Termofluidodinamica (fluidodinamica turbolenta)

16/11/2020

FLUIDODINAMICA TURBOLENTA

Fluidodinamica turbolenta: modelizzazione della turbolenza

• Modelli che rendono praticabile simulare turbolenza

CASCATA DELL’ENERGIA IN FLUSSI TURBOLENTI

Cos’è un flusso turbolento?

Si parla di simulazione della turbolenza "associata ai" seguenti fenomeni:

1. Disordine/caos
2. Miscelazione particolarm. efficace (es. ciminiere de scarico fumi in atmosfera → fumi si disperdono rapidamente diventano indistinguibili)
3. Vorticità → flusso 3D
4. Molteplicità di scale spaziali e temporali
5. Processo di cascata energia da vortici "grandi" e vortici "piccoli"
6. N° di Reynolds elevato (meno editivi)

In generale, vortici "grandi" hanno dimensione paragonabile a dimensioni caratter. delle strutt. geometriche che li generano

→ es. cascate: dato un salto di altezza L, a valle si generano vortici di dimensione ~L

Grandi vortici sono instabili e tendono a frammentarsi in vortici sempre + piccoli → si ha trasferim. di moto da grandi a piccoli vortici

Separare tra le scale di moto è tanto + semplice quanto + Re è elevato ("separate." = di riferimento di lung.)

Re = _{forze d’inerzia}/^{forze viscose} > 0 (term. convettivo) / O(term. diffusivo)

Termini che compaiono da bilancio quant. di moto interno dimens. di una forza → in sostanza, bilancio q.m. e altra forma di F = ma

• Termine convettivo = ∫_V ρU·grad(U)dV

• Termine diffusivo = ∫_V ∇·Ξ = ∫_V div(2μŜ)dV

Ξ = tensore degli sforzi; Ŝ = tensore vel di deformazione = ^{grad (U) + grad(U)}/₂

controllo dimensionale:

[∫ρUgrad UdV] = kg/m³m/s 1/s m³ = kg m/s² = N

[∫∇·(μŜ)dV] = 1/m kg/m·s 1/s m³ = kg m/s² = N

→ Re = ^{O ( ρUgrad(U) )}/_{O(div (2μŜ))} = ^{ρ·O (U)·O ( grad(U) )}/_{μ·O (∇)}·O (Ŝ)

Ū = ^U/_Uc = O(1) → O(U) = O(U_c Ū) = U_c

X̃ = ^X/_Lc = O(1) → O(X) = O(L_c X̃) = L_c

U_c e L_c sono scelte in modo da ottenere O(1)[ ]

O(grad(U)) = O (^Ū/_X̃) = O(^U_c/_Lc) = ^U_c/_Lc

O(div) = O(¹/_X) = O(¹/_{Lc X̃}) = ¹/_Lc

⇒ Re = ^{ρU_c U_c/L_c}/_{μ 1/Lc} = ^{ρU_c L_c}/_μ

Proviamo a definire le varie scale:

• Energetiche: perché grandi scale possiedono la maggior parte dell'energia cinetica
• Inerziali: perché Re(l_I) è sufficientemente grande da rendere trascurabili gli effetti viscosi rispetto agli effetti inerziali
• Dissipative: perché Re(l_D) è abbastanza piccolo da rendere prevalenti gli effetti viscosi rispetto a quelli inerziali

l_EI = demarcazione tra scale energetiche e inerziali

l_ID = demarcazione tra scale inerziali e dissipative

Trasf. energia dalle grandi scale ≈ ^U(l_EI)3⁄_lEI

Trasf. energia verso le piccole scale ≈ ^U(l_ID)3⁄_lID

In pratica sto assumendo che energia trasferita non venga dissipata finché non si arriva alle piccole scale

⇒ ^U(l_EI)3⁄_lEI ≈ ^U(l_I)3⁄_lI ≈ ^U(l_ID)3⁄_lID

Pertiche (^U3(l_E)⁄_lE) ≈ cost.

l_EI >> l_I >> l_ID

⇒ U_EI³ >> U_I³ >> U_ID³

⇒ U_EI² >> U_I² >> U_ID² (energia cinetica diminuisce con le scale, grandi scale possiedono il grosso dell'en. cinetica)

L/n = lunghezza d'onda

supponendo di dividere l'intervallo [0,L] in n sotto-intervalli:

x ∈ [_L/_n(i-1), _L/_n i]

i = 1, 2, ..., n

si ha che _Kn ∈ [2π(i-1), 2πi], ovvero _Kn compie un giro di

circunferenza

se l'n si divide l'intervallo in n^o numero di sotto-intervalli e

quindi _Kn compie + giri di circunferenza

Applicato alle strutture turbolente:

l = _L/_n = dimensione

crocetti del vertice

In pratica, l'intervallo [0,L] rappresenta la griglia di calcolo x

simulare turbulenza e l/n l'ampiezza dei sotto-intervalli:

più l/n è piccolo (più n è grande), più sono capace di rappresent.

strutt. turbulente + piccole freq. spaziali + elevate

(Num di onde K_n= _2πn/_L = grandi permutazioni di rappresentazione

vortic + ⁱ piccol)

Rappresent: U(X,t) = Espansione in serie di Fourier:

U(X,t) = ^+∞∑₊Û_n(t) e^-i_KnXn=-∞, con:

Û_n(t) ∈ ⊂ = ampiezza e fase dell'onda

e^i_KnX ∈ ⊂ = funzione nota una volta _Kn (funz trigonometrica)

Soluz di questo tipo respeito la condiz di periodicità:

e^i_Kn(x+aL) = cos(_2πn/_L x 2πan) + i sen(_2πn/_L x 2πan)

=

cos(_2πn/_L) + i sen(_2πn/_L x)

e^i_KnX

formula di Eulero

_Knx = _2πn/_L x

Eq. BURGERS

u/t + u u/x = ²u/x²

_Kn { ... } = { ... }

Theorem Lemmi (derivazione sotto segno di integrale)

/t = ²/x² - Kn² _n

(scritto così per brevità)

Considero l'equaz. u/t = ²u/x²

Termine non-lineare nu²t/xDisegno lo scambio termico e movimento della temperatura

Eq. diff. ordinaria risolubile analiticamente

Lorem ipsum derivazione sotto segno ...

A ^−Kn2t

➔ ottengo la sol. al tempo t₁:

Ui(t₁) = Ui(t₀) - i Δt K_n Ui(t₀)

U2(t₁) = 1/2 i Δt K₂ Un(t₀) Un(t₀) ≠ 0

U3(t₁) = 0

(numero d’onde maggiori)

Da qui si vede che il termine non lineare trasferisce il modo verso le strutture + piccole al tempo t₁ si origina al termine U2(t₁) che è associato a K₂ > K₁

passo al tempo t₂:

d/dt U3(t₁) - U3(t₀) / Δt = - i K₃ U1(t₁) U2(t₁)

➔ U3(t₂) - i Δt K₃ U1(t₁) U2(t₁) ≠ 0

(al tempo t₂ il transf. del moto prosegue verso struttu

caratterizzata da K₃ > K₂ > K₁)

NOTA ➔ Azione del termine viscoso non cambia risp. al caso

di sola diffusione (anche con eq. burger completa si

ha maggior diffusione x num. d’onda maggiore )

Da qui si capisce perchè la dissipaz. riguarda solo i

vertici + piccoli (e è grazie al termine non lineare che

la quant. di moto arriva ai vertici + piccoli, dove viene

dissipato dal termine di diffusivo)

STUDIO DELLA CASCATA DI ENERGIA EQ. BURGERS 1D

∂u/∂t + u ∂u/∂x = ν ∂²u/∂x²

moltiplico per u e ottengo eq. energia cinetica:

1/2 ∂u²/∂t + u ∂u²/∂x = ν ∂²u²/∂x²

∂u/∂t u ∂u/∂x