Teoria Matematica Finanziaria

MATEMATICA FINANZIARIA

Operazioni di capitalizzazione:

• Il denaro è portato avanti nel tempo.

• A – acquistando un titolo.
• B – concedendo un prestito – rinuncia a sua somma di denaro/disponibilità finanziaria immediata, per ottenere una futura.

C = capitale → somma di denaro investita oggi M → somma di denaro ottenuta tra un anno → MONTANTE I = M - C → interesse G → fattore di capitalizzazione o di montante

Operazioni di attualizzazione:

• Il denaro è portato indietro nel tempo.

• A – vendo un titolo – ottengo una disponibilità finanziaria immediata.
• B – ricevendo un prestito – in cambio del pagamento di una somma in futuro.

A = valore attuale o scontato → somma di denaro ottenuta oggi S = valore a scadenza o nominale → somma di denaro che pagherò tra 1 anno

^A⁄_S = Φ → fattore di attualizzazione D = S - A = sconto

capitalizzazione →  Φ = 1 + ^I⁄_C attualizzazione →  Φ = 1 − ^D⁄_S

Tasso annuo di interesse:

i = interesse prodotto da 1 € investito per 1 anno i =  Φ(1) − 1

Tasso annuo di sconto:

d = compenso per chi anticipa la somma di 1 € che scade tra 1 anno d = 1 - Φ

Φ e Φ sono coniugati, o ha

^d⁄_1+i ⁱ⁄_1-d

tasso annuo sconto ⇒ tasso annuo interesse

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

I = C · i · t M = C · (1 + it) i = tasso interesse semplice

C = 1000 i = 0,10 --> M = 1000 · (1 + 0,10 · ⁹⁄₁₂) t = mesi = ⁹⁄₁₂

F(1 + i · t) = fattore montante ϕ(1 + i · t) = fattore di sconto coniugato = ¹⁄_{1 + i · t}

TASSI NON ANNUI E TASSI EQUIVALENTI

i₁₂ = tasso mensile i₄ = trimestrale

Si considera una legge di capitalizz semplice al tasso annuo del 12%. Calcolare tasso trimestrale equivalente.

NB tassi equivalenti danno lo stesso fattore di capitalizzazione

1 + i_t = 1 + im · m = fattore trimestrale 1/3 = 4 m = 4

^{1 + i_t è i₄ = 1}⁄₄ è i₁ = ¹²⁄₄ = 3%

TITOLO DI PURO SCONTO (zero-coupon bond)

Si chiama rendimento semplice a scadenza r il tasso di interesse semplice tale che il montante del prezzo di acquisto A eguagli il valore di rimborso N alla data T

r = ^{N - A}⁄_AT   A = ^{N · 1}⁄_{1 + i · t^T}

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

• fattore di montante -> ϕ(t;i) = (1 + i)^t
• fattore di sconto -> ϕϕ(t;i) = ¹⁄_{(1 + i)^t}

i = tasso annuo di interesse composto

esempi

CAPITALIZZAZIONE   ATTUALIZZAZIONE C = 1000   S = 1000 t = 3 anni   t = 2 anni i = 10%   i = 10% M = C · (1 + i)^t M = 1000 · (1 + 0,1)³

A = ϕ A = ϕ · S

A = ¹⁄_{(1 + i)^t}   S = ¹⁰⁰⁰⁄_{(1 + 0,10)²} = 826,45

TASSI NON ANNUI E TASSI EQUIVALENTI

i_m = √^m⁄_{1 + i^tct} - 1 e i_m = tassi equivalenti in capitalizzazione composta

j_m = i_m · m -> tasso annuo nominale convertibile m volte l'anno

ES Data una rendita annua annuita' posticipata a rata costante R=1000 di durata 6 anni calcolare, al tasso annuo 10%:

• Valore attuale A

A = R • _nA⁡ⁱ = R • ^1-(1+1)-n⁄(1+1)^-n⁄(1.1)

A = 1000 • ^1-(1+1)-6⁄(1+1)^-6⁄(0.1)

• Montante M

M = R • _nS⁡ⁱ = (1+1)⁶ - 1/(0.1)

M = 1000 • ((1.1)⁶ - 1)/0.1

(R = RATA A = Valore attuale M = Montante)

AMMORTAMENTO

Si parla di ammortamento quando si prende in prestito un capitale S al tempo 0 e lo si rimborsa in n rate di ammortamento R₁, R₂, R₃ su tempi t₁, t₂, t₃ ...

Supponiamo che i pagamenti avvengano in intervalli di tempo periodici:

D_t -> debito residuo al tempo t

E_t = S - D_t debito estinto al tempo t

R_t = rata di ammortamento pagato in t

R_t = C_t + I_t

LA RATA E' COMPOSTA DA UNA QUOTA DI CAPITALE RIMBORSATO E DA UNA QUOTA DI INTERESSI SUL CAPITALE DA RIMBORSARE

• Somma delle quote di capitale che estingue il debito

D_t = ⁿ∑_t=1 C_t = S (Somma delle quote di capitale versate)

• D_t = ⁿ∑_s=t+1 C_s (Somma delle quote di capitale ancora da versare)

Due tipi di ammortamento

• ITALIANO

la quota di capitale e' costante per ogni rata e' poiche' la somma delle quote di capitale deve dare S => n • C_s = S

C = S/n

E_t = E • t = S^._t⁄n

D_t = S - E = S - S⁄ _t⁄n = S(1 - _t⁄n) - S • _n - t⁄n

ES PIANO AMMORTAMENTO x RIMBORSO CAPITALE 10,000 euro in 10 rate al tasso del 10%

1) Quota Capitale Costante C_s = C⁄n = ^10,000⁄₁₀ = 1,000 euro