Teoria Meccanica Razionale

Spazi Vettoriali, Spazio e Tempo (Cap. 2)

Vettore = è un elemento di uno spazio vettoriale.

Spazio Vettoriale = un insieme in cui agiscono operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare.

2 Vettori si dicono linearmente indipendenti se l'eq. c₁V₁ + c_nV_n = 0 ha come unica soluzione a_i=0, a_n=0

Prodotto scalare _{µ ∙ V - λ ∙ V0}

Spazio Affine = è uno spazio vettoriale a cui manca l'origine

Spazio = è uno spazio affine nodulato su uno spazio vettoriale orientato di dimensione n_e in cui è definito un prodotto scalare.

Tempo = è uno spazio affine nodulato su uno spazio vettoriale orientato di dimensione 1_e in cui è definito un prodotto scalare.

Prodotto vettoriale V ∧ W = ∣V∣∣W∣sinθ

Vettore velocità = esattuto il rapporto incrementale dato il vettore P(t+∆t)_n

è la dira derivati di P rispetto al parametro t lei limit

t→0, del rapporto incrementale, quando existe e si scrive

lim

dP(t)

i

t→0 _n

h P(t+∆t)-P(t)

h_{n n}

d_n

Teoria dei Momenti (Cap. 3)

Momento del vettore applicato = Sia O un punto dello spazio e sia (P,v) un vettore applicato, si dice momento del vettore applicato (P,v) rispetto al punto O il vettore libero M(O) = (P-O) ∧ v

→Il momento non varia se si sposta lungo la propia retta d'azione o se una retta parallela a v

Momento Resultante = è die momento riesultante di sistema di vettori applicati S' il vettore somma M(o) = ∑_i=1ⁿ (P_i - o) ∧ v_i

Formula di Trasposiare dei momento = ∑¹ (P_l-0) ∧ v_i + ( o' - o ) ∧ R

Asn centrale M(o') = Mp+M(o) + ( o' - 0 )¹ AR

ei la retta pumata per A parallela ad R la cuia eqnonem ha le segvanti forma vettoriale (P-A) = λR

e i lusgo dei punti dello spazio respektu at queli il nuovo riesultante è parallelo ai vettore riesultante R questo a dedice

alle sola parte parallela e die quindi ha il nuelib ceilusso

Sistenu equivilenti = Data due pliches di vettori applicati S=∑ (P_{s',vs'), s - 1, 2..., mm' indiciu cont R, M(O) = R', H'}

riesultante e momento-iersiuntante. Si dice che usono e se R = R'. M(O) = H'(O)

Spazi Vettoriali, Spazio e Tempo (Cap. 2)

Vettore = è un elemento di uno spazio vettoriale.

Spazio Vettoriale = un insieme in cui agiscono operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare.

2 Vettori si dicono linearmente indipendenti se l'eq. _AV₁+_AnV_n=0 ha come unica soluzione _Ai=0, _An=0.

Prodotto scalare: \( u \cdot v = |u||v|\cos(\theta) \).

Spazio Affine: è uno spazio vettoriale a cui manca l’origine.

Spazio = è uno spazio affine modellato su uno spazio vettoriale orient. di dimensione ⁿ su cui è definito un prodotto scalare.

Tempo = è uno spazio affine modellato su uno spazio vettoriale orientato di dimensione 1 su cui è definito un prodotto scalare.

Prodotto vettoriale: V∧W=VWs_inθ

Vettore velocità = è costituito dal rapporto incrementale dato il vettore \(\frac{p(t+Δt)-p(t)}{Δt}\) è il limite derivato di P rispetto al parametro t, è il limite per Δt–>0 del rapporto incrementale, quando esiste e si scrive \(\frac{dp(t)}{dt} = \lim_{Δt \to 0} \frac{p(t+Δt)-p(t)}{Δt} \)

Teoria dei Momenti (Cap. 3)

Momento del vettore applicato = sia O un punto dello spazio e sia (P, v) un vettore applicato, si dice momento del vettore applicato (P, v) rispetto al punto O il vettore (libero) M(O) = (P-O) ∧ v.

Il momento non varia se si sposta lungo la propria retta d’azione o su una retta parallela a V.

Momento Risultante = è detto momento risultante del sistema di vettori applicati, se il vettore sommatoria H(O) = \(\sum_{i=1}^{n} (P_{i}-O) \wedge v_{i}\)

Formula di Trasporto dei momenti = \(\sum_{i=1}^{m} (R_{i}-O) \wedge v_{i} + (O-O') \wedge R\)

Asse centrale M(O′) = H^p+H⁰(P-A) + (O′-O') ∧ R

è la retta passante per A parallela ad R, la cui equazione ha la seguente forma vettoriale (P-A)∧R

è il luogo dei punti dello spazio rispetto ai quali il momento risultante è parallelo ad vettore risultante R, questo si riduce alla sola parte parallela e che quindi ha il modulo minimo.

Sistemi equivalenti = Dato due sistemi di vettori applicati S = \{ (P_{i}, v_{i}) \}, i=1, 2,... ed S' = \{ (P'_{j} , v'_{j}) \}, j=1, 2,..., m indicando con R, H il risultato e momento risultante. Si dice che sono e si R=R', M(O)=H'(O')

Operazioni elementari che non variano il risultante:

• aggiunta e soppressione di una coppia di bracci nulli
• sostituire di vettori concorrenti con il risultante applicato nel punto di concorrenza

Sistema Equilibrato: Un sistema di vettori applicati si dice equilibrato se

R=0 M(O)=0

Condizione necessaria e sufficiente perchè un sistema sia equilibrato è che esso sia equivalente al solo vettore nullo.

Vettori concorrenti: i vettori hanno la loro retta d'azione concorre