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LEZIONE 1
Partiamo dalla definizione di spazio
- segmento (A-B)
- direzione di r
- verso di percorrenza
- distanza tra A e B (modulo)
RELAZIONE EQUIVALENZA
- hanno stessa direzione
- hanno stesso verso
- hanno stesso modulo
DEFINIZIONE: Vettore libero
Si dice vettore libero ciascuna classe di equivalenza data dalla relazione di equivalenza di cui sopra che identifica vettori con stessa direzione, verso e modulo.
PROPRIETÀ DI TRASLAZIONE
[A-B] = - Ṽ e I³
- B = A + Ṽ
- B' = A' + Ṽ
- A = M - B
- A' = M - B'
DEFINIZIONE: Vettore applicato
A ∈ ℤ (spazio) Ṽ ∈ I³ = ⟹ (A) Ṽ
Vettore libero → può essere rappresentato da un qualsiasi vettore applicato purché abbia stessa direzione, modulo e verso.
OPERAZIONI SUI VETTORI
- Ṽ = P - O
- Ũ = Q - P
- Ũ + Ṽ = (P - O) + (Q - P) = Q - O = B
Moltiplicazione per uno scalare
- Ṽ ∈ I³ λ ∈ I
- 1) λ = 0 → Ṽ = 0
- 2) λ ≠ 0 → IṼI = IλI IṼI
Prodotto scalare
Ũ, Ṽ ∈ I³
Applicazione Ṽ · Ṽ = IŨI IṼI cosφ
φ = angolo tra i vettori
Proprietà prodotto scalare
- u⋅v=0⟺u=0oppurev=0
- u⋅v=v⋅u(commutativa)
- u⋅(v+z)=u⋅v+u⋅z(distributiva)
- λ(u⋅v)=(λu)⋅v
- u⋅u=∥u∥2
- u⋅v=∥u∥∥v∥cosθ
OSS ∀u∈IR3u⋅u>0⇒u⋅u=0⟺u=0
Definizione Versore
e ∈ ℝ³ |e| = 1 indicato con e₁, e₂, e₃.
OSS ∀u ∈ ℝ³ u≠0
- e=u|u|dato un vettore qualsiasi non nullo è sempre possibile ottenere un versore.
- u|u|⋅u|u|=u⋅u|u|2=1
- e e u hanno lo stesso verso
Decomposizione di un vettore
∃ϵ ∈ ℝ³ ue ∈ ℝ³, u si può decomporre in modo unico come somma di un vettore parallelo e uno perpendicolare a ϵ
- u=uᵢ+uᵣ
- uᵢ∥e
- uᵣ⊥e
- ϕ:uᵢ
Base ortonormale
B: {e₁, e₂, e₃}
ei⋅ej=0ei⋅ei=1DEFINIZIONE: O(3)
O(3) = { [R] ∈ ℝ3 x 3 : RTR = I = RRT = I }
➖ es un gruppo rispetto al prodotto tra matrici
➖ gruppo ortogonale di ℝ3
Gli elementi del gruppo O(3) sono tutti matrici di rotazione
OSS
det(R) = -1
ei = Rij ej
e1 = R11 e1 + R12 e2 + R13 e3 = e1
e2 = R21 e1 + R22 e2 + R23 e3 = e2
e3 = R31 e1 + R32 e2 + R33 e3 = e3
0 0 1
se det(R) = 1 → si preserva il carattere levogiro
se det(R) = -1 → si ruota in una base non levogira
DEFINIZIONE: Gruppo ortogonale speciale
(o delle rotazioni proprie)
SO(3). Sono le matrici di rotazione che hanno det 1
OSS
δij - ∑3k=1 Rik Rkj → si hanno solo 3 componenti
indipendenti
ESEMPIO
Rotazione attorno ad un asse
B = {e1, e2, e3} B' = {e'1, e'2, e'3}
[LR]
( cosθ -sinθ 0 )( sinθ cosθ 0 )( 0 0 1 )ex = e1cosθ - e2sinθ
ez = e1sinθ + e2cosθ
→ ei = ∑3j=1 Rij e'j
{ = i'cosθ - j'sinθj' = i'sinθ + j'cosθ}
{' = t'cosθ + Jsinθj' = (-sinθ) + Jcosθ}
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