Th di Fermat e condizioni di ottimalità

Th. di Fermat

(e detto anche condizione necessaria di ottimalità del 1 ordine) Se f: A ⊂ Rⁿ → R ammette massimo o minimo relativo in x₀ ∈ A e f è differenziabile in x₀ ∇f(x₀) = 0

_x0/ ∇f(x₀) = 0

Dim.

Considero la perturbazione f_i(t) = f(x₀+te_i) con e_i i-esimo vettore della base canonica di Rⁿ.

Poiché f ammette minimo relativo in x₀ ⇒ ∃ δ>0, f(x) ≥ f(x₀) ∀ ||x−x₀|| < δ, x ∈ A.

f_i(t) ≥ f_i(0) ∀ |t|_| ≤ δ per il th. dei punti f=uri

f_i(0) = 0 ⇒ ∂f ∂x_i(x₀) = 0, i=1...n

Esempi

1. f(x,y) = x²+2λxy+y², poniamo f e n-esima al variare di λ. La matrice associata awe f = 9.

   Calcoliamo le derivate parziali:

   • ∂f = 2x+2λy = 0 ∂x
   • ∂f = 2λx+2y = 0 ∂y

   per calcolare i pt stazionali le poniamo uguali a zero avreso pt in cui i sistema si annulla.

   Il sistema puoi essere scritto come:

   • (-λ λ) (x ) = (0 ) ( λ -λ) (y ) = (0 )

   Ricordiamo Randi-Capelli el simulo det ≠ 0 ⇒ L'unica soluzione e quella nulla avreso e pt. stazionario e'(0,0)

   Vedi amo coa se c'è di max e min f.

   f(x,y) ≠ f(0,0)

Proprietà di (0, 0) come punto di massimo

Condizioni di collegamento dei II ordini

Per contare lo stato di una matrice, si usa come

il seguente esempio :

Def: Se f₁, f₂, ..., f_m possono derivarsi in S e esistono

almeno [riportare qui, il resto della definizione manca]

• H_f(x₀) =
(f_1x(x₀) f_2x(x₀) ... f_mx(x₀)) (f_1y(x₀) f_2y(x₀) ... f_my(x₀))

E una matrice non vuota.

E una matrice simmetrica. (f_ij)_x0 = (f_ij)_y0

Pro di Schwarz :

Se (f_ij)_x0 si continua un

intorno di x₀ ed (f_ij)₀₁₂ allora

(f_ij)_x0 = (f_ji)_x0

H_f : C matrice in x₀ nel caso di f(x, y), ε R²

Calcolare H_f(x, y) usando f(, ψ) = x_ψ allora

f_x(x, y) = e f_x(x, y) = k_ψ (f_xx(x, y) = 0

f_yy(x, y) = x^e

H_f(x, y) = ( 0 x_ψ ) ( x_ψ x^e )

v

NB^*: L'operazione può entrare in C anche se questo misura zero.

Consideriamo un fu : E _R <H^*u(x₀, V)

Se per H_F - consegue negativo -> E limite F

C = { V | V/V - t = H unico} -> x₀ sse un massimo.

Verificate che q_F ha massimo assoluto in C,

Il massimo di q_F in C è negativo max_C { F(Q) } < 0 per V ⊂ C.

P_F < 0

Determiniamo C ⊂ alla retta.

f(x) = f(x₀) + || x-x₀||²

= 2 f_{H_.}

Dunque F(C. off o-piccolo =/= S o/o x(c) a, ||x-x₀||² - x₁[ A x³ xo x₁]/.. ] = 0 per x = x₀

E definita off ci tutte

Se || x-x₀|| &loc; hy A, x € A^{(x a)} inoltre dif.

- f(x) = f(x₀) + || x-x₀||² [ q_F ( V ) < o || x-x₀||² ] [ f(x₀) + || x-x₀||² [ M_F - M_F / 2] ]

- f(x₀) + || x-x₀||² M_F / 2 per F_F < 0

=> f(x₀) + || x-x₀||² M_F / 2 [<- f(x) > f(x) < f(x₀)

per c ha Max relativo dato ^[?]

f ha min relativo <- f aumenta max e c possimo Data c.

F(x₀,y)=0

f(_z/2,_z/2)=1/2

Teo della funzione inversa in R²

Sia f ∈C¹(A), A aperto, e sia (x₀,y₀) un pto di A in cui

F(x₀,y₀)=0

∂f/∂y(x₀,y₀)≠0

∼∃E,δ>0, ∃ unica fije h (x₀−δ,x₀+δ) × (y₀−E,y₀+E)

F(x, y) = 0