Termodinamica - Cilindro con QV

Scambio termico in un cilindro con sviluppo volumetrico di calore

Consideriamo un cilindro di raggio R e altezza H che presenta al suo interno uno sviluppo volumetrico di calore q uniformemente distribuito. Questo cilindro ha una temperatura superficiale T e si trova immerso in un fluido a temperatura Ta con Ta < T. A causa di questa differenza di temperatura, il sistema tenterà di raggiungere l’equilibrio attraverso uno scambio termico tra il cilindro e il fluido.

Modalità di scambio termico

All’interno del cilindro, lo scambio termico sarà conduttivo, mentre esternamente avverrà per adduzione. Per introdurre il coefficiente di adduzione h, dobbiamo imporre delle ipotesi semplificative:

• Il fluido considerato deve essere aria (completamente trasparente alla radiazione).
• Il cilindro deve avere comportamento assimilabile a quello di un corpo grigio.
• L’ambiente esterno deve essere molto esteso rispetto al cilindro, così da poter assumere il comportamento del corpo nero.
• La temperatura media radiale deve poter essere sostituita dalla temperatura del fluido con buona approssimazione.

Regime stazionario

Facciamo sì che il regime sia stazionario (rendendo costante lo sviluppo interno di calore ed estraendo al fluido tutto il calore che esso acquista): possiamo prescindere dal tempo e ragionare in termini di flusso termico. Scriviamo la legge di scambio termico per conduzione:

q = -kSgrad T (grad T è vettore)

Supponiamo che il cilindro sia formato da materiale omogeneo e isotropo. A causa di tale assetto e della geometria simmetrica del cilindro, il campo termico non può che essere monodimensionale in direzione radiale: T = T(r) da cui grad T = dT/dr.

Per una generica isoterma (raggio r), abbiamo:

q = -k2πrH(dT/dr)

Affinché il regime resti costante, tutto il calore sviluppato all’interno dell’isoterma (q = qV = v2qπrH) deve uscire da essa:

v2qπrH = -k2πrH(dT/dr)

Da cui:

v dT/dr = -(q/2k)r

E quindi:

T = -(q/4k) r + A

La temperatura all’interno del cilindro, quindi, non può che avere un andamento parabolico discendente. La temperatura superficiale Tm non può che essere minore di quella al centro del cilindro e maggiore di quella del fluido, in modo da favorire lo scambio termico.

Calcolo della costante A

Per ricavare la costante A, posso considerare la temperatura del mantello. Devo necessariamente imporre che tutto il calore prodotto internamente al cilindro raggiunga il mantello conduttivamente; la stessa quantità di calore deve essere scambiata con l’esterno in maniera adduttiva:

q = q_cond = q_add

Da cui:

2q = qV = qπRH

E:

q_add = hS(Tm – Ta) = h2πRH(Tm – Ta)

Uguagliando, otteniamo:

2qπRH = h2πRH(Tm – Ta)