Primo principio della termodinamica
Consideriamo due gas separati da una parete diatermica e posti in un contenitore adiabatico.
Supponiamo che le temperature iniziali dei gas siano TA e TB, e dopo un certo tempo si portino alla temperatura di equilibrio T.
Sappiamo come determinare questa temperatura: l'energia persa dal gas più caldo (Q1 negativa) è uguale in modulo all'energia guadagnata dal gas più freddo (Q2 positiva).
Questa è la legge di conservazione dell'energia:
|Q1| = |Q2| Q1 + Q2 = 0
Una volta assorbita quest'energia il sistema presenta solo la temperatura T.
Possiamo quindi scrivere un'equazione generale che esprima la conservazione dell'energia di ambedue i gas in assenza di lavoro esterno, ossia:
ΔEint. = Q
Adesso supponiamo che il sistema, che ora compuande anche il peso, sia isolato dall'ambiente circostante in modo da non permettere scambi di calore.
Supponiamo inoltre di aumentare il peso sul pistone, in modo di abbassarlo di una certa quantità.
La forza di gravità compie sul sistema un lavoro positivo in questo processo T cresce, il sistema pertanto manifestata una variazione positiva dell'energia interna.
Primo principio della termodinamica
Consideriamo due gas separati da una parete diatermica e posti in un contenitore adiabatico.
Supponiamo che le temperature iniziali dei gas siano T1 e T2, e dopo un certo tempo si portino alla temperatura di equilibrio T.
Sappiamo come determinare questa temperatura:
L'energia persa dal gas più caldo (Q1 negativa) è uguale in modulo all'energia guadagnata dal gas più freddo (Q2 positiva).
Questa è la legge di conservazione dell'energia:
|Q1| = |Q2| ⟷ Q1 + Q2 = 0
Una volta assorbita quest'energia il sistema presenta solo la temperatura T.
Possiamo quindi scrivere un'equazione generale che esprima la conservazione dell'energia di ambedue i gas in assenza di lavoro esterno, ossia:
ΔEint. = Q
Adesso supponiamo che il sistema, che ora compiande anche il peso, sia isolato dall'ambiente circostante in modo da non permettere scambi di calore.
Supponiamo inoltre di aumentare il peso sul pistone, in modo di abbassarlo di una certa quantità.
La forza di gravità compie sul sistema un lavoro positivo in questo processo T cresce, il sistema pertanto manifesta una variazione positiva dell'energia interna.
Poiché non c'è scambio di calore, l'energia interna del gas
aumenta a causa del lavoro, cioè:
Si porti il sistema da uno stato i ad uno stato f.
Sappiamo che L e Q dipendono dal percorso, ma la
quantità Q+L dipende solo dallo stato iniziale e finale
del gas.
Questa funzione è chiamata energia interna del sistema.
La variazione dell'energia interna fra gli stati di equilibrio
è:
Possiamo quindi enunciare il primo principio:
In ogni trasformazione termodinamica fra gli stati di
equilibrio i ed f, la quantità Q+L mantiene lo stesso
valore per ogni percorso tra i ed f. Questa quantità è
uguale alla variazione di una funzione di stato chiamata
energia interna.
Quindi:
Adiabaticità di un gas perfetto
Nelle trasformazioni adiabatiche il sistema è isolato termicamente per cui Q=0. In tal caso il primo principio della termodinamica si scrive:
ΔEint = L
Per un gas ideale si può scrivere:
ΔEint = -uCvdT
Quindi:
p dV = - dL = - dEint = -uCvdT
L’equazione di stato del gas in forma differenziale è:
d(pV) = d(uRiT)
p dV + V dp = u R dT
Ma p dV è proprio -dL che è uguale a -dEint. Quindi:
-uCvdT + V dp = u R dT → V dp = uCvdT + u R dT
V dp = u dT ( Cv + R ) → V dp = u CpdT
Ora facendo il rapporto fra, otteniamo:
V dp / p dV = u CpdT / -uCvdT = -Cp / Cv = -γ
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