Th di Fermat e condizioni di ottimalità

Teorema di Fermat

Se f: A ⊂ ℝⁿ→ ℝ ammette massimo o minimo relativo in x₀ ∈ A e f è differenziabile in x₀, allora ∇f(x₀) = 0, (x₀ / ∇f(x₀) = 0 punto stazionario e critico).

Dimostrazione

Considero la posizione f_i(t) = f(x₀ + te_i) con e_i i-esimo vettore della base canonica di ℝⁿ. Poiché f ammette minimo relativo in x₀ → ∃ δ>0 | f(x₀) ≥ f(x). ∀ ||x-x₀|| ⩽ δ, x ∈ A, f_i(t) ≥ f_i(0) ∀ |t|⩽ δ per il teorema di Fermat in ℝ; f_i'(0) = 0 ⇒ ∂f/∂x_i (x₀) = 0, i=1...n.

Esempi

1. Forma quadratica f: x² + 2λxy + y²; riscriviamo i punti stazionari ai valori di λ. Calcoliamo le derivate parziali:

   1. ∂f/∂x = 2x + 2λy = 0
   2. ∂f/∂y = 2λx + 2y = 0

   Per calcolare i punti stazionari le poniamo uguali a zero per avere punti in cui il gradiente si annulla. Il sistema può essere visto come:

   (λ 1)^t (x) = (0)(1 λ) (y) = (0)

   Ricordando rango Cramer-Capelli col calcolo _det ≠ 0 ⇒ l'unica soluzione è quella nulla ovvero il punto stazionario è (0,0).

   Vediamo ora se è di massimo o minimo.

   f(x,y) ≥ f(0,0)

Teorema di Fermat

Se f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ ammette massimo o minimo relativo in x₀ ∈ A e f è differenziabile in x₀, allora ∇f(x₀) = 0.

Considero la posizione f₁(t) = f(x₀ + teᵢ) con eᵢ i versori della base canonica di ℝⁿ. Poiché f ammette minimo relativo in x₀, ∃ δ>0 | f(x₀) ≤ f(x). ||x-x₀|| f₁(t) ≥ f₁(0) ∀ |t| ≤ δ per il teorema di Funzioni reali f₁'(0)=0 ⇒ ∂f/∂xᵢ(x₀)=0, i=1...n.

Esempi

1. f ≡ quadratica f = x² + 2λxy + y², risolutori i cui razionali ai valori di λ. La matrice associata alle f.q.

   1. ∂f/∂x = 2x + 2λy = 0
   2. ∂f/∂y = 2λx + 2y = 0

   Per calcolare i punti stazionali le pongo uguali a zero ossia punti in cui il gradiente si annulla.

   Il sistema può essere reso come:

   (λ 1) (x) = (0)(1 λ) (y) = (0)

   Ricordando Rouché-Capelli ed il metodo del determinante ≠ 0 ⇒ l’unica soluzione è quella nulla ossia il punto stazionario è (0,0).

   Vediamo ora se è di max o min.

   f(x,y) ≥ f(0,0)

f(a)≠ 0(a,a) è di massimo se f,g d. elemento e traslazione c/(a,a) q.c. anche all'orizzonte di (A,) am. t.a. det⁡ ((A,) ) + =f' (A)≠ 0 det⁡( ) > 0 ↔ ≡(a,a) tr det quantico se (a,a) massimo det⁡(x,o) o n.a→ (o,o).

Condizione di unicità del secondo ordine

Per i punti di max o min. Se un punto è unico, si utilizza il teorema di Taylor.

Definizione: Se f, f=, f==,..., f^m sono continui in A, è possibile determinare il punto vincolato in x₀.

H_f (x₀) = [Fi(x)]α [ Fi(x)] αHp(x₀)= (Fxx )α (Fxy )∞(Fx) m(Fxy )α (Fxx )∞(Fxy ) α(Fxy )α (Fxy )∞(Fx) α➔

È una matrice simmetrica (Fxx)0 αx(Fxy)H di Schweizer. Se (Fij)x₀ è continua su un intorno di x₀ ea ∀ il j=1,...,n, i xi andare Frij(x₀) (x₀)' Fxijln (x₀) o Hp è una matrice dopo nuovo limoirg zx'C' (a).

Esempio

Calcoliamo Hp (x;y) esaminando:

-Fxx (y).= xe=e' fx (x,y) = e e fy (x,y) = xe(e)(fxx (x,y) = e e (Fxy (x,y) = x(e')(Fx (x,y) = xe' (fxy (x,y) = xe'➔ Hp(.)(x,y) = (0 xe ')x e'(0 x).

Derivata delle composizioni

Se f: A ⊆ Rⁿ → R è differenziabile in A e ψ: I ⊆ R → A ⊆ Rⁿ con φ(t) = (φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t)) e t: arco derivabile ∀ t ∈ I, ∃ un intervallo I.

Considero F = f ° φ: I → R e F(t) = f(φ(t)). F è derivabile e F'(t) = < ∇ f(φ(t)), φ'(t) > con φ'(t) = (φ₁'(t), …, φ_n'(t)) ∀ t ∈ I.

Lettera di Taylor

Es: f(x,y)= x^y ⇒ ∇ f(x,y) = (y, x) ⇒ ∇ F(φ(t)) = (φ₂(t), φ₁(t)) φ(t) = (t, ²) = φ₁(t) = ² φ₂(t) = ω t F(t) = (t^t, ²).