Th dei moltiplicatori di Lagrange

Formula del moltiplicatore di Lagrange (Max e min vincolati)

Data f: A ⊆ ℝ² → ℝ, f ∈ C¹(A), λ aperto e dato F ∈ C¹(A), E = {x, y} ∈ A / F(x, y) = 0 / ∇ F(x, y) ≠ (0, 0)    ∀(x, y) ∈ E

Se (x₀, y₀) è un massimo/minimo vincolato per f su E, allora ∃ λ₀ ∈ ℝ / ∇ F(x₀, y₀) = λ₀ ∇ F(x₀, y₀)

Dimostrazione

Supponiamo che (x₀, y₀) sia un massimo per f su E, allora ∃ δ > 0 / f(x, y) ≤ f(x₀, y₀)    ∀(x, y) ∈ E, ||x-x₀, y-y₀|| ≤ δ

Supponiamo che ∃ ∂f(x₀, y₀) ≠ 0 dato che ∇ f(x, y) ≠ (0, 0) per h. Dunque dai Th. delle Fnc Implicita ∃! h ∈ C¹(K×I₀, (x₀, y₀)) tale che F(x, y) = 0 ⇔ y = h(x).

Consideriamo la restrizione di f su E che h avere considerata ψ(x) = f(x, h(x)), ψ(x₀) = f(x₀, y₀) poiché x₀ = y₀ e col min ψ potrà ψ'(x₀) = 0. per il Th. dei Fermat

Calcoliamo ψ'(x) = ∇ f (restrizione tra f(x, y) e x ↦ (x, h(x))) ⇒ ψ'(x) = < ∇ f(x, h(x)), (1, h'(x))>  ⇒ x = x₀ allora ψ'(x₀) = < ∇ f(x₀, y₀), (1, h'(x₀)) > =   ψ'(x₀) = f_x(x₀, y₀) .1 + f_y(x₀, y₀) . [ -  &frac{F_x(x₀, y₀)}{F_y(x₀, y₀)} ] _λ0 = 0      Th. Fnc Impl.

   ⇒ f_x(x₀, y₀) = λ . F_x(x₀, y₀)    f_y(x₀, y₀) = λ . F_y(x₀, y₀)   ∇ F(x₀, y₀) = λ∇ F(x₀, y₀)

Formula del moltiplicatore di Lagrange

Data f: A⊂R²→R, f ∈ C¹(A), λ appunto esatto, F ∈ C¹(A), E = { (x, y) ∈ A / F(x, y) = 0 } / ∇F(x, y) ≠ (0 0) ∀(x, y) ∈ E

Se (x₀, y₀) ∈ è ci massimo/minimo relativo per f su E, allora ∃ λ₀ ∈ R / ∇F(x₀, y₀) = λ₀∇F(x₀, y₀),

Dimostrazione

Supponiamo che (x₀, y₀) ohi max per f su E, allora ∃ δ>0 / f(x, y) ≤ f(x₀, y₀) ∀(x', y') ∈ E, ||(x-x₀, y-y₀)|| __E

Supponiamo che ∂F(x₀, y₀) ≠ 0 dato che ∇F(x, y) ≠ (0 0),

Dunque dai Th. c'elooo fine implicat ∃! h ∈ C¹((x₀-δ, x₀+δ), (y₀-δ, y₀+δ）) tale che F(x, y) = 0 ↔ y = h(x) h continuo ai x₀, dunque x₀ è ci massimo relativo interno per ψ pertanto ψ'(x₀) = 0 per il Th. dei Peano.

Calcoliamo ψ e ensudo ψ fuas composto tra f(X, y) ex ⟼ (x, h(x))

a) ψ'(x) = ⟨∇f(x, h(x)), (1, h'(x))⟩

x = x₀ diretta ψ'(x₀) = ⟨∇ f(x₀, y₀), (1, h'(x₀))⟩ = 0

ψ'(x₀) = f_X(x₀, y₀) + f_Y(x₀, y₀)/λ₀ = 0

∴ f_X(x₀, y₀) = λ₀. f_X(x₀, y₀) f_Y(x₀, y₀) = Λ.f_Y(x₀, y₀) ∇F(x₀, y₀) = Λ∇F(x₀, y₀)

Esempio

Trovare l'insieme di max/min di f(x, y)=xy con il vincolo x²+y²+xy-1=0.

Copiamo due volte e:
Matrice associata A= ¹/₂
detA= ³/₂ >0
Il luogo dei pi^u ma iussi quindi e chiuso e limitato per Weierstrass ammette min e max abs

Applico lagrange
F(x, y) = x²+y²+xy-1
f_x = λF_x
f_y = λF_y
F=0(x²+y²+xy=1)

Suppogo che λ≠1, e λ≠0 poiche ammette x=y=0 e mai tale il vincolo
y= -^λ/_1-λx(λ-λ)x = q^λ/_1-λ

Suppogo che λ≠0 dalla II equa (1-λ)² = 4λ²
Differenziamo e risolvia λ₁ = 1/3
y= 2/3x => y=±x/2/38x²-1 => y=±^√3/₃, y=±^√3/₃ due pt

λ₂=-1
y= -x
x² = 1 => x=±1, y=∓1 due pt
Le pti ottenuti sono (^√3/₃, ^√3/₃) , (-^√3/₃, -)