Teoria Matematica Finanziaria

MATEMATICA FINANZIARIA

• operazioni di capitalizzazione: il denaro è portato avanti nel tempo

  • acquistando un titolo
  • concedendo un prestito

  C = capitale = somma di denaro investita oggi

  M = somma di denaro ottenuta tra un anno → MONTANTE

  F = fattore di capitalizzazione o di montante: φ

  I = M-C = interesse

• operazioni di attualizzazione: il denaro è portato indietro nel tempo

  • vendo un titolo
  • ricevendo un prestito

  A = valore attuale o scontato → somma di denaro ottenuta oggi

  S = valore a scadenza o nominale → somma di denaro che pagherò tra 1 anno

  A/S = φ → fattore di attualizzazione

  D = S - A = sconto

capitalizzazione → φ = 1 + I/C

attualizzazione → φ = 1 - D/S

TASSO ANNUO DI INTERESSE

i → interesse prodotto da 1€ investito per 1 anno

i = φ(1) - 1

TASSO ANNUO DI SCONTO

d → compenso per cui anticipo la somma di 1€ che scade tra 1 anno

d = 1 - φ

φ e φ sono coniugati, si ha

• d = i / (1 + i)
• i = d / (1 - d)

tasso annuo sconto

tasso annuo interesse

Matematica Finanziaria

• operazioni di capitalizzazione

  il denaro è portato avanti nel tempo

  • acquistando un titolo
  • concededo un prestito

  C = capitale = somma di denaro investita oggi

  M = somma di denaro ottenuta tra un anno = MONTANTE

  i = C - I = interesse

• operazioni di attualizzazione

  il denaro è portato indietro nel tempo

  • vendo un titolo
  • ricevuto un prestito

  A = valore attuale o scontato = somma di denaro ottenuta oggi

  S = valore a scadenza o nominale = somma di denaro che pagherò tra 1 anno

  D = S - A = sconto

capitalizzazione \[φ = 1 + C\]

attualizzazione \[φ = 1 - \frac{D}{S}\]

TASSO ANNUO DI INTERESSE

i = interesse prodotto da 1 € investito per 1 anno

i = φ(1) - 1

TASSO ANNUO DI SCONTO

d = compenso per chi anticipa la somma di 1 € che scadrà tra 1 anno

d = 1 - φ

φ e φ sono coniugati, si ha

\[\underline{d} = \frac{i}{1 + i}\] tasso annuo sconto

\[i = \frac{d}{1 - d}\] tasso annuo interesse

Capitalizzazione semplice

I = C・i・t

M = C・(1 + i・t)

i = tasso interesse semplice

C = 1000

i = 10% = 0,1

t = 9 mesi = 9/12

β(t,i) = 1 + i・t → fattore montante

φ(t,i) → fattore di sconto coniugato 1 / 1 + i・t

Tassi non annui e tassi equivalenti

• i₁₂ = b^ono mensile
• i₃ = m^enest
• i₁₂ = q^uodri

NB tassi equivi generano lo stesso fattore di capitalizzazione

1 + i・t = i・m・m・t tasso trimestrale i 3 = 4 m 4

1²i^{1i34i4ii / 4 4 3%}

Titolo di puro sconto (zero-coupon bond)

Si chiama redimento semplice o scadenza r ∪P tasso di interesse semplice tale che il montante del prezzo di acquisto A iuguali il valore di rimborso in alla data T

r = N - A / AT

A = N・ 1 / i + T

Capitalizzazione composta

• fattore di montante → β(t,i) = (1 + i)^t
• fattore di sconto → φ(t,i) = 1 / (1 + i)^t
• i = tasso annuo di interesse composto

Esempio

• CAPITALIZZAZIONE
• C = 1000
• t = 3 anni
• i = 10%
• M = C・(1 + i)^t
• H = 1000・(1 + 0,1)³

Attualizzazione

• S = 1000
• t = 2 anni
• i = 10%
• A = φ A = φ・S
• A = 1 / (1 + i)^t S = 1000 / (1 + 0,10)² = 826,45

Tassi non annui e tassi equivalenti

1^m = √^{t i} - 1 i e im → flass equivalenti in capitalizzazione composita

j^m = 1m・m → fasso annuo nominale convertibile i n volte l'anno

Sconto Commerciale

La proprietà caratteristica di questo regime finanziario è che lo sconto è proporzionale alla somma a scadenza S ed alla scadenza t dell'impiego

D = S · t · d

da cui seguono

D = S - AA = S - D = S - S · t · d = A = S(1 - td)

_{φ = 1 - td} → regime dello sconto commerciale_{i = ¹⁄1 - td} → regime di capitalizzazione a interessisemplici maturati

ES Un credito di 10.000 euro viene scontato per 2 anni con valore attuale 8.000. Qual'è il tasso applicato all'operazione?

• Sconto SempliceC 1000 · ¹⁄_{1 + i} = 8.000i ≈ 12,5%
• Sconto Composto1000, ¹⁄_{(1 + i)²} = 8.000i ≈ 14,8%
• Sconto CommercialeA = S(1 - 2d)8.000 = 10.000(1 - 2d)d = 10%

ES Un'impresa deve riscuotere 100.000 fra 3 anni. Può scontare questo credito a sconto commerciale con tasso d:

1. A quale tasso annuo di interesse composto deve investire tale valore x ottenere 100.000 tra 3 anni

• Interesse compostoA = S · φA = 100.000 · ¹⁄_{(1+ i)³}
• Int sempliceA = S · φA = 100.000 · (1 + i)

ES 1

4% interesse quadrimestrale in capitalizzazione composta. Calcolare:

1. Tasso interesse annuo
2. Tasso annuo nominale convertibile 4 volte

ES 2

QUALE INVESTIMENTO È PIÙ CONVENIENTE

3 mesi, interesse semplice, tasso annuo 20%

• """"""" composto, 22%

ES 3

In capitalizzazione composta si impiega un capitale per t anni al tasso periodale im

1. Quanti anni occorrono perché M = 2C

Calcolare tempo di raddoppio se ogni 1/it di annuo, una frazione a degli interessi e reinvasta per le tasse

RENDITE

Si dice rendita una sequenza di somme di denaro a₁, a₂, ..., a_n, (tutte in entrata o tutte in uscita) con diverse scadenze t₁, t₂, t₃, ..., t_n. Ogni somma a_i è detta → RATA⇨ Se le scadenze sono equidistanti , la rendita si dice periodica

VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA

è la somma dei valori attuali delle rate calcolati in epoca anteriore a tutte le scadenze (o coincidente con la prima di esse)

A = ∑_s=1ⁿ a_s ϕ (t_s)

MONTANTE DI UNA RENDITA

è la somma dei montanti delle rate calcolati in epoca posteriore a tutte le scadenze delle rate (o coincidente con l’ultima di esse)

M = ∑_s=1ⁿ a_s β (T-t_s)

nel regime d’interesse semplice

• SCONTO SEMPLICE A = ∑_s=1ⁿ a_s 1÷1 + i_s
• MONTANTE A INTERESSI SEMPLICI M = ∑_s=1ⁿ a_s (1+i (T-t_s))

N.B. vogliamo calcolare la somma dei termini di una progressione geometrica1 + q + q² + q³ +...+ q^n-1

∑_k=1ⁿ q^k = qⁿ⁺¹ − q ÷ q-1

RENDITE PERIODICHE A RATA COSTANTE

( se il primo pagamento/riscossione avviene alla fine del primo periodo )

Montante S_n|i = (1 + i)ⁿ - 1 ÷ i

Valore attuale a_n|i = 1 - (1 + i)⁻ⁿ ÷ i

se la rata è costante ed è pari a R si ha:

A = R a_n|iM = R S_n|i

( se il primo pagamento/riscossione avviene all’inizio del primo periodo )

Montante

s_n|i = (1 + i)ⁿ − 1 ÷ d

valore attuale

ā_n|i = 1 - (1 + i)⁻ⁿ ÷ d

d-tasso annuo di sconto d = 1 ÷ 1 + ii = d ÷ 1 − d

ES

Data una rendita annua immediata posticipata a rata costante R=1000 di durata 6 anni

Calcolare, al tasso annuo il 10%.

• valore attuale

A=R· → 1-_(1,1)^-n

A=1000 →

• montante

M=R·S →

H=1000

ES

• R = RATA
• A = Valore attuale
• H = montante

AMMORTAMENTO

Si parla di ammortamento quando si prende in prestito un capitale S al tempo 0 e lo si

rimborsa in n rate si ammortamento R₁, R₂, R₃ su tempi t₁, t₂ ... t_n

Supponiamo che i pagamenti avvengano in intervalli di tempo periodici;

D_t= debito residuo al tempo t

E_t= S-D_t debito estinto al tempo t

R_t= rata di ammortamento pagata in t

La rata E' composta da una quota di capitale rimborsato

e da

una quota di interessi sul capitale da rimborsare

Due tipi di ammortamento

• ITALIANO

la quota di capitale e' costante per ogni rata, e' poiche' la somma delle quote di capitale

deve dare S => n · C=S

C=

E_t= e.t = S

D_t= S · S= S ·

ES PIANO AMMOR x RIMBORSO CAPITALE 10000 euro in 10 rate al tasso del -10%

• quota capitale costante C= S

INTERESSI

Interessi = Debito residuo x I

QUOTA CAPITALE

quota capitale = rata - q. interesse

DEBITO ESTINTO

somma quote capitale

DEBITO RESIDUO

debito iniziale - quota capitale

La somma delle quote capitali equivale al prestito