionari si possono calcolare delle nuove variabili di tipo aleatorio che prendono il nome di statistiche (una x le stime dei parametri ignoti):

Σ_X : ¹/_m ∑^m_i=1S_i

S²_X : 1/(m-1) ∑^m_i=1 (x_i-X)²

S²_y : 1/(m-1) ∑^m_j=1 (x_i-S_X) (y_i-S_y)

Σ_X = S/√m = √(1/(m(m-1)) ∑^m_i=1 (x_i-X)²)

Media campionaria

Varianza campionaria

Covarianza campionaria

Scarto quadratico medio della media

EQUAZIONE DELLE DISTANZE INCLINATE

(es. calcoli in 3D...)

(x_g - x_a)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² = d_uAB V_AB

EQUAZIONE DELLE DIFFERENZE DI COORDINATE

(es. vettori GPS)

• X_A = x_a - Δx_ga - V_GA/B
• Y_A = y_a - Δy_ga - d_yga
• Z_A = z_a - Δz_ga - d_yga

EQUAZIONE DELL'ANGOLO ZENITALE

arcφ (S_AB / H_B - H_A) - Z_AB = V_ZAB

(ψ + ϕ) ₂ = γ cos^-1 (q)_k+1 / (k-1)

(ψ + ϕ) ₁ = γ cos^-1 (q)_k+1 / (k-1)

ψ = 2β - 2_BAC

ϕ = 4ψ arccos ₁^k-1

ϕ + ψ = AQ + N

ψ = N - m

NOTO

ϕ

θ_AP = θ_AC + ϕ

AP = AB / sinα sin(π-α-ϕ)

X_P = X_A + AP sin θ_AP

Y_P = Y_A + AP cos θ_AP

Differenze Triple

2 ricevitori (1, 2) 2 satelliti (j, k) 2 epoche di misura (t₁ e t₂)

Φ^jk₁₂(t₂) - Φ^jk₁₂(t₁) = ρ^jk₁₂(t₂) - ρ^jk₁₂(t₁) + N^jk₁₂

Facendo la differenza:

δ(Φ^jk₁₂(t₂) - Φ^jk₁₂(t₁)) = 1/λ (δρ^jk₁₂(t₂) - δρ^jk₁₂(t₁))

Scorporare il termine legato alle ambiguità di fase,

DI = δΦ^jk₁₂(t₂) - 1/λ δρ^jk₁₂(t₁)