Teoria Meccanica Razionale

Spazi Vettoriali, Spazio e Tempo (Cap. 2)

Vettore è un elemento di uno spazio vettoriale.

Spazio Vettoriale è un insieme in cui agiscono operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare.

2 Vettori si dicono linealmente indipendenti se l'eq. A₂V₁ + AₙVₙ = 0 ha come unica soluzione A₁=0, Aₙ=0.

Prodotto scalare _{U⦁V=UVcosθ}

Spazio Affine è uno spazio vettoriale a cui manca l'origine.

Spazio σ è uno spazio affine radicato su uno spazio vettoriale orientato di dimensione n su cui è definito un prodotto scalare.

Tempo t è uno spazio affine radicato in uno spazio vettoriale orientato di dimensione 1 su cui è definito un prodotto scalare.

Prodotto vettoriale _{V⨯W=VWsine θ}

Vettore velocità è costituito dal rapporto incrementale dato il vettore _{P(t+h) - P(t)}

^h sostiene la derivata di P rispetto al parametro t e h tende

con _h→0, il rapporto incrementale, quando esiste è

^dt scritto _dLP(t)=lim_h→0 ^{P(t+h) - P(t)}

Teoria dei Momenti (Cap. 3)

Momento del vettore applicato. Sia O un punto dello spazio e sia (P,v) un vettore applicato, si dice momento del vettore applicato (P,v) rispetto al punto O il vettore (falso) M(O) = (P-O) ⨯ V

Il momento non varia se si riporta lungo la propria retta d'azione o su una retta parallela a V.

Momento Risultante. È detto momento risultante del sistema di vettori applicati S. il vettore somma H(O) = Σ_i=1ⁿ(P₁-O)⨯V₁.

Formula di Trasposizione dei momenti = Σ_i=1ⁿ(P-O)⨯V₁ + (O-O')⨯R

Asse centrale M(O') = M₀ + Mₙ(O₁) + (O-O')⨯R

= È la retta puntata per A parallela a R la cui equazione ha la seguente forma vettoriale: (P-A)=λR

= È il luogo dei punti dello spazio rispetto ai quali il nuov risultante è parallelo al vettore risultante R, ovvero si riduce alla sola parte parallela e da quindi ha il modulo minimo

Sistemi equivalenti = Dati due sistemi di vettori applicati S = {(P₁V₁); i_2,6, ...

ed S' = {(P₁',V₁'),; j_2,1,...,m₁} indicati con R, M(O) e R', H'₁

risultante e momento risultante. Si dice che S sono e si

R=R' H(O) = H'(O)

Operazioni elementari che non variano il risultante:

• aggiunta e soppressione di una coppia di braccio nullo
• sostituzione di vettori concorrenti con il risultante applicato nel punto di concorrenza

Sistema Equilibrato: Un sistema di vettori applicati si dice equilibrato se

R=0 M(o)=0

Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema sia equilibrato è che esso sia equivalente al solo vettore nullo.

Vettori concorrenti: vettori hanno la loro retta d'azione concorrente in uno stesso punto C, ciascuno di essi può essere traslato lungo la propria retta d'azione fino ad essere applicato in C.

TEO. DI VARIGNON: Il risultante R di un sistema di vettori concorrenti rispetto ad un punto O è uguale al risultante rispetto ad O del risultante pensato applicato nel punto di concorrenza.

Vettori paralleli: Dato un sistema di vettori {P_i, V_i}, i=1,2, ..., n (con V=U±V_i in verso fisso) allora il risultante R è dato da R=∑_i m_iU.

Vettori complanari: Si consideri un sistema di vettori (P_i, V_i), i=1,2, ..., n, in un piano π e sia O un qualsiasi punto appartenente al piano. In questo caso i momenti M(o) di ciascun vettore V_i sono normali al piano π d'altra parte.

Il risultante R o è nullo o è parallelo al piano π.

Riepilogo

R=0

• M(o)=0 ➔ sistema equilibrato
• M(o)≠0 ➔ Coppia

R≠0

• M_P=0 ➔ Applicato sull'asse centrale
• M_P≠0 ➔ Caso Generale

Definiamo centro dei vettori paralleli: il punto C dato da F(C-O)=∑₁ⁿ...

TEO: Dato un sistema di vettori paralleli con F≠0, sia O un punto generico, il punto C definito da F gode delle seguenti proprietà:

• C è indipendente dalle scelta di O
• C appartiene all'asse centrale

Teo di Chasles: Se w≠0 la retta per un punto P perpendicolare alla sua traiettoria passa per il centro istantaneo di moto C(t) all'istante t.

Senso per individuare il centro istantaneo di moto nei moti rigidi piani: una volta che si conosca la traiettoria di due punti istinti per istante, oppure la loro velocità.

Le intersezioni della rigida fissa e della rigida mobile con il piano rappresentativo sono rispettivamente BASE e RULETTA.

Base e rulet sono anche dette le polari del moto.

Teo di Eulero: Si considera un corpo rigido S con un punto fisso.

In ogni moto di S la configurazione raggiunta di tempo t si può realizzare (anche) con la semplice rotazione del corpo intorno ad un asse perpendicolare passante per il punto fisso.

In generale, qualsiasi spostamento è dato da una somma di traslazione e rotazione, intorno ad oppurtune axe.

Rotazioni finite e infinitesime

Le traslazioni godono della proprietà commutativa che le rotazioni no.

Ogni matrice corrospondente a rotazioni infinitesime è antisimmetrica

Esercizi sui Moti Rigidi

• Disco che rotola senza strisciare

V(C)= VQ + w^(C-Q)=0 V0=wCO VQ = wCQ

Se V0/VQ = k Rotolamento piano

• Una forza si dice posizionale se la forza dipende solo dalla posizione del punto P, cioè F = F(P). La forza F è definita in un dominio di ℝ³, detto comunemente campo di forza.

• Sia P un punto materiale di massa m che si muove con velocità: v = v(t) si definisce energia cinetica la grandezza scalare T(t) = ½ mv²(t)

• Durante il moto si definisce potenza della forza F la grandezza W = F • v

• Una forma differenziale X(x₁, y₁, z₁)dx + Y(x₁, y₁, z₁)dy + Z(x₁, y₁, z₁)dz di classe C¹(Ω) è dice esatta in Ω se esiste una funzione V(x₁, y₁, z₁) ∈ C²(Ω) tale dU = Xdx + Ydy + Zdz, ossia tale che _dU/_dx, _dU/_dy, _dU/_dz

• Gradiente — è definito formalmente come un vettore che ha come componenti le derivate parziali di X grad X = (_∂X/_∂x, _∂X/_∂y, _∂X/_∂z)

• Divergenza è l'operatore che associa al campo vettoriale il campo scalare dato da div F = (_∂X/_∂x, _∂X/_dy, _∂Z/_dz)

• Rotore è l'operatore che associa al campo vettoriale F il campo vettoriale dato dal rot F F = (

MOTI OSCILLATORI

• Eq caratteristica ẍ + ω²x = 0 Soluzioni particolari x(t) = e^ωt • Con termine forzante ẍ + ω²x = C • Smorzato - λx • Smorzato con forzate

• Il moto composto di due armonici non è in generale esso stesso armonico. Se le frequenze sono diverse allora il moto non armonico • Le traiettorie del punto il cui moto risulta della composizione di due. moti armonici di uguale centro e direzioni ortogonali sono note come curve di Lissajous • Smorzato con forzante = Il moto smorzato si spegne col tempo e dopo un certo istante la componente dovuta al moto smorzato porta iterazioni quasi nulla e le vibrazioni armoniche permanenti continuano a susistere

• Concordanza di fase = per frequenze piccole si ha pure un sfasamento di fase piccolo

• Opposizione di fase = per frequenze grandi si ha un sfasamento che differisce poco da π

• Risonanza = Rapporto tra l'ampiezza per una frequenza generica e per quella μ=0