Termodinamica

Equazione di Fourier

bilancio termico di un elemento infinitesimo di volume

Per studiare le equazioni di Fourier, prendiamo un cubetto costituito da una variazione lungo xyz del calore, supponendo quindi che il calore si propaga lungo le tre direzioni cioè lungo x, y, z e poi cerchiamo di accoppiare queste tre componenti in modo tale che otteniamo un'equazione in xyz che contempli tutte le direzioni in cui si può propagare il calore. 12

Questo volumetto è differenziale perché il suo volume dV = dxdydz.

Le superfici sono isoterme perché il flusso è sempre perpendicolare alla superficie, quindi le superfici che delimitano il cubetto sono sempre superfici isoterme.

Dobbiamo fare una sorta di bilancio energetico (quello che entra meno quello che esce è uguale a quello che attraversa il cubetto) per il calore che vale per le tre direzioni x, y, z ovvero:

La quantità di calore globalmente acquisita dall'elemento di volume dV per effetto della trasmissione

Ciascuno dei termini che compongono il secondo membro della relazione precedente può essere espresso per mezzo del postulato di Fourier, prendendo ogni volta una linea di flusso diversa (prima x, poi y ed infine z):

Ci sono due motivi per cui si può spiegare il meno davanti l'equazione: innanzitutto è un flusso che esce da una superficie e sappiamo che il flusso uscente è un flusso negativo mentre l'altra spiegazione di tipo matematico è perché siccome poi, quando noi dovremmo andare a fare dopo la soluzione del problema, dovremmo integrare questo differenziale, ovvero dovremmo prendere il valore finale meno il valore iniziale della temperatura, ma se noi stiamo considerando un flusso uscente vuol dire che il flusso va verso temperature sempre più basse e quindi vuol dire che il numero finale di temperatura sarà sicuramente un valore minore rispetto al valore iniziale proprio.

perché adesso si propaga da temperature piùalte verso temperature più basse quindi l'integrale verrebbe negativo ma con il meno davantiritorna tutto positivo. 13

A questo punto, unendo le tre componenti xyz, possiamo scrivere un primo approcciodell’equazione di Fourier ovvero:

L'altra considerazione è cercare di capire dq come può essere definito. Sappiamo chexyzl'equazione della calorimetria è un'equazione che ci dice che:

= mcΔTQ

Allora, nel nostro caso, sappiamo che:

γ = c (calore specifico) m = ρ(densità) dV ∂T/∂τ ) dτΔT

= (

Perciò, l’equazione della calorimetria nel nostro caso diventa:

A questo punto possiamo eguagliare questa equazione alla equazione del calore lungo xyzper ottenere l’equazione di Fourier che sarà:

Questa equazione può essere applicata ai corpi solidi per la valutazione degli scambi termiciper conduzione.

Oltre che essere varia, ci sta dicendo che la temperatura varia nel tempo, cioè la variazione di temperatura all'interno di un corpo solido è una variazione che dipende dalle coordinate, quindi dallo spazio perché è funzione di x, y e z, ma è funzione anche del tempo. Questo è molto importante perché significa che al passaggio di calore il nostro corpo reagirà con una temperatura che cambierà fino a che il corpo si porti, per effetto di questo passaggio di calore, in una nuova condizione di equilibrio. A quel punto, nel momento in cui abbiamo il nuovo equilibrio, torneremo in regime stazionario, cioè con variazione della temperatura indipendente dal tempo.

Un'altra cosa importante è che la temperatura dipende spazialmente, perché varia per x, y e z, ma l'equazione di Fourier ci dice anche che la temperatura è fortemente dipendente da questi parametri termofisici del nostro solido, ovvero:

λ coefficiente che troviamo nel postulato di Fourier, ρ densità del materiale e γ calore specifico del materiale. 14W/mKMa che cosa è λ [ ]? É il coefficiente di conduzione termica perché nel postulato abbiamo visto che il flusso di calore è proporzionale alla variazione di temperatura e ad altri parametri mediante questo coefficiente di conduzione. Perciò è un numero dipendente dalla natura del materiale, sostanzialmente è come se si facesse capire quant'è la capacità di trasmettere calore all'interno del corpo, infatti più λ è alto più vuol dire che questo materiale, di cui stiamo studiando la conduzione, favorisce il passaggio di calore e viceversa perciò questo coefficiente è tipico di ogni materiale. Quindi, l'equazione di Fourier ci permette di valutare il campo termico in regime transitorio prima e successivamente stazionario. Equazione

Si vede che la variazione di temperatura nel tempo è uguale a zero ovvero ∂T/∂τ=0.

Cosa ci dice questa equazione? Ci dice che in regime stazionario la variazione di temperatura, e quindi il campo termico, è indipendente dal materiale che si considera nell'valutazione della conduzione, cioè la temperatura non dipende dal materiale ma dipende solo ed esclusivamente di valori iniziali e finali della temperatura a cui questo materiale si è portato.

Quindi, in sostanza, il passaggio da regime transitorio a regime stazionario è segnato dal raggiungimento dell'equilibrio termico? Certo, sostanzialmente vuol dire che esisterà una fase iniziale in cui il corpo, sollecitato da questo flusso di calore, comincia a cambiare temperatura al suo interno. Quindi questo flusso di calore passa, genera queste sollecitazioni e quindi genera questo campo di temperature che varia in funzione di λ (coefficiente di conducibilità termica).

T/Z e quindi vuol dire conoscere il fenomeno perché se noi sappiamo che il flusso di calore è un flusso che si propaga lungo x per esempio, ne siamo certi di questo, è chiaro che la derivata seconda di T/Y e di T/Z sono zero perché non c'è variazione e quindi possiamo semplificare. A questo punto diventa una reazione semplicissima e questo è poi l'obiettivo soprattutto di chi studia la trasmissione del calore e in particolare la conduzione attraverso i metodi teorici. Se non è possibile quindi, dalla comprensione del fenomeno, semplificare l'equazione vuol dire che noi dovremmo andare ad affrontarla in regime stazionario, in modo tale da eliminare la variazione temperatura rispetto al tempo e quindi arrivare ad eliminare una variabile. Una volta studiato lo stazionario, si cerca di capire se è possibile eliminare qualche termine inutile perché magari il flusso non è proprio lungo x e quindi rifare le approssimazioni successive.

Questo è un po' l'approccio se si vuole studiare il fenomeno attraverso la teoria del metodo teorico.

Andamento della temperatura in regime stazionario su una parete piana

Allora vediamo, in sezione, la parete di un edificio che delimita l'ambiente esterno dall'ambiente interno quindi la parete perimetrale esterno dell'edificio dove è importante andare a fare valutazione di flusso e quindi di conduzione.

Lo spessore (s) della parete è molto piccolo rispetto all'altezza e la parete è infinitamente lunga. Possiamo dire che il calore si propaga lungo x e quindi vuol dire che le variazioni di temperatura lungo y e lungo z sono pari a zero visto che l'unica variazione si ha lungo x.

Se noi consideriamo il regime stazionario, possiamo semplificare e levare la variabile nel tempo cosicché, l'equazione di Fourier per una parete piana è:

Perciò il calore, in una parete piana, si propaga solo ed esclusivamente in

rettae nella valutazione del campo termico